description 51nod 求\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}sgcd(i,j)^k\]其中\(sgcd(i,j)\)表示\(i,j\)的次大公约数,如果\(gcd(i,j)=1\)那么\(sgcd(i,j)=0\). solution 记答案为\(Ans\). 首先考虑直接枚举\(sgcd(i,j)\). \[Ans=\sum_{d=1}^{n}\xi^k(d)\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^n[gcd(i,j)==d]\] 其中当\(n\…

link \(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\mathrm{sgcd}(i,j)^k=\sum_{p=1}^ns(p)^k\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n[\gcd(i,j)=p]=\sum_{p=1}^ns(p)^k(-1+2\sum_{i=1}^{n/p}\varphi(i))\) 由于 \(n\) 的范围是 \(10^9\) ,对于后面的我们最多只有根号种取值,根据套路,可以杜教筛/Min_25筛一波. 至于前面的东西,我们可以考虑Min_25筛的过程:…

[51NOD 1847]奇怪的数学题(莫比乌斯反演,杜教筛,min_25筛,第二类斯特林数) 题面 51NOD \[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nsgcd(i,j)^k\] 其中\(sgcd\)表示次大公约数. 题解 明摆着\(sgcd\)就是在\(gcd\)的基础上除掉\(gcd\)的最小因数. 所以直接枚举\(gcd\). \[\begin{aligned} ans&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n sgcd(i,j)^k\\ &=\sum_{i=1…

[ 51nod 1847 ]奇怪的数学题 题目   点这里看题目. 分析   是挺奇怪的......   以下定义质数集合为\(P\),\(p_i\)为第\(i\)个质数.   定义\(mp(x)\)为\(x\)的最小质因子,则可以得到: \[sgcd(a,b)=\frac{\gcd(a,b)}{mp(\gcd(a,b))} \]   这个比较显然.然后可以娴熟地变换式子得到: \[\begin{aligned}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n sgcd(i,j)^k&=\sum…

题目描述 记\(sgcd(i,j)\)为\(i,j\)的次大公约数. 给你\(n\),求 \[ \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n{sgcd(i,j)}^k \] 对\(2^{32}\)取模. \(n\leq {10}^9,k\leq 50\) 题解 记\(f(n)\)为\(n\)的次大因数 显然\(sgcd(i,j)=f(gcd(i,j))\) 先推一波式子. \[ \begin{align} &\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n{sgcd(i,j)}^k\\ =&a…

就当我是 A 了此题吧... 首先预备知识有点多(因为题目要处理的东西都挺毒瘤): 杜教筛运用(当然你可以用其他筛?) 第二类斯特林数相关定理 下降阶乘幂相关定理 min25 筛运用 好了可以关掉本题解了 咳咳上面我除了杜教筛都不会,于是熬了好久才 抄 做掉的 题意 我们首先考虑题目让我们求什么: \[ANS=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n sgcd(i,j)\] 上面的 \(sgcd(i,j)\) 表示 \(gcd(i,j)\) 的次大约数 emmm?有问题么?虽然题目让我们…

​ 记\(f(x)=\)\(x\)的次大因数,那么\(sgcd(i,j)=f(gcd(i,j))\). 下面来推式子: \[ \begin{aligned} \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nsgcd(i,j)^k&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nf(gcd(i,j))^k&记d=gcd(i,j)\\ &=\sum_{d=1}^nf(d)^k\sum_{\frac i d=1}^{\lfloor \frac n d\rfloor}\sum_{\fra…

传送门 Sol 设 \(f(d)\) 表示 \(d\) 所有约数中第二大的,\(low_d\) 表示 \(d\) 的最小质因子 \[f(d)=\frac{d}{low_d}\] 那么 \[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}sgcd^k(i,j)\] \[=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{n}f^k(gcd(i,j))\] \[=\sum_{d=1}^{n}f^k(d)\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}[gcd(i,j)=d]\] \[=…

题面 传送门 题解 这题有毒--不知为啥的错误调了半天-- 令\(f(i)={sgcd(i)}\),那么容易看出\(f(i)\)就是\(i\)的次大质因子,用\(i\)除以它的最小质因子即可计算 于是题目所求即为 \[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n{f(\gcd(i,j))}^k\] \[\sum_{d=1}^n {f(d)}^k\sum_{i=1}^{\left\lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor}\sum_{j=1}^{\left\lfloor\f…

题目描述 给出 N,K ,请计算下面这个式子: \(∑_{i=1}^N∑_{j=1}^Nsgcd(i,j)^k\) 其中,sgcd(i, j)表示(i, j)的所有公约数中第二大的,特殊地,如果gcd(i, j) = 1, 那么sgcd(i, j) = 0. 考虑到答案太大,请输出答案对2^32取模的结果. 1≤N≤109,1≤K≤50 样例解释: 因为gcd(i, j)=1时sgcd(i,j)=0对答案没有贡献,所以我们只考虑gcd(i,j)>1的情况. 当i是2时,j是2时,sgcd(i,j…