4805: 欧拉函数求和 Time Limit: 15 Sec  Memory Limit: 256 MBSubmit: 614  Solved: 342[Submit][Status][Discuss] Description 给出一个数字N,求sigma(phi(i)),1<=i<=N Input 正整数N.N<=2*10^9 Output 输出答案.   Sample Input 10 Sample Output 32 HINT   Source By FancyCoder   直…

好久没写杜教筛了 练练手AC量刷起 # include <bits/stdc++.h> # define RG register # define IL inline # define Fill(a, b) memset(a, b, sizeof(a)) using namespace std; typedef long long ll; const int _(1e7 + 1); IL int Input(){ RG int x = 0, z = 1; RG char c = getchar…

[BZOJ4805]欧拉函数求和(杜教筛) 题面 BZOJ 题解 好久没写过了 正好看见了顺手切一下 令\[S(n)=\sum_{i=1}^n\varphi(i)\] 设存在的某个积性函数\(g(x)\) \[(g*\varphi)(i)=\sum_{d|i}g(d)\varphi(\frac{i}{d})\] \[\sum_{i=1}^n(g*\varphi(i))(i)\] \[=\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}g(d)\varphi(\frac{i}{d})\] \[=\sum…

E - (例题)欧拉函数求和 Crawling in process... Crawling failed Time Limit:1000MS     Memory Limit:65536KB     64bit IO Format:%I64d & %I64u Submit Status Description A lattice point (x, y) in the first quadrant (x and y are integers greater than or equal to 0…

bzoj3944 题目描述 输入 一共T+1行 第1行为数据组数T(T<=10) 第2~T+1行每行一个非负整数N,代表一组询问 输出 一共T行,每行两个用空格分隔的数ans1,ans2 样例输入 6 1 2 8 13 30 2333 样例输出 1 1 2 0 22 -2 58 -3 278 -3 1655470 2 bzoj4805 同上,不需要求mu 题解 杜教筛 公式推导: 这里有一个难点(其实也不能算难),就是由枚举d|i到枚举j≤⌊n/i⌋.此时可以看作下面语句的i是上面语句的i/d,…

欧拉函数: φ(n)=n*(1-1/p1)(1-1/p2)....(1-1/pk),其中p1.p2-pk为n的所有素因子.比如:φ(12)=12*(1-1/2)(1-1/3)=4.可以用类似求素数的筛法.(素数打表)先筛出n以内的所有素数,再以素数筛每个数的φ值.比如求10以内所有数的φ值:设一数组phi[11],赋初值phi[1]=1,phi[2]=2...phi[10]=10:然后从2开始循环,把2的倍数的φ值*(1-1/2),则phi[2]=2*1/2=1,phi[4]=4*1/2=2,p…

解题思路类似莫比乌斯函数之和 题目大意:求[1,n]内的欧拉函数$\varphi$之和.($n<=2*10^{9}$) 思路:令$ M(n)=\sum_{i=1}^{n}\varphi (i)  $,题目所求即为$ M(n) $. 由于$ \sum_{d|n} \varphi (d)=n $ ,所以$ \sum_{i=1}^{n} \sum_{d|i} \varphi (d)=\frac{n(n+1)}{2} $ 令$ i=kd $,则有$ \sum_{i=1}^{n} \sum_{d|i} \…

题面 Description 给出一个数字N,求\(\sum\limits_{i=1}^n\varphi(i)\)i,1<=i<=N Input 正整数N.N<=2*10^9 Output 输出答案. Sample Input 10 Sample Output 32 题目分析 杜教筛模板题. 由\((1*\varphi)=Id\),取\(g(x)=1\). \[ S(n)=\frac {n \cdot (n+1)}2-\sum_{i=2}^nS(\frac ni) \] 代码实现 #in…

https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4805 给出一个数字N,求sigma(phi(i)),1<=i<=N https://blog.csdn.net/popoqqq/article/details/45023331 ←杜教筛的一些讲解 杜教筛用来求积性函数前缀和,本题同bzoj 3944,bzoj 3944多了一个求sigma( μ ( i ) ) #include<iostream> #include<cstd…

[BZOJ3944]Sum Description Input 一共T+1行 第1行为数据组数T(T<=10) 第2~T+1行每行一个非负整数N,代表一组询问 Output 一共T行,每行两个用空格分隔的数ans1,ans2 Sample Input 6 1 2 8 13 30 2333 Sample Output 1 1 2 0 22 -2 58 -3 278 -3 1655470 2 题解: 当i等于1时就是答案,剩余的部分递归算下去就行了(先预处理出1000000以内的答案,其余的答案要用…

