妈妈我终于会这道题了! 设\(n\)个点的有根仙人掌个数的指数型生成函数(EGF)为\(F(x)\), 令\(f_i = [x^n]F(x)\) 对于\(f_i\), 我们考虑钦点\(1\)号点为根, 然后考虑与\(1\)相邻的是什么 \(1\)不在环上: 对于这种情况, 我们可以发现与它相邻的还是一颗仙人掌, 于是它的生成函数还是\(F(x)\) \(1\)不在环上: 对于这种情况, 我们考虑环的大小\(i\), 那么去除点\(1\), 它的生成函数就是\(F^i(x)\), 但是考虑到对称的…

本蒟蒻也来发一次题解第一篇请见谅 这个题有几个要点 1.无向无权图,建图的时候别忘记建来回的有向边[因此WA掉1次 2.无权嘛,那么边长建成1就好了2333333 3.最短路采用迪杰斯特拉(别忘用堆优化)来做,计数操作改装进去,ans[1]=1;迪杰斯特拉更新边长的时候如果大于号(具体见代码)就覆盖,相等的话就加上 4.%楼上SPFA,BFS大佬 具体见代码,其实就是在迪杰斯特拉里面填了几笔(逃 代码巨丑(捂脸) #include<cstdio> #include<cstring>…

有标号DAG计数(生成函数) luogu 题解时间 首先考虑暴力,很容易得出 $ f[ i ] = \sum\limits_{ j = 1 }^{ i } ( -1 )^{ j - 1 } \binom{ i }{ j } 2^{ j( i - j ) } f[ i-j ] $ . 相当于枚举度数为0的节点的个数,向不在这个集合里的点任意连边,之后需要容斥. 考虑如何优化. $ j(i-j) = \frac{ i^{ 2 } }{ 2 } - \frac{ j^{ 2 } }{ 2 } - \f…

有标号DAG计数 题目在COGS上 [HZOI 2015]有标号的DAG计数 I [HZOI 2015] 有标号的DAG计数 II [HZOI 2015]有标号的DAG计数 III I 求n个点的DAG(可以不连通)的个数.\(n \le 5000\) 2013年王迪的论文很详细了 感觉想法很神,自己怎么想到啊? 首先要注意到DAG中一类特殊的点:入度为0的点.以这些点来分类统计 先是一种\(O(N^3)\)的dp, \(d(i,j)\) i个点j个入度为0,转移枚举去掉j个后入度为0点的个数,…

P6295 有标号 DAG 计数 题意 求 \(n\) 个点有标号弱联通 DAG 数量. 推导 设 \(f_i\) 表示 \(i\) 个点有标号 DAG 数量(不保证弱联通),有: \[f(i)=\sum_{j=1}^i\binom ij(-1)^{j-1}f(i-j)2^{j(i-j)} \] 意义为选至少 \(j\) 个度数为零的点,向剩下的 \(i-j\) 个点随便连有向边,容斥一下就得到了上式. 下面进行推导.根据一个 trick: \[j(i-j)=\binom i2-\binom j…

[题解] Luogu P5446 [THUPC2018]绿绿和串串 ·题目大意 定义一个翻转操作\(f(S_n)\),表示对于一个字符串\(S_n\), 有\(f(S)= \{S_1,S_2,...,S_{n-1},S_n,S_{n-1},...S_2,S_1 \}\). 现在给定一个长度为\(n\)的字符串\(S^{'}\)表示原字符串\(S\)经过若干次(可能为0)旋转之后的一个前缀, 求原来字符串可能的长度\(l\). 显然当\(l > n\)时一定可行,所以只需要输出所有的\(l\leq…

题目传送门 题目大意 给出\(n\),求出对于任意\(t\in[1,n]\),点数为\(t\)的弱联通\(\texttt{DAG}\)个数.答案对\(998244353\)取模. \(n\le 10^5\) 思路 看到\(\texttt{Karry5307}\)的题解里面有很多小问题(但这并不影响\(\texttt {Karry AK IOI}\)),这里给一篇可能没有什么错误的题解. 我们发现直接求似乎不是很好求,我们发现弱连通图组合在一起的话,就相当于一个不保证联通的\(\texttt{DA…

