int reverse(int x, int len){ ; ; i < len; i <<= ){ t <<= ; ; } return t; } Complex A[]; void FFT(Complex *a, int n, int DFT){ ; i < n; ++i) A[reverse(i, n)] = a[i]; ; i <= n; i <<= ){ Complex wn = Complex(cos( * pi / i), DFT * s…

[题目分析] 快速傅里叶变换用于高精度乘法. 其实本质就是循环卷积的计算,也就是多项式的乘法. 两次蝴蝶变换. 二进制取反化递归为迭代. 单位根的巧妙取值,是的复杂度成为了nlogn 范德蒙矩阵计算逆矩阵又减轻了拉格朗日插值法的复杂度. 十分神奇. [代码] #include <cstdio> #include <cstring> #include <cstdlib> #include <cmath> #include <set> #includ…

前言 快速傅里叶变换(\(\text{Fast Fourier Transform,FFT}\) )是一种能在\(O(n \log n)\)的时间内完成多项式乘法的算法,在\(OI\)中的应用很多,是多项式相关内容的基础.下面从头开始介绍\(\text{FFT}\). 前置技能:弧度制.三角函数.平面向量. 多项式 形如\(f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n\)的式子称为\(x\)的\(n\)次多项式.其中\(a_0,a_1,...,a_n\)称为多项式的系数. 系数…

众所周知,tzc 在 2019 年(12 月 31 日)就第一次开始接触多项式相关算法,可到 2021 年(1 月 1 日)才开始写这篇 blog. 感觉自己开了个大坑( 多项式 多项式乘法 好吧这个应该是多项式各种运算中的基础了. 首先,在学习多项式乘法之前,你需要学会: 复数 我们定义虚数单位 \(i\) 为满足 \(x^2=-1\) 的 \(x\). 那么所有的复数都可以表示为 \(z=a+bi\) 的形式,其中 \(a,b\) 均为实数. 复数的加减直接对实部虚部相加减就行了. 复数的乘…

注意:这一系列实验的图像处理程序,使用Matlab实现最重要的图像处理算法 1.Fourier兑换 (1)频域增强 除了在空间域内能够加工处理图像以外,我们还能够将图像变换到其它空间后进行处理.这些方法称为变换域方法,最常见的变换域是频域. 使用Fourier变换把图像从空间域变换到频域.在频域内做对应增强处理,再从频域变换到空间域得到处理后的图像. 我们这里主要学习Fourier变换和FFT变换的算法,没有学过通信原理,我对信号.时域分析也不是非常清楚. 2.FFT算法 (1)离散Fourie…

前言 快速傅里叶变换(\(\text{Fast Fourier Transform,FFT}\) )是一种能在\(O(n \log n)\)的时间内完成多项式乘法的算法,在\(OI\)中的应用很多,是多项式相关内容的基础.下面从头开始介绍\(\text{FFT}\). 前置技能:弧度制.三角函数.平面向量. 多项式 形如\(f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n\)的式子称为\(x\)的\(n\)次多项式.其中\(a_0,a_1,...,a_n\)称为多项式的系数. 系数…

注:本系列来自于图像处理课程实验.用Matlab实现最主要的图像处理算法 1.Fourier变换 (1)频域增强 除了在空间域内能够加工处理图像以外.我们还能够将图像变换到其它空间后进行处理.这些方法称为变换域方法,最常见的变换域是频域. 使用Fourier变换把图像从空间域变换到频域.在频域内做对应增强处理,再从频域变换到空间域得到处理后的图像. 我们这里主要学习Fourier变换和FFT变换的算法,没有学过通信原理,我对信号.时域分析也不是非常清楚. 2.FFT算法 (1)离散Fourier…

[算法模板]FFT-快速傅里叶变换 感谢ZYW聚聚为我们讲解FFT~ 思路 我懒,思路和证明部分直接贴链接: rvalue LSJ-FFT与NTT基础 代码 主要思想是利用了单位根特殊的性质(n次单位根后一半幂跟前一半幂取值相等).只是因为式子中奇数次幂还要提出来个\(\omega_n^k\),这个东西只要取个反就好了(即对称性:\(\omega_n^k=-\omega_n^{k+\frac{n}{2}}\)). FFT递归: #include <cstdio> #include <cm…

struct Complex { double x,y; Complex(double x1=0.0 ,double y1=0.0) { x=x1; y=y1; } Complex operator -(const Complex &b)const { return Complex(x-b.x,y-b.y); } Complex operator +(const Complex &b)const { return Complex(x+b.x,y+b.y); } Complex operat…

在数字信号处理中常常需要用到离散傅立叶变换(DFT),以获取信号的频域特征.尽管传统的DFT算法能够获取信号频域特征,但是算法计算量大,耗时长,不利于计算机实时对信号进行处理.因此至DFT被发现以来,在很长的一段时间内都不能被应用到实际的工程项目中,直到一种快速的离散傅立叶计算方法--FFT,被发现,离散傅立叶变换才在实际的工程中得到广泛应用.需要强调的是,FFT并不是一种新的频域特征获取方式,而是DFT的一种快速实现算法.本文就FFT的原理以及具体实现过程进行详尽讲解. DFT计算公式 本文不…