矩阵树定理(Kirchhoff || Laplace)初探——Part 1(无向图计数)

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矩阵树定理(Kirchhoff || Laplace)初探——Part 1(无向图计数)

必备知识: 高斯消元,图论基本知识(好像就这...(雾)) 这里是无向图部分,请不要走错场... 定义我们将邻接矩阵定义为矩阵\(A(u,v)\),我想邻接矩阵就不用再多说了: 我们将每个点的度数矩阵定义为矩阵\(D(u,v)\),这里再加上数学表示: \(D(u,u)=u\)这个点的度数,\(D(u,v)=0(u!=v)\): 我们将矩阵Laplace(或Kirchhoff)定义为\(L(u,v)=D(u,v)-A(u,v)\) 我们将生成树的个数定义为 \(t\): 引入这里将讲述行列式…

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【算法】Matrix - Tree 矩阵树定理 & 题目总结

最近集中学习了一下矩阵树定理,自己其实还是没有太明白原理(证明)类的东西,但想在这里总结一下应用中的一些细节,矩阵树定理的一些引申等等. 首先,矩阵树定理用于求解一个图上的生成树个数.实现方式是:\(A\)为邻接矩阵,\(D\)为度数矩阵,则基尔霍夫(Kirchhoff)矩阵即为:\(K = D - A\).具体实现中,记 \(a\) 为Kirchhoff矩阵,则若存在 \(E(u, v)\) ,则\(a[u][u] ++, a[v][v] ++, a[u][v] --, a[v][u] --\…

Note -「矩阵树定理」学习笔记

大概--会很简洁吧 qwq. 矩阵树定理对于无自环无向图 \(G=(V,E)\),令其度数矩阵 \(D\),邻接矩阵 \(A\),令该图的 \(\text{Kirchhoff}\) 矩阵 \(K=D-A\).取其任意一个 \(n-1\) 阶主子式 \(K'\),则 \(G\) 的生成树个数 \(s=\det K'\). 证明先咕掉 qwq. 一些推广对于有向图以 \(r\) 为根的内向生成树,取 \(D\) 为初度矩阵,取主子式时删去 \(r\) 行 \(r\) 列,再求行列…

行列式&矩阵树定理

行列式: 参考 oi-wiki 定义对于一个\(n*n\)的矩阵A行列式取值(标量) \(det(A)=|A|=\sum\limits_p(-1)^{\tau(p)}\prod\limits_{i=1}^na_{i,p_i}\) \(\tau(p)\)即排列\(p\)的逆序对个数. 性质证明后面再补 1.\(|A|=|A^T|\),即排列是按排列p下表为行的行列式等同于排列p下标为列的得到的行列式. 2.交换两行(列),行列式取相反数 3.把一个矩阵的一行(列)的值全部乘一个常数加到另一行(…

[spoj104][Highways] (生成树计数+矩阵树定理+高斯消元)

In some countries building highways takes a lot of time... Maybe that's because there are many possiblities to construct a network of highways and engineers can't make up their minds which one to choose. Suppose we have a list of cities that can be c…