归档. 试证明:\(\sum \limits _{d | x} \varphi (d) = x\) Lemma 1. 试证明:\(\sum \limits _{d | p^k} \varphi (d) = p ^k\),其中 \(p\) 为质数. 证明:显然,和 \(n\) 不互质的数一定含有 \(p\) 因子,而在 \([1, n]\) 中总共有 \(\lfloor \frac {n} {p} \rfloor = p ^{k - 1}\) 个含 \(p\) 因子的数,故可知 \(\varphi…

Description 给出一个数字N,求sigma(phi(i)),1<=i<=N Input 正整数N.N<=2*10^9 Output 输出答案. Sample Input 10 Sample Output 32 Solution 杜教筛裸题 #include<bits/stdc++.h> #define ui unsigned int #define ll long long #define db double #define ld long double #defi…

[bzoj2190]: [SDOI2008]仪仗队 在第i行当且仅当gcd(i,j)=1 可以被看到 欧拉函数求和 没了 /* http://www.cnblogs.com/karl07/ */ #include <cstdlib> #include <cstdio> #include <cstring> #include <cmath> #include <map> #include <algorithm> using namesp…

题意 求$ \sum_{i=1}^n gcd(i,n) $ 给定 $n(1\le n\le 2^{32}) $. 链接 题解 欧拉函数 $φ(x)$ :1到x-1有几个和x互质的数. gcd(i,n)必定是n的一个约数. 若p是n的约数,那么gcd(i,n)==p的有$φ(n/p)$个数,因为要使gcd(i,n)==p,i/p和n/p必须是互质的. 那么就是求i/p和n/p互质的i在[1,n]里有几个,就等价于 1/p,2/p,...,n/p 里面有几个和n/p互质,即φ(n/p). 求和的话,…

题意: 给一些数Ai(第 i 个数),Ai这些数代表的是某个数欧拉函数的值,我们要求出数 Ni 的欧拉函数值不小于Ai.而我们要求的就是这些 Ni 这些数字的和sum,而且我们想要sum最小,求出sum最小多少. 解题思路: 要求和最小,我们可以让每个数都尽量小,那么我们最后得到的肯定就是一个最小值. 给定一个数的欧拉函数值ψ(N),我们怎么样才能求得最小的N? 我们知道,一个素数P的欧拉函数值ψ(P)=P-1.所以如果我们知道ψ(N),那么最小的N就是最接近ψ(N),并且大于ψ(N)的素数.我…

分析(官方题解): 一点感想: 首先上面那个等式成立,然后就是求枚举gcd算贡献就好了,枚举gcd当时赛场上写了一发O(nlogn)的反演,写完过了样例,想交发现结束了 吐槽自己手速慢,但是发了题解后发现,这题连O(n)欧拉函数前缀和的都卡了,幸亏没交,还是太年轻 对于官方题解说sqrt(n)优化(其实就是n/(小于n一段数)结果是一样的,也不算什么分块),还是很简单的,做反演题的时候看到过很多,只是忘记了 如果不会请看这篇解题报告http://wenku.baidu.com/view/fbe2…

题意:题目给出一个欧拉函数值F(X),让我们求>=这个函数值的最小数N,使得F(N) >= F(X); 分析:这个题目有两种做法.第一种,暴力打出欧拉函数表,然后将它调整成有序的,再建立一个新的表格记录满足条件的最小的欧拉值. 第二种,根据欧拉函数的性质,针对一个素数N,F(N) = N-1; 然后假设第一个大于N的素数为M,它的函数值为M-1,这时,在(N,M)之间的任何一个数都是合数,并且他们的欧拉值一定小于M-1,所以我们要找到题目中要求的最小数,可以从比它大一的数开始找,直到找到第一个…

A Simple Stone Game Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 262144/262144 K (Java/Others)Total Submission(s): 0    Accepted Submission(s): 0 Problem Description After he has learned how to play Nim game, Bob begins to try another ston…

[LightOJ1370]Bi-shoe and Phi-shoe(欧拉函数) 题面 Vjudge 给出一些数字,对于每个数字找到一个欧拉函数值大于等于这个数的数,求找到的所有数的最小和. 题解 首先线性筛出欧拉函数值 排序之后倒着取min 最后\(O(n)\)求和即可 #include<iostream> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<cmath> #…

https://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/9332753.html 由于欧拉函数是积性函数,可以用乘法分配律变成对每个质因子分开算最后乘起来.再由欧拉函数公式和分配律发现就是等比数列求和问题,特判下1的问题就好了. #include<cstdio> #include<algorithm> #define rep(i,l,r) for (int i=(l); i<=(r); i++) typedef long long ll; using namesp…

