Description Input 一共T+1行 第1行为数据组数T(T<=10) 第2~T+1行每行一个非负整数N,代表一组询问 Output 一共T行,每行两个用空格分隔的数ans1,ans2 Sample Input 6 1 2 8 13 30 2333 Sample Output 1 1 2 0 22 -2 58 -3 278 -3 1655470 2 正解:线性筛+杜教筛. 杜教筛板子题.然而感觉自己还不是很理解的样子.. 唐老师博客:http://blog.csdn.net/skyw…

P4213 [模板]杜教筛(Sum) 题目描述 给定一个正整数$N(N\le2^{31}-1)$ 求 $$ans_1=\sum_{i=1}^n\varphi(i)$$ $$ans_2=\sum_{i=1}^n \mu(i)$$ 输入输出格式 输入格式: 一共T+1行 第1行为数据组数T(T<=10) 第2~T+1行每行一个非负整数N,代表一组询问 输出格式: 一共T行,每行两个用空格分隔的数ans1,ans2 输入输出样例 输入样例#1: 复制 6 1 2 8 13 30 2333 输出样例#1…

题目大意:给你$n$,求:$$\sum\limits_{i=1}^n\varphi(i),\sum\limits_{i=1}^n\mu(i)$$最多$10$组数据,$n\leqslant2^{31}-1$ 题解:杜教筛,用来求$\sum\limits_{i=1}^nf(i)$的,其中$f$是某个特殊函数. 若我们可以找到一个函数$g$,使得$g,f*g$两个函数的前缀和十分好算($g*f$表示$g$和$f$的狄利克雷卷积),就可在$O(n^{\frac 23})$的复杂度内求出我们要的东西.令$…

当作杜教筛的笔记吧. 杜教筛 要求一个积性函数$f(i)$的前缀和,现在这个东西并不是很好算,那么我们考虑让它卷上另外一个积性函数$g(i)$,使$(f * g)$的前缀和变得方便计算,然后再反推出这个$f$函数的前缀和. $$\sum_{i = 1}^{n}(f * g)(i) = \sum_{i = 1}^{n}\sum_{d | i}g(d)f(\frac{i}{d}) = \sum_{d = 1}^{n}g(d)\sum_{i = 1}^{\left \lfloor \frac{n}{d…

\(\color{#0066ff}{题 目 描 述}\) 给定一个正整数\(N(N\le2^{31}-1)\) 求 \(\begin{aligned} ans_1=\sum_{i=1}^n\varphi(i) \end{aligned}\) \(\begin{aligned} ans_2=\sum_{i=1}^n \mu(i) \end{aligned}\) \(\color{#0066ff}{输 入 格 式}\) 一共T+1行 第1行为数据组数T(T<=10) 第2~T+1行每行一个非负整数N…

链接 luogu 思路 为了做hdu来学杜教筛. 杜教筛模板题. 卡常数,我加了register居然跑到不到800ms. 太深了. 代码 // luogu-judger-enable-o2 #include <bits/stdc++.h> #define ll long long using namespace std; const int _=5000030; int vis[_],pri[_],cnt,N,limit,mu[_]; ll phi[_]; unordered_map<i…

传送门 Description 给定一个正整数\(N(N\le2^{31}-1)\) 求 \[ans1=\sum_{i=1}^n \varphi(i)\] \[ans_2=\sum_{i=1}^n \mu(i)\] Solution 总算是写了一个不会\(TLE\)的杜教筛,不想用\(map\),因此上了一个很丑的\(Hash\)-- Code #include<bits/stdc++.h> #define ll long long #define max(a,b) ((a)>(b)?(…

思路:杜教筛 提交:\(2\)次 错因:\(\varphi(i)\)的前缀和用\(int\)存的 题解: 对于一类筛积性函数前缀和的问题,杜教筛可以以低于线性的时间复杂度来解决问题. 先要构造\(h=f*g\),并且\(h\)的前缀和易求,\(g\)的区间和易求. 具体地: \[\sum_{i=1}^{n}h(i)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}g(d)\cdot f(\frac{i}{d})\] \[\sum_{i=1}^{n}h(i)=\sum_{d=1}^{n}g(d)\…

sum\(\mu\)求法 设 \[S(n)=\sum_{i=1}^n \mu(i)\] 回顾公式 \[\sum_{d|n}\mu(d)=[n=1]\] 对\(n\)求和 \[\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}\mu(d)=1\] 换一种求和 \[\sum_{i=1}^n\sum_{d=1}^{\lfloor n/i \rfloor}\mu(d)=1\] 拆成两部分 \[\sum_{i=1}^n\mu(i)=1-\sum_{i=2}^n\sum_{d=1}^{\lfloor n/i \r…

根据狄利克雷卷积的性质,可以在低于线性时间复杂度的情况下,求积性函数前缀和 公式 \[ 求\sum_{i=1}^{n}\mu(i) \] 因为\(\mu*I=\epsilon\) 所以设\(h=\mu*I,S_n=\sum_{i=1}^n\mu(i)\) \[ \sum_{i=1}^{n}h(i)\] \[=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}\mu(\lfloor\frac{i}{d}\rfloor)\times I(d)\] \[=\sum_{i=1}^nI(i)\sum_{j=…