洛谷题面传送门 看到图计数的题就条件反射地认为是不可做题并点开了题解--实际上这题以我现在的水平还是有可能能独立解决的( 首先连通这个条件有点棘手,我们尝试把它去掉.考虑这题的套路,我们设 \(f_n\) 表示 \(n\) 个点的有标号 DAG 个数,\(g_n\) 表示 \(n\) 个点的有标号且弱联通的 DAG 个数,那么根据 \(\exp\) 式子的计算方式我们可以列出 \(f,g\) 生成函数之间的 exp 关系,又因为这题带标号,所以有: Trick 1. 对于有标号图连通图计数问题,…

Problem 求\(n\)个点的每个点度数不超过\(4\)的无标号无根树个数. Data constraint \(1\le n\le 500\) Solution 尝试着把问题一般化.我们来考虑一个这样的问题:求\(n\)个节点,每个节点度数不超过\(m\)的无根树个数. 为了解决这个问题,我们不妨先来解决有根树的情况.注意这里的树都是无标号的.所以每一种合法树的根的子树的\(size\)都可以看做是单调的.然而无根树的计数比较繁琐.例如在无根树中以下两种情况视作同一种: 而在有根树情况下,…

关于这道题, 我们可以发现移动顺序不会改变答案, 具体来说, 我们有以下引理成立: 对于一个移动过程中的任意一个移动, 若其到达的位置上有一个棋子, 则该方案要么不能将所有棋子移动到最终位置, 要么可以通过改变顺序使这一次移动合法 证明: 考虑到达位置上的那个棋子, 如果它没有到达最终位置, 则我们考虑将该棋子移至下一步, 如果下一步还有没有到达最终位置的棋子, 则也移动它 否则直接调换这两个棋子的移动顺序即可 好的我们去除了题目中的要求: 「移动过程中不能出现多颗棋子同时在某一格的情况」, 接…

[APIO2008]免费道路 题目描述 新亚(New Asia)王国有 N 个村庄,由 M 条道路连接.其中一些道路是鹅卵石路,而其它道路是水泥路.保持道路免费运行需要一大笔费用,并且看上去 王国不可能保持所有道路免费.为此亟待制定一个新的道路维护计划. 国王已决定保持尽可能少的道路免费,但是两个不同的村庄之间都应该一条且仅由一条 且仅由一条免费道路的路径连接.同时,虽然水泥路更适合现代交通的需 要,但国王也认为走在鹅卵石路上是一件有趣的事情.所以,国王决定保持刚好 K 条鹅卵石路免费. 举例来…

最近碰了$prufer$ 序列和组合数..于是老师留了一道题:P2624 [HNOI2008]明明的烦恼 qwq要用高精... 于是我们有了弱化版:P2290 [HNOI2004]树的计数(考一样的可还行OvO) 首先前置知识:$Prufer序列$ 然后,因为对于一个$ Prufer $序列有$n-2$ 项,而每个点的度数-1是这个点在$ Prufer$ 序列中出现的次数 所以...这不是多重集的排列吗(不懂多重集?) 所以我们成功了一半(雾) 在计算时会爆$ long \space long…

感谢 @cmy962085349 提供的hack数据,已经改对了. 先声明,我好像是题解里写双$fhq$ $treap$里唯一能过的...(最后两个点啊) 思路:首先看题目,$MIN_GAP_SORT$ 明显是求它的前驱与后继(可能有相同的),所以就用平衡树,但是又要求两个相邻的数的差,就可以有再开一个平衡树存放差值 实现:抛开奇奇怪怪的的题面,主要考虑这三个操作: 1.$INSERT$ $i$ $k$: 这个很简单,用链表就行了(数组模拟的),但是要注意,插入的时候,要接着上一个在这插入的,还…

讲讲这题的几种做法: 暴力匹配法 rt,暴力匹配,即把字符串存起来一位一位判相等 时间复杂度$ O(n^2·m) $ 再看看数据范围 \(n\le10^5,m\le10^3\) 当场爆炸.当然有暴力分 代码(20pts): #include <bits/stdc++.h> using namespace std; char c[100001][1001]; bool pd(int x, int y) { int l1 = strlen(c[x]), l2 = strlen(c[y]); if(…

正题 题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P6295 题目大意 求所有\(n\)个点的弱联通\(DAG\)数量. \(1\leq n\leq 10^5\) 解题思路 先不考虑弱联通的限制,求\(n\)个点的\(DAG\)数量. 设为\(f_i\),那么有式子 \[f_n=\sum_{i=1}^{n}\binom{n}{i}2^{i(n-i)}f_{n-i}(-1)^{i+1} \] 这个式子的意思是说新建一层出度为\(0\)的点,\(\binom{n}{i…