3813: 奇数国 Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 256 MBSubmit: 755  Solved: 432[Submit][Status][Discuss] Description 在一片美丽的大陆上有100000个国家,记为1到100000.这里经济发达,有数不尽的账房,并且每个国家有一个银行.某大公司的领袖在这100000个银行开户时都存了3大洋,他惜财如命,因此会不时地派小弟GFS清点一些银行的存款或者让GFS改变某个银行的存款.该村子在财产上的求…

Description Longge is good at mathematics and he likes to think about hard mathematical problems which will be solved by some graceful algorithms. Now a problem comes: Given an integer N(1 < N < 2^31),you are to calculate ∑gcd(i, N) 1<=i <=N.…

题目链接 Problem Description Multiple query, for each n, you need to get $$$$$$ \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{i-1}{ [gcd(i + j, i - j) = 1]} $$$$$$ Input On the first line, there is a positive integer T, which describe the number of queries. Next there are…

题目描述 平面上摆放着一个n*m的点阵(下图所示是一个3*4的点阵).Curimit想知道有多少三点组(a,b,c)满足以a,b,c三点共线.这里a,b,c是不同的3个点,其顺序无关紧要.(即(a,b,c)和(b,c,a)被认为是相同的).由于答案很大,故你只需要输出答案对1,000,000,007的余数就可以了. 输入 有且仅有一行,两个用空格隔开的整数n和m. 输出 有且仅有一行,一个整数,表示三点组的数目对1,000,000,007的余数.(1,000.000.007是质数) 样例输入 3…

UVA11426 GCD - Extreme (II) 题目描述 PDF 输入输出格式 输入格式: 输出格式: 输入输出样例 输入样例#1: 10 100 200000 0 输出样例#1: 67 13015 143295493160 Solution 这道题我用莫比乌斯反演和欧拉函数都写了一遍,发现欧拉函数比莫比乌斯反演优秀? 求所有\(gcd=k\)的数对的个数,记作\(f[k],ans=\sum_{i=1}^{n}(f[i]-1)\),为什么还要-1,我们注意到\(j=i+1\),自己与自己…

题目链接:https://cn.vjudge.net/contest/270608#problem/B 题目大意:题目中说,就是对欧拉函数的重新定义的一种函数的求和. 证明方法: AC代码: #include<iostream> #include<stack> #include<cstring> #include<iomanip> #include<cmath> #include<queue> #include<algorith…

http://172.20.6.3/Problem_Show.asp?id=1378日常懒得看题目怪不得语文差,要好好读题目了,欧拉函数大概是数论里最友好的了,不用解方程不用转换过来转换过去只需要简单乘在一起就可以了.比较有趣的是求和的部分,因为类似于等比数列的性质,求全部的因数独立值的和竟然只需要快速幂然后最后去掉一个没有用的1(因为这个1是从头到尾没有乘上一个因数的)(具体见代码),非常神奇 代码 #include<iostream> #include<cstdio> #inc…

题面 传送门 题解 拿到式子的第一步就是推倒 \[ \begin{align} \sum_{i=1}^nlcm(n,i) &=\sum_{i=1}^n\frac{in}{\gcd(i,n)}\\ &=n\sum_{i=1}^n\frac{i}{\gcd(n,i)}\\ &=n\sum_{d|n}\sum_{i=1}^n \frac{i}{d}[\gcd(n,i)=d]\\ &=n\sum_{d|n}\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}} i[\gcd(i,\fra…

题目描述 求 输入 第一行包含一个正整数T,表示有T组测试数据.接下来T<=10^5行,每行给出一个正整数N,N<=10^6. 输出 包含T行,依次给出对应的答案. 样例输入 7 1 10 100 1000 10000 100000 1000000 样例输出 1 2127 18446224 183011304660 1827127167830060 18269345553999897648 182690854273058293758232 题解 “高精度”+欧拉函数+线性筛 由于$i$和$j$…

Description 给定整数N,求1<=x,y<=N且Gcd(x,y)为素数的数对(x,y)有多少对. Input 一个整数N Output 如题 Sample Input 4 Sample Output 4 Hint 对于样例(2,2),(2,4),(3,3),(4,2) 1<=N<=10^7 这个题目可以用欧拉函数或者莫比乌斯反演. 第一种欧拉函数: 因为gcd(x, y) = p,所以gcd(x/p, y/p) = 1. 不妨设y较大,那么就是求所有比y/p小的数k,ph…