题解 前置芝士:深度理解的矩阵树定理 矩阵树定理能求生成树个数的原因是,它本质上求的是: \[\sum_T \prod_{e\in T} w_e \] 其中 \(w_e\) 是边权,那么我们会发现其实当边权是 \(1\) 时,本式所求即为生成树个数. 那么回到这题来,这题让求的是 \[\sum_{T}\prod_{e\in T}w_e\prod_{e\notin T}(1-w_e) \] 很容易看出来,这个式子和上面矩阵树的式子很像.让我们来推一波. \[(\sum_T \prod_{e\in…

P3317 [SDOI2014]重建 详情看这位神犇的blog 剩下的注释在code里吧....... #include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<cmath> using namespace std; typedef double db; ; db d[][],ans=1.0; int n; db det(){//矩阵树定理板子,计算行列式 db re=1.0,div; ;i…

传送门:https://www.luogu.org/problemnew/show/P3317 这道题的推导公式还是比较好理解的,但是由于这个矩阵是小数的,要注意高斯消元方法的使用: #include <algorithm> #include <iterator> #include <iostream> #include <cstring> #include <cstdlib> #include <iomanip> #include…

传送门 思路 相信很多人像我一样想直接搞Matrix-Tree定理,而且还过了样例,然后交上去一分没有. 但不管怎样这还是对我们的思路有一定启发的. 用Matrix-Tree定理搞,求出的答案是 \[ t=\sum_{E\;is\;a\;tree} \prod_{e\in E} W_e \] 其中\(W_e\)表示我们给\(e\)赋的权值,现在还不知道是啥. 然而,我们要的答案却是这样的: \[ ans=\sum_{E\;is\;a\;tree} \prod_{e\in E} w_e \prod…

思路 变元矩阵树定理可以统计最小生成树边权积的和,将A矩阵变为边权,D变为与该点相连的边权和,K=D-A,求K的行列式即可 把式子化成 \[ \begin{align}&\sum_{T}\prod_{e\in T}p_e\prod_{i\not\in T}(1-p_i)\\=&\sum_T\prod_{e\in T}p_e\prod_{i}(1-p_i)\prod_{e\in T}\frac{1}{(1-p_e)}\\=&\sum_T\prod_{e\in T}\frac{p_e}…

3534: [Sdoi2014]重建 Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 512 MBSec  Special JudgeSubmit: 709  Solved: 323 Description T国有N个城市,用若干双向道路连接.一对城市之间至多存在一条道路.    在一次洪水之后,一些道路受损无法通行.虽然已经有人开始调查道路的损毁情况,但直到现在几乎没有消息传回.    辛运的是,此前T国政府调查过每条道路的强度,现在他们希望只利用这些信息估计灾情.具体地,…

https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3534 https://www.luogu.org/problemnew/show/P3317 T国有N个城市,用若干双向道路连接.一对城市之间至多存在一条道路. 在一次洪水之后,一些道路受损无法通行.虽然已经有人开始调查道路的损毁情况,但直到现在几乎没有消息传回. 辛运的是,此前T国政府调查过每条道路的强度,现在他们希望只利用这些信息估计灾情.具体地,给定每条道路在洪水后仍能通行的概率,请计算仍…

题解看这里,主要想说一下以前没见过的变元矩阵树还有前几个题见到的几个小细节. 邻接矩阵是可以带权值的.求所有生成树边权和的时候我们有一个基尔霍夫矩阵,是度数矩阵减去邻接矩阵.而所谓变元矩阵树实际上就是把度数矩阵和邻接矩阵带权化,也就是度数矩阵变成该点连接的所有边的权值和,邻接矩阵变成边权矩阵,剩下的依然是求一个行列式.变元矩阵树求的是所有可能生成树的边权之积. 值得注意的点: 交换两行,行列式取反.在\(double\)存矩阵的时候可以最后取对角线乘积的绝对值,但如果答案要取膜就需要套上一个辗转…

题目大意:(略) 题解: 相对误差……我好方. 考虑答案应该为所有合法答案概率之和.对于一个合法的生成树,其出现概率应为所有选取边的概率出现的积 乘以 所有未选取边不出现概率的积. 即: $\;\prod_{e\in tree} p_e\prod_{e\notin tree}1-p_e$ $=\prod_{e\in tree}\frac{p_e}{1-p_e}\prod_{e}1-p_e$ 然后按照新边权列行列式即可. 代码: #include "bits/stdc++.h" usin…

