国际惯例的题面:看起来很神的样子......如果我说这是动态DP的板子题你敢信?基于链分治的动态DP?说人话,就是树链剖分线段树维护DP.既然是DP,那就先得有转移方程.我们令f[i]表示让i子树中的叶子节点全部与根不联通,所需要的最小代价,v[i]为输入的点权.显然f[i]=min(v[i],sigma(f[soni])),边界条件是,如果i是叶子节点,则f[i]=v[i].我们需要用链分治去维护这个DP,所以要把DP拆成重链和轻链独立的形式.我们还是用f[i]表示让i子树中的叶子节点全部与根…

不知道为什么要把这两个没什么关系的算法放到一起写...可能是都很黑科技? 1.线段树分治 例题:bzoj4026 二分图 给你一个图,资瓷加一条边,删一条边,询问当前图是不是二分图 如果用 LCT 的话我们要维护关于删除时间的最大生成树,然后每进来一条边判断奇环,就很难写 线段树分治可以很好的解决这种有插入有删除单点询问的问题 如果没有加入边和删除边的操作,显然我们可以用带权并查集判断奇环解决 然后我们就要考虑怎么把带加入和带删除的问题转换成没有加入和删除的问题 我们记一下每条边存在的时间区间,…

题目大意:略 题目传送门 数据结构好题,但据说直接上动态DP会容易处理不少,然而蒟蒻不会.一氧化碳大爷说还有一个$log$的做法,然而我只会$log^{2}$的.. 考虑静态时如何处理,设$f[x]$表示堵住$x$这棵子树的最小花费,$g[x]$表示$x$所有子节点的$f[x]$总和,$a[x]$表示x点的权值 容易得到方程$f[x]=min(g[x],a[x])$ 那么如果点权是动态的呢? 本题中的修改操作只会把点权增加 而真正对答案产生影响的,是某些节点的$f$值取的是$g$值还是$a$值…

Description 小A走到一个山脚下,准备给自己造一个小屋.这时候,小A的朋友(op,又叫管理员)打开了创造模式,然后飞到山顶放了格水.于是小A面前出现了一个瀑布.作为平民的小A只好老实巴交地爬山堵水.那么问题来了:我们把这个瀑布看成是一个n个节点的树,每个节点有权值(爬上去的代价).小A要选择一些节点,以其权值和作为代价将这些点删除(堵上),使得根节点与所有叶子结点不连通.问最小代价.不过到这还没结束.小A的朋友觉得这样子太便宜小A了,于是他还会不断地修改地形,使得某个节点的权值发生变化…

题面 传送门 思路 DP方程 首先,这题如果没有修改操作就是sb题,dp方程如下 $dp[u]=max(v[u],max(dp[v]))$,其中$v$是$u$的儿子 我们令$g[u]=max(dp[v])$ 修改? 我们发现,本题中所有的修改都是非负的 也就是说,每一次修改结束以后,$dp[u]$的值只增不减 同时,修改$u$位置的$v[u]$值,只会影响到$u$到根的这一条链上的$dp$值 我们考虑修改后,这条链上的每个点的$dp[u]$值的增量,令这个增量为$delta[u]$ 那么显然当$…

LINK:Decompose 看起来很难 实际上也很难 考验选手的dp 树链剖分 矩阵乘法的能力. 容易列出dp方程 暴力dp 期望得分28. 对于链的情况 容易发现dp方程可以转矩阵乘法 然后利用线段树维护矩阵即可. 这个矩阵很容易列出这里不再赘述. 对于100分 容易想到动态dp模型 LCT写动态dp是万万不能的. 而且这道题的dp方程和其他儿子也有些关系. 考虑树链剖分 然后分别计算轻儿子和重儿子的贡献. 让重儿子利用矩阵来进行转移 轻儿子当做常数. 这样每次修改的时候 修改的节点最多只有…

目录 前置知识 全局平衡二叉树 大致介绍 建图过程 修改过程 询问过程 时间复杂度的证明 板题 前置知识 在学习如何使用全局平衡二叉树之前,你首先要知道如何使用树链剖分解决动态DP问题.这里仅做一个简单的回顾,建议在有一定基础的情况下看. 首先,维护序列的动态DP我们就不说了,这里只讨论树上的动态DP问题. 然后,目前个人感觉,动态DP往往有一些奇怪的特征. 一般问题是支持动态修改某一个点的权值,以及询问根节点的(也就是全局的)或者是某一个子树的DP值. 而通常是从静态的情况下入手,写出一个结构…

