题目链接:洛谷 \[ Ans=\frac{1}{k}(\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}p^ii-\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}p^i(i \ \mathrm{mod} \ k)) \] \[ \begin{aligned} Ans&=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}p^i(i \ \mathrm{mod} \ k) \\ &=\sum_{d=0}^{k-1}\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}p^id((i-d) \ \math…

P5591 小猪佩奇学数学 知识点 二项式定理 \[(x+1)^n=\sum_{i=0}^n\binom nix^i \] 单位根反演 \[[n\mid k]=\frac 1n\sum_{i=0}^{n-1}\omega_n^{ik} \] 证明: \[[n\mid k]=\begin{cases}\frac 1n\sum_{i=0}^{n-1}\omega_n^{ik}=\frac 1n\sum_{i=0}^{n-1}1=1 &,n\mid k\\ \frac 1n\sum_{i=0}^{n-…

正题 题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P5591 题目大意 给出\(n,p,k\)求 \[\left(\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}p^i\left\lfloor\frac{i}{k}\right\rfloor \right)\mod 998244353 \] \(1\leq n,p<998244353,k=2^w(w\in[0,20])\) 解题思路 开始以为推错了,结果是要特判 推出了看上去不是我能推的式子 \[\sum_{i=1…

题目:https://loj.ac/problem/6485 先把 \( a_{i mod 4} \) 处理掉,其实就是 \( \sum\limits_{i=0}^{3} a_{i} \sum\limits_{j=0}^{n} C_{n}^{j} * s^{j} * [4|(j-i)] \) 然后把 \( [4|(j-i)] \) 单位根反演,得到 \( \sum\limits_{i=0}^{3} a_{i} \sum\limits_{j=0}^{n} C_{n}^{j} * s^{j} * \…

也许更好的阅读体验 \(\mathcal{Description}\) 原题链接 \(T\)组询问,每次给\(n,s,a_0,a_1,a_2,a_3\)求 \(\begin{aligned}\left(\sum ^{n}_{i=0}\begin{pmatrix} n \\ i \end{pmatrix}\cdot s^{i}\cdot a_{i\ mod\ 4}\right)mod\ 998244353\end{aligned}\) \(\mathcal{Solution}\) 这道题要用单位根…

题目:https://loj.ac/problem/6485 \( \sum\limits_{k=0}^{3}\sum\limits_{i=0}^{n}C_{n}^{i}s^{i}a_{k}[4|(i-k)] \) 然后就是套路即可. #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; ll rdn() { ll ret=;;ch…

新学的黑科技,感觉好nb ~ #include <bits/stdc++.h> #define ll long long #define setIO(s) freopen(s".in","r",stdin) using namespace std; const ll mod=998244353; inline ll qpow(ll x,ll y) { ll tmp=1; x=x%mod; y=(y%(mod-1)+mod-1)%(mod-1); for(…

数学杂烩总结(多项式/形式幂级数+FWT+特征多项式+生成函数+斯特林数+二次剩余+单位根反演+置换群) 因为不会做目录所以请善用ctrl+F 本来想的是笔记之类的,写着写着就变成了资源整理 一些有的没的的前置 导数 \(f'(x)=\lim\limits_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{f(x+\triangle x)-f(x)}{\triangle x}\) \(\sin x:\cos x\) \(\cos x:-\sin x\) \(\ln x:\frac{…

[LOJ#6485]LJJ 学二项式定理(单位根反演) 题面 LOJ 题解 显然对于\(a0,a1,a2,a3\)分开算答案. 这里以\(a0\)为例 \[\begin{aligned} Ans&=\frac{1}{4}a_0\sum_{i=0}^n [4|i]{n\choose i}s^i\\ &=\frac{1}{4}a_0\sum_{i=0}^n{n\choose i}s^i\sum_{j=0}^3 (\omega_4^{j})^i\\ &=\frac{1}{4}a_0\su…

题面 传送门 题解 首先你要知道一个叫做单位根反演的东西 \[{1\over k}\sum_{i=0}^{k-1}\omega^{in}_k=[k|n]\] 直接用等比数列求和就可以证明了 而且在模\(998244353\)意义下的\(\omega_k^1=g^{P-1\over k}\) 据说这玩意儿在\(NTT\)的证明里有?然而我那时候光顾着背板子了 所以这个单位根反演简称小单的玩意儿能干嘛呢 然后我们惊奇的发现小单可以让我们快速求一个数列里某个数倍数项的和 \[ \begin{align…