题目 T国有N个城市,用若干双向道路连接.一对城市之间至多存在一条道路. 在一次洪水之后,一些道路受损无法通行.虽然已经有人开始调查道路的损毁情况,但直到现在几乎没有消息传回. 辛运的是,此前T国政府调查过每条道路的强度,现在他们希望只利用这些信息估计灾情.具体地,给定每条道路在洪水后仍能通行的概率,请计算仍能通行的道路恰有N-1条,且能联通所有城市的概率. 输入格式 输入的第一行包含整数N. 接下来N行,每行N个实数,第i+l行,列的数G[i][j]表示城市i与j之 间仍有道路联通的概率. 输…

传送门 为了搞这个题又是学行列式,又是学基尔霍夫矩阵. 矩阵树定理 本题题解 无耻地直接发链接,反正我也是抄的题解.. #include <cstdio> #include <cmath> #include <iostream> using namespace std; int n; double a[101][101]; double ans = 1, tmp = 1, eps = 1e-9; inline void gs() { int i, j, k; doubl…

题目链接 https://www.luogu.org/problemnew/show/P4198 分析 一句话题意,一条数轴上有若干楼房,坐标为\(xi\)的楼房有高度\(hi\),那么它的斜率为\(hi/xi\),操作包含单元素高度修改,动态询问最长上升斜率序列个数 一开始想什么分治或是离线操作之类的,却因为水平低并不会做,看了题解居然发现就是线段树!看了一下感觉真妙啊,线段树真是个神奇的数据结构 线段树维护两个东西\(sum[now],mx[now]\); \(sum[now]\)是\(no…

题目描述 T国有N个城市,用若干双向道路连接.一对城市之间至多存在一条道路. 在一次洪水之后,一些道路受损无法通行.虽然已经有人开始调查道路的损毁情况,但直到现在几乎没有消息传回. 辛运的是,此前T国政府调查过每条道路的强度,现在他们希望只利用这些信息估计灾情.具体地,给定每条道路在洪水后仍能通行的概率,请计算仍能通行的道路恰有N-1条,且能联通所有城市的概率. 输入输出格式 输入格式: 输入的第一行包含整数N. 接下来N行,每行N个实数,第i+l行,列的数G[i][j]表示城市i与j之间仍有道…

变形的$Martix-Tree$定理 发现我们要求的是$\prod_{i \in E}{p_{i}} * \prod_{i \notin E}{(1-p_{i})}$ 然后呢? 矩阵树对重边也有效对吧.考虑带权图,发现建出来的矩阵的任何一个$n-1$阶主子式的行列式的值都是其所有生成树的边权之积的和 那么就可以搞了,考虑每一条边权为$\frac{p_{i}}{(1-p_{i})}$,最后再乘一个$\prod{(1-p_{i})}$即可 #include<cstdio> #include<…

Description T国有N个城市,用若干双向道路连接.一对城市之间至多存在一条道路. 在一次洪水之后,一些道路受损无法通行.虽然已经有人开始调查道路的损毁情况,但直到现在几乎没有消息传回. 幸运的是,此前T国政府调查过每条道路的强度,现在他们希望只利用这些信息估计灾情.具体地,给定每条道路在洪水后仍能通行的概率,请计算仍能通行的道路恰有N-1条,且能联通所有城市的概率. Input 输入的第一行包含整数N. 接下来N行,每行N个实数,第i+l行,列的数G[i][j]表示城市i与j之 间仍有…

首先,我们需要求的是 $$\sum\limits_{Tree} \prod\limits_{E \in Tree} E(u, v) \prod\limits_{E \notin Tree} (1 - E(u, v))$$ 我们知道变元矩阵树定理 ---> 不知道请见此 我们自然希望要求和的事物只跟生成树的边有关 因此考虑把$\prod\limits_{E \notin Tree} (1 - E(u, v))$转化为$\prod\limits_{E} (1 - E(u, v)) * \frac{1…

真的很开心呢,总算是有一道完完全全由自己做出来的题目啦~ 这一道题目洛谷P3311和另一道JSOI文本生成器的题目是十分相像的,dp方面几乎相同.只是<=n的约束,让这道题目必须结合数位dp的方法,新建一个维度代表之后数字的大小是否受到限制.0代表受限,1代表不受限.但是处理前导零的部分的确较为头痛,最后采取的方法是在第一次dp的时候不允许有前导零的存在,在第二次dp的时候才把这一部分的答案统计出来.所以在第二次的dp转移中,一个节点只能由父亲节点.而不能由Fail节点转移而来. #includ…