传送门 ddpddpddp模板题. 题意简述:给你一棵树,支持修改一个点,维护整棵树的最大带权独立集. 思路: 我们考虑如果没有修改怎么做. 貌似就是一个sbsbsb树形dpdpdp,fi,0f_{i,0}fi,0​表示不选iii的最大值,fi,1f_{i,1}fi,1​表示选iii的最大值. 那么可以这样从iii的儿子vvv转移过来: fp,0+=max{fv,0,fv,1},fp,1+=fv,0f_{p,0}+=max\{f_{v,0},f_{v,1}\},f_{p,1}+=f_{v,0}f…

题目描述 给出一棵树,点有点权.多次增加某个点的点权,并在某一棵子树中询问:选出若干个节点,使得每个叶子节点到根节点的路径上至少有一个节点被选择,求选出的点的点权和的最小值. 输入 输入文件第一行包含一个数n,表示树的大小. 接下来一行包含n个数,表示第i个点的权值. 接下来n-1行每行包含两个数fr,to.表示书中有一条边(fr,to). 接下来一行一个整数,表示操作的个数. 接下来m行每行表示一个操作,若该行第一个数为Q,则表示询问操作,后面跟一个参数x,表示对应子树的根:若 为C,则表示修…

题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4712 因为作为动态DP练习而找到,所以就用动态DP做了,也没管那种二分的方法. 感觉理解似乎加深了. 果然初始权值也都是非负的. 所以 dp[cr] 表示当前子树与自己的叶子都断开了的最小代价,则 dp[cr]=min{ sigma dp[v] , w[cr] }(v是cr的直接孩子). 但这样的话,修改的时候需要把自己到根的路径都走一遍.不过查询是O(1)的,所以考虑分配一下. 走到根的…

洪水 bzoj-4712 题目大意:给定一棵$n$个节点的有根树.每次询问以一棵节点为根的子树内,选取一些节点使得这个被询问的节点包含的叶子节点都有一个父亲被选中,求最小权值.支持单点修改. 注释:$1\le n\le 2\cdot 10^5$.保证任意时刻所有节点的权值为正整数. 想法:显然这是一道动态$dp$的题. 如果没有单点修改操作,我们直接树形$dp$: 状态:$f_i$表示以$i$为根的答案. 转移:$f_i=max(a_i,\sum\limits f_j)$. 现在有了单点修改操作…

题目链接: [集训队作业2018]蜀道难 题目大意:给出一棵$n$个节点的树,要求给每个点赋一个$1\sim n$之内的权值使所有点的权值是$1\sim n$的一个排列,定义一条边的权值为两端点权值差的绝对值,要求对于任意两点间的路径要么路径上所有点的点权单调,要么存在路径上的第三个点到这两个点的路径分别单调(即两点间路径先单调递增再单调递减或先单调递减再单调递增).求出整棵树最小边权和,并支持动态插入点之后完成上述问题. 前言: 这道题综合性比较强且代码量及细节非常多,是迄今为止我做过最神仙的…

[模板]"动态 DP"&动态树分治 第一道动态\(DP\)的题,只会用树剖来做,全局平衡二叉树什么的就以后再学吧 所谓动态\(DP\),就是在原本的\(DP\)求解的问题上加上修改操作,从而使得问题变成动态的问题 这道题的问题就是普通的树形\(DP\)上加上了修改点权的操作 题意: 给定一棵 \(n\) 个点的树.\(i\) 号点的点权为 \(a_i\).有 \(m\) 次操作,每次操作给定 \(u\),\(w\),表示修改点 \(u\) 的权值为 \(w\).你需要在每次操作…

题目分析: 不难发现可以用动态DP做. 题目相当于是要我求一条路径,所有与路径有交的链的代价加入进去,要求代价最大. 我们把链的代价分成两个部分:一部分将代价加入$LCA$之中,用$g$数组保存:另一部分将代价加在整条链上,用$d$数组保存. 这时候我们可以发现,一条从$u$到$v$的路径的代价相当于是$d[LCA(u,v)]+\sum_{x \in edge(u,v)}g[x]$. 如果是静态的,可以用树形DP解决. 看过<神奇的子图>的同学都知道,叶子结点是从它的儿子中取两个最大的出来,所…

[BZOJ4712]洪水(动态dp) 题面 BZOJ 然而是权限题QwQ,所以粘过来算了. Description 小A走到一个山脚下,准备给自己造一个小屋.这时候,小A的朋友(op,又叫管理员)打开了创造模式,然后飞到 山顶放了格水.于是小A面前出现了一个瀑布.作为平民的小A只好老实巴交地爬山堵水.那么问题来了:我们把这 个瀑布看成是一个n个节点的树,每个节点有权值(爬上去的代价).小A要选择一些节点,以其权值和作为代价将 这些点删除(堵上),使得根节点与所有叶子结点不连通.问最小代价.不过到…

