T1. 显然往 \(x < 0, y < 0\) 的点走一定不优. 根据转移式可发现 \(C(x, y)\) 即从 \((0, 0)\) 走到 \((x, y)\) 的方案数 \(\dbinom {x + y} {x}\). 那么兜一个圈圈再回到目的地显然没有直接往目的地走优. 于是我们可以强化限制:每一步只能向右或者上走. 设 \(f_{i, j}\) 表示走到 \((i, j)\) 的体力的最小花费,则有 \(f(i, j) = \min \{f(i - 1, j), f(i, j - 1…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   破案了,朝鲜时蔬 = 超现实树!(指写得像那什么一样的题面.   对于整数集 \(X\),定义其 好子集 为满足 \(Y\subseteq X\land\left(\sum_{y\in Y}y\right)\mid\left(\sum_{x\in X}x\right)\) 的任意 \(Y\).求 \(S_n=[1,n]\cap\mathbb N\) 的所有 \(m\) 阶子集中,包含 \(k\) 阶 好子集 数量最多的子集数…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   一种物品有 长度 和 权值 两种属性,现给定 \(n\) 组物品,第 \(i\) 组有 \(k_i\) 个,分别为 \((1,a_{i,1})..(k_i,a_{i,k_i})\),求在每组物品里恰好选择一个物品,且物品长度和恰为 \(i=n..\sum k\) 时的最大物品权值和.   \(n\le10^5\),\(k_i\le5\). \(\mathcal{Solution}\)   本次 NOIP 模拟赛 考察的知识点…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   给定 \(n\) 和 \(m\) 次多项式 \(f(x)\),求 \[\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}f(i)\bmod998244353 \]   \(m\le10^5\),\(m\le n\le 10^9\). \(\mathcal{Solution}\)   推式子叭~ \[\begin{aligned} \sum_{i=0}^n\binom{n}{i}f(i)&=\sum_{i=0}^ma_i\sum…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   给定一棵 \(n\) 个点的带点权树,删除 \(u\) 点的代价是该点点权 \(a_u\).\(m\) 次操作: 修改单点点权. 询问让某棵子树的根不可到达子树内任意一片叶子的代价.   \(n,m\le2\times10^5\). \(\mathcal{Solution}\)   不考虑修改,列出 DP: \[f(u)=\begin{cases}a_u&u\text{ is leaf}\\\min\{a_u,\sum_vf…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   给定一棵 \(n\) 个结点的带权树,\(m\) 次单点点权修改,求出每次修改后的带权最大独立集.   \(n,m\le10^5\). \(\mathcal{Solution}\)   不考虑修改,显然 DP.令 \(f(u,0/1)\) 表示选 / 不选结点 \(u\),\(u\) 子树内的带权最大独立集.那么: \[\begin{cases}f(u,0)=\sum_v\max\{f(v,0),f(v,1)\}\\f(u,…

\(\mathcal{Description}\)   link.   求 \(n\) 个结点的简单无向连通图个数,对 \(1004535809~(479\times2^{21}+1)\) 取模.   \(n\le1.3\times10^5\). \(\mathcal{Solution}\)   很简单的一道生成函数题.做完之后可以尝试一下点双和边双连通图计数 w.   令 \(f_i\) 为 \(i\) 个结点的简单无向图个数.显然 \(f_i=2^{i\choose 2}\).则其生成函数…

\(\mathcal{Description}\)   link.   求包含 \(n\) 个点的边双连通图的个数.   \(n\le10^5\). \(\mathcal{Solution}\)   类似于这道题,仍令 \(D(x)\) 为有根无向连通图的 \(\text{EGF}\),\(B(x)\) 为边双连通图的 \(\text{EGF}\),考虑用 \(B\) 表示 \(D\).显然,根仅存在于一个边双连通分量中.我们可以在这个连通分量的任意一个点上挂一个有根连通图,这显然不会影响当前的…

\(\mathcal{Description}\)   link.   求有 \(n\) 个结点的点双连通图的个数,对 \(998244353\) 取模.   \(n\le10^5\). \(\mathcal{Solution}\)   奇怪的 GF 增加了 w!   对于带标号简单无向图,其 \(\text{EGF}\) 为 \(F(x)=\displaystyle\sum_{i=0}^{+\infty}\frac{2^{i\choose2}x^i}{i!}\)(任意两点间有连与不连两种情况.…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   容量为 \(n\),\(m\) 种物品的无限背包,求凑出每种容量的方案数,对 \(998244353\) 取模.   \(n,m\le10^5\). \(\mathcal{Solution}\)   感觉货币系统是这道题的弱化版 qwq.   还有这个博客园对齐公式自动编号的 feature 怎么去掉啊--   对于大小为 \(v\) 的物品,有生成函数: \[G(x)=\sum_{i=0}^{+\infty}x^{iv}…