终于来到了Qtree3, 其实这是Qtree系列中最简单的一道题,并不需要线段树, 只要树链剖分的一点思想就吼了. 对于树链剖分剖出来的每一根重链,在重链上维护一个Set就好了, 每一个Set里存的都是重链中的黑点, 深度就是关键字. 考虑每一种操作 0 : 改变颜色 在他所在的重链上插入一个黑点或者earse掉 1 : 查询 就像树链剖分一样, 一直往上跳重链头然后更新答案即可 代码较短 #include <bits/stdc++.h> #define maxn 101000 #define…

题目链接 此题使用BFS记录最短路的条数.思路如下:因为是无权无向图,所以只要被BFS到就是最短路径.因此可以记录该点的最短路和最短路的条数:如果点y还没被访问过,则记录dis[y],同时令ans[y]=ans[x]. 如果点y已经被访问过且当前为最短路径,则ans[y]+=ans[x] #include<cstdio> #include<cctype> inline long long read(){ ,f=; char ch=getchar(); while(!isdigit(…

来一篇不那么慢的状压??? 话说这题根本没有紫题难度吧,数据还那么水 我是不会告诉你我被hack了 一看数据规模,n≤12,果断状压. 然后起点要枚举,就设dp状态: f[i][j]=以i为起点到j状态的最小花费 其中j是一个二进制数(用十进制来表示)第i位的1.0分别表示是否已经到达第i点(1表示已经到达,0表示还未到达) (因为m很大,n很小,会有重边,所以用邻接矩阵(e[u][v])) 由此可以列出状态转移方程: f[i][j]=min{f[i][k]+diss[i][k][u]*e[u]…

这题是真的水啊... ------------ 昨天模拟赛考了这题,很多人都是O($n^3$)水过,但我认为,要做就做的足够好(其实是我根本没想到O($n^3$)的做法),然后就开始想O(n)的解法. 首先看题目,前面一大堆看似是废话,其实还是有很大用处的. 问题描述中提到了树的中心,但后面却貌似没有用到,其实中心是给我们带来提示的. 既然是求最小偏心距,那必然是要在直径上找,不然偏心距并不能有过多的减少,所以第一步,定下在直径上找. 然后直径上找也要讲究方法,假如整条路径在中心的左边或右边,那…

蛮不错的一道题,遗憾就遗憾在数据范围会导致暴力轻松跑过. 最小生成树的两个性质: 不同的最小生成树,相同权值使用的边数一定相同. 不同的最小生成树,将其都去掉同一个权值的所有边,其连通性一致. 这样我们随便跑一个\(MST\),就可以知道所有\(MST\)边的构造情况.由于性质二,我们可以考虑枚举每一种权值的所有边,保留所有非此权值的树边,看可以连出来多少种不同的最小生成树.也就是按照权值构造最小生成树,这个过程满足乘法原理. #include <bits/stdc++.h> using na…

传送门 这题妙蛙 首先考虑构造出一个合法的树.先重新编号,把bfs序整成\(1,2,3...n\),然后bfs序就是按照从上到下从左往右的遍历顺序,所以可以考虑对bfs序分层,可以知道分层方式只会对应一棵树.按照\(2\to n\)的顺序枚举,如果这个点在dfs序中的位置小于上一个,那么这个点必须放在下一层.这样构造是正确的(如果有合法的树),并且构造出来的树高度最小 然后考虑能不能构造其他的树.手玩可以发现,如果某个点\(i\)满足以下条件,那么就可以把它以及这一层后面的点的父亲改成\(i-1…

M斐波那契数列 此题对数学基础要求较高 来源矩阵乘法_百度百科 一个m*n的矩阵是一个由m行n列元素排成的矩形阵列.矩阵里的元素可以是数字符号或者数学式. 形如[acbd][abcd]的数表称为二阶矩阵,其中a,b,c,d称为这个矩阵的元素. 形如 [x1x2][x1x2] 的有序对称为列向量 设 A=[acbd]A=[abcd] B=[x1x2]B=[x1x2] 则C=[ax1+bx2ax2+bx1]C=[ax1+bx2ax2+bx1] 称为二阶矩阵A与平面向量B的乘积,记为AB=C 更一般的…