国际惯例的题面:这题......最大连通子块和显然可以DP,加上修改显然就是动态DP了......考虑正常情况下怎么DP:我们令a[i]表示选择i及i的子树中的一些点,最大连通子块和;b[i]表示在i的子树中选择一些点(不一定包含i),最大连通子块和.那么我们要询问i的子树的话,答案就是b[i]了.考虑这个DP怎么转移,a[i]=max(sigma(j:SON_i)a[j]+v[i],0),b[i]=max((j:SON_i)b[j],a[i]).陈俊锟说过,树上动态DP,就是把树拆成链,分离轻…

不难发现此题是一道动态$dp$题 考虑此题没有修改怎么做,令$f[i]$表示让以$i$为根的子树被覆盖的最小花费,不难推出$f[i]=min(\sum_{j∈son[i]} f[j],val[i])$. 依然采用树链剖分+线段树维护每一条链.线段树上每个节点维护$val1$和$val2$两个值. 其中$val1$表示$\sum_{(fa[i]∈U)\&(i∉V)}f[i]$.U为该区间上点的点集,V为该区间所在链的点集. $val2$表示以区间右端点为根的子树被覆盖的最小代价. 这东西随便维护一…

题目描述 给出一棵n个点.以1为根的有根树,点有点权.要求支持如下两种操作: M x y:将点x的点权改为y: Q x:求以x为根的子树的最大连通子块和. 其中,一棵子树的最大连通子块和指的是:该子树所有子连通块的点权和中的最大值 (本题中子连通块包括空连通块,点权和为0). 输入 第一行两个整数n.m,表示树的点数以及操作的数目. 第二行n个整数,第i个整数w_i表示第i个点的点权. 接下来的n-1行,每行两个整数x.y,表示x和y之间有一条边相连. 接下来的m行,每行输入一个操作,含义如题目…

题目描述 给定一棵n个点的树,点带点权. 有m次操作,每次操作给定x,y,表示修改点x的权值为y. 你需要在每次操作之后求出这棵树的最大权独立集的权值大小. 输入输出格式 输入格式: 第一行,n,m分别代表点数和操作数. 第二行,V1,V2,...,Vn,代表n个点的权值. 接下来n−1行,x,y,描述这棵树的n−1条边. 接下来m行,x,y,修改点x的权值为y. 输出格式: 对于每个操作输出一行一个整数,代表这次操作后的树上最大权独立集. 保证答案在int范围内 动态DP讲解:   考虑最大独…

BZOJ1492:[NOI2007]货币兑换 题目传送门 [问题描述] 小Y最近在一家金券交易所工作.该金券交易所只发行交易两种金券:A纪念券(以下简称A券)和B纪念券(以下简称B券).每个持有金券的顾客都有一个自己的 帐户.金券的数目可以是一个实数.每天随着市场的起伏波动,两种金券都有自己当时的价值,即每一单位金券当天可以兑换的人民币数目.我们记录第K天中A券 和B券的价值分别为AK和BK(元/单位金券). 为了方便顾客,金券交易所提供了一种非常方便的交易方式:比例交易法. 比例交易法分为两个…

题目描述 给定一棵 n 个点的树,点带点权. 有 m 次操作,每次操作给定 x,y,表示修改点 x 的权值为 y. 你需要在每次操作之后求出这棵树的最大权独立集的权值大小. 输入格式 第一行有两个整数,分别表示结点个数 n 和操作个数 m. 第二行有 n 个整数,第 i 个整数表示节点 iii 的权值 ai. 接下来 (n−1) 行,每行两个整数 u,v,表示存在一条连接 u 与 v 的边. 接下来 m 行,每行两个整数 x,y,表示一次操作,修改点 x 的权值为 y. 输出格式 对于每次操作,…

题面 题目链接-Luogu 题目链接-Loj(要加Freopen) 题解 什么是动态DP? OneInDark:你不需要知道这么多,你只需要知道是利用了广义矩阵乘法就够了! 广义矩乘 广义矩阵乘法,简单来说,就是把基本的 乘法 和 加法 运算符改成其它运算符,同时这两种运算要满足 前者对后者有分配律,如:加法 和 最大或最小值,按位与 和 异或 等.因为,我们会发现,乘法 和 加法 组成的传统矩阵乘法之所以有哪些性质,其根本原因就在于乘法对加法的分配律. 举个例子,有这么个 DP 转移: d p…