传送门 解题思路 \(prufer\)序,就是所有的不同的无根树,都可以转化为唯一的序列.做法就是每次从度数为\(1\)的点中选出一个字典序最小的,把这个点删掉,并把这个点相连的节点加入序列,直到只剩两个节点.然后这个东西有一个显然的性质就是所有点会在序列中出现这个点的度数\(-1\)次,这个性质有一个推论就是给你一棵树所有点的度数,你可以算出无根树不同形态的个数.公式为\(ans=\frac{(n-2)!}{\prod_{i=1}^{n}(deg[i]-1)!}\).然后注意要质因数分解,否则…

生成函数板子题...... 要写高精,还要NTT优化......异常dl 这个并不难想啊...... 一次召唤会涉及到\(10\)个因素,全部写出来,然后乘起来就得到了答案的生成函数,输出\(n\)次项的系数就好了. 下面把\(10\)个条件列一下 \[1 + x^6 + x^{12} + \cdots = \frac{1}{1-x^6}\] \[1+x^2+x^3+\cdots+x^9 = \frac{1-x^{10}}{1-x}\] \[1+x^2+x^3+x^4+x^5 = \frac{1…

这个柿子挺别致的......还有信仰膜数998244353 直接讲正解吧...... 首先发现这个柿子从上往下算好像不怎么行,我们从下往上看,(下面令\(Ans_r = sum_{k,1,r}\)). 考虑\(a_i\)对\(Ans_r\)的贡献(\(1 \le i \le r\)),即\(a_i\)在\(sum_{k,1,r}\)中被算了多少次,我们假设\(a_i\)被算了\(c_i\)次.答案就是\(Ans_r = \sum\limits_{i = 1} ^ r a_i c_i\) 废话.…

分治FFT的板子为什么要求逆呢 传送门 这个想法有点\(cdq\)啊,就是考虑分治,在算一段区间的时候,我们把他分成两个一样的区间,然后先做左区间的,算完过后把左区间和\(g\)卷积一下,这样就可以算出左区间里的\(f\)对右边的贡献,然后再算右边的就好了. 手玩一组样例吧:g=[0,3,1,2](默认\(g[0] = 0\)) 一开始,只有f[0]=1 f: [1 0|0 0] 然后我们从中间分开来,先算左边的 f: [1|0|0 0] 然后在分下去我们会找到\(f[0]\),就拿这一段和\(…

三模NTT 不会... 都0202年了,还有人写三模NTT啊... 讲一个好写点的做法吧: 首先取一个阀值\(w\),然后把多项式的每个系数写成\(aw + c(c < w)\)的形式,换句话说把多项式\(f(x)\)写成两个多项式相加的形式: \[ f(x) = wf_0(x) + f_1(x) \] 这样在这道题中取\(W = 2^{15}\)就可以避免爆long long了. 乘起来的话就是 \[ f \cdot g = (w f_0 + f_1)(wg_0 + g_1) = (f_0 g…

有一种神奇的算法叫做floodfill 就是一个n*m的矩阵,a[i][j]为当前高度,我们可以任选一个点倒水,开始bfs,如果要搜的点没有被搜到过,并且高度小于当前的点,我们就把这个点加入队列中 而这道题我们可以用floodfill做 先假设有解,也就是说假设干旱区里的所有城区都能建水利措施. 对于第一行湖泊,显然我们bfs往下floodfill覆盖的最后一行肯定是个区间,那么对于第一行两个点floodfill后覆盖的最后一行的两个区间,如果左边端点floodfill的右边一部分与右边端点fl…

首先还是类似于无标号无向图计数那样,考虑点的置换带动边的置换,一定构成单射,根据 Burnside 引理: \[|X / G| = \frac{1}{|G|}\sum\limits_{g \in G} |X ^ g| \] 于是我们只需要考虑每个(点)置换下边置换的不动点(要求使得每个点度数为偶数)即可,有如下观察: 对于两个点循环置换 \(C_1, C_2\) 边在 \(C_1\) 导出子图中的边依然置换到导出子图内,对于其他循环置换同理:对于 \(C_1, C_2\) 之间的边,置换后任然在…

1009 E. Intercity Travelling 题意:一段路n个点,走i千米有对应的a[i]疲劳值.但是可以选择在除终点外的其余n-1个点休息,则下一个点开始,疲劳值从a[1]开始累加.休息与不休息等概率,设疲劳值总和的期望为p,求p*2n-1 思路:由于期望乘上了2n-1,所以数学意义就是求所有休息情况下的疲劳值总和.问题转化为,每种疲劳出现的次数Ni.网上题解大多数从组合数的角度计数,可能是我理解能力不够,总觉得讲的不太严谨,推导的过程略显随意,更多像是找规律的结果.琢磨了一会,觉…