题意 给出 \(n\) 个点的树,每个时刻可能出现一条路径 \(A_i\) 或者之前出现的某条路径 \(A_i\) 消失,每条路径有一个权值,求出在每个时刻过后能够找到的权值最大的路径(指所有和该路径有交的路径 \(A\) 的权值和) \(B\) 的权值是多少. \(n\leq 10^5\) 分析 结论:两条树上路径有交,则一定有一条路径经过另一条路径的 \(lca\). 根据上面的性质我们考虑用树形dp的方式求解. 将一条路径的权值在每个点 \(x\) 关系分成两种: \(a\) :路径的 \…

看起来很模板的一个题啊 qwq 但是我还是wei 题目要求的是一个把根节点和所有叶子断开连接的最小花费. 还是想一个比较\(naive\)的做法 我们令\(dp1[i]\)表示,在\(i\)的子树内,把叶子全都隔断的最小代价,那么 \[dp1[i]=max(\sum dp1[p],val[i]) \] 但是这样暴力并不能通过这个题. 考虑怎么来优化更新的过程呢. 由于是树上问题,根据套路,我们对原树进行树链剖分. 令\(dp[i]\)表示除去重儿子的所有\(dp1[p]\)的和. 那么我们重新定…

不得不承认,去年提高组 D2T3 对动态 DP 起到了良好的普及效果. 动态 DP 主要用于解决一类问题.这类问题一般原本都是较为简单的树上 DP 问题,但是被套上了丧心病狂的修改点权的操作.举个例子,我们来看一道例题. [模板]动态 DP 给定一棵 \(n\) 个点的树.\(i\) 号点的点权为 \(a_i\).有 \(m\) 次操作,每次操作给定 \(u, w\),表示修改点 \(u\) 的权值为 \(w\).你需要在每次操作之后求出这棵树的最大权独立集的权值大小. 我们首先考虑没有修改的情…

序列 dp 引入:最大子段和 给定一个数列 \(a_1, a_2, \cdots, a_n\)(可能为负),求 \(\max\limits_{1\le l\le r\le n}\left\{\sum_{i=l}^ra_i\right\}\). 这是一个经典的 动态规划 问题:设 \(f_{i}\) 为以 \(a_i\) 结尾的最大子段和,设 \(g_{i}\) 为前 \(i\) 个数的最大子段和.那么显然有: \[\begin{cases} f_i = \max(f_{i-1} + a_i, 0…

目录 「CF 750E」New Year and Old Subsequence 「洛谷 P4719」「模板」"动态 DP" & 动态树分治 「洛谷 P6021」洪水 「SP 6779」GSS7 「NOIP 2018」「洛谷 P5024」保卫王国 \(\mathcal{Introduction}\) \(\mathcal{Problem~1}\)   给定序列 \(\{a_n\}\),其中 \(a_i\in\mathbb Z\),求其最大子段和(不能为空).   很显然的 DP…

动态dp初探 动态区间最大子段和问题 给出长度为\(n\)的序列和\(m\)次操作,每次修改一个元素的值或查询区间的最大字段和(SP1714 GSS3). 设\(f[i]\)为以下标\(i\)结尾的最大子段和,\(g[i]\)表示从起始位置到\(i\)以内的最大子段和. \[ f[i]=\max(f[i-1]+a[i],a[i])\\g[i]=\max(g[i-1],f[i]) \] 定义如下的矩阵乘法,显然这满足乘法结合律和分配律. \[ C=AB\\C[i,j]=\max_{k}(A[i,k…

学习了一下动态DP 问题的来源: 给定一棵 \(n\) 个节点的树,点有点权,有 \(m\) 次修改单点点权的操作,回答每次操作之后的最大带权独立集大小. 首先一个显然的 \(O(nm)\) 的做法就是每次做一遍树形DP(这也是我在noip考场上唯一拿到的部分分),直接考虑如何优化这个东西. 简化一下问题,假如这棵树是一条链,那就变得很简单了,可以直接拿线段树维护矩阵加速. 可是如果每个点不止有一个儿子呢? 我们首先树剖一下. 设 \(g[i][0]=\sum\limits_{j\in ligh…

题目大意 给你三棵树,点数都是\(n\).求 \[ \max_{i,j}d_1(i,j)+d_2(i,j)+d_3(i,j) \] 其中\(d_k(i,j)\)是在第\(k\)棵数中\(i,j\)两点之间的距离. \(n\leq 100000\) 题解 设\(d(i,j)=d_1(i,j)+d_2(i,j)+d_3(i,j),h_k(i)\)为\(i\)号点在第\(k\)棵树上的深度 一棵树 树形DP. 时间复杂度:\(O(n)\) 两棵树 这是一道集训队自选题. 点分治+动态点分治 设这两个点…