洛谷P3313 大概是一道树链剖分的裸题.可以看出如果不是查询相同宗教的这一点,就和普通的树链剖分毫无两样了.所以针对每一个宗教都单独开一棵线段树,变成单点修改+区间查询.只不过宗教数目很多,空间消耗太大所以只能开一棵总的再动态开点. #include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define maxn 200500 #define maxm 2000000 , cnt, tot, root[maxn], name[maxn], head[max…

原来矩阵树定理对于边是概率的情况也是适用的qwqwq. ref #include <iostream> #include <cstdio> #include <cmath> using namespace std; int n; double w[55][55], uu; const double eps=1e-7; void gauss(){ for(int i=1; i<=n; i++){ int maxi=i; for(int j=i+1; j<=n;…

啊啊啊无脑背过果然不可取 比如这道题就不会写 参考:https://blog.csdn.net/iamzky/article/details/41317333 #include<iostream> #include<cstdio> #include<cmath> using namespace std; const int N=55; const double eps=1e-7; int n; double a[N][N],tmp=1; int cmp(double x…

点此看题面 大致题意: 给你一张图,每条边有一定存在概率.求存在的图刚好为一棵树的概率. 矩阵树定理是什么 如果您不会矩阵树定理,可以看看蒟蒻的这篇博客:初学矩阵树定理. 矩阵树定理的应用 此题中,直接根据\(p_{i,j}\)来套矩阵树定理显然是不可以的. 考虑我们把每个\(p_{i,j}\)变成\(\frac{p_{i,j}}{1-p_{i,j}}\),套用矩阵树定理,然后最后将结果乘上\(\prod_{i=1}^n\prod_{j=i+1}^n(1-p_{i,j})\),就是答案了. 此时…

传送门 Description  T国有N个城市,用若干双向道路连接.一对城市之间至多存在一条道路. 在一次洪水之后,一些道路受损无法通行.虽然已经有人开始调查道路的损毁情况,但直到现在几乎没有消息传回. 幸运的是,此前T国政府调查过每条道路的强度,现在他们希望只利用这些信息估计灾情.具体地,给定每条道路在洪水后仍能通行的概率,请计算仍能通行的道路恰有N-1条,且能联通所有城市的概率. Solution 给出每条边出现的概率,求生成一棵树的概率. 首先要知道矩阵树定理和变元矩阵树定理... 对于…

传送门 解题思路 比较容易看的出来矩阵树定理.然后就怒送一Wa,这个矩阵树定理是不能直接用的.题目要求的其实是这个玩意. \[ ans=\sum\limits_{Tree}( \prod\limits_{e\in Tree}p_e*\prod\limits_{e\notin Tree}(1-p_e)) \] 而矩阵树能求的东西本质上其实是每棵生成树的积的和,说人话就是这个. \[ now=\sum\limits_{Tree}\prod\limits_{e\in Tree}w_e \] 这个形式跟…

#include <bits/stdc++.h> #define eps 1e-6 using namespace std; const int N = 55; namespace mat { double a[N][N]; int n,p=1; double gauss_jordan() { double ans = 1; for(int i=1;i<=n;i++) { int r=i; for(int j=i+1;j<=n;j++) if(fabs(a[j][i])>fa…

qwq 一开始想了个错的做法. 哎 直接开始说比较正确的做法吧. 首先我们考虑题目的\(ans\)该怎么去求 我们令\(x\)表示原图中的某一条边 \[ans = \sum \prod_{x\in tree} p_x \prod_{x\ not\in tree} (1-p_x) \] qwq而根据矩阵树定理,我们可以求出来所有生成树的边权乘积的和,也就是前一部分. 现在我们考虑应该怎么优化第二部分. qwq 我们经过推理能发现,我们可以用总的除去在生成树里面的求出来不在生成树里面的. 也就是说…

终于学到这个了,本来准备省选前学来着的? 前置知识:矩阵行列式 矩阵树定理 矩阵树定理说的大概就是这样一件事:对于一张无向图 \(G\),我们记 \(D\) 为其度数矩阵,满足 \(D_{i,i}=\text{点}i\text{的度数}\),\(D_{i,j}=0(i\ne j)\),再记 \(A\) 为其邻接矩阵,满足 \(A_{i,j}=i,j\text{之间边的条数}\),如果有重边则算作多条边. 设 \(K=D-A\),那么去掉 \(K\) 第 \(k\) 行第 \(k\) 列(\(k\…

Preface 老叶说了高中停课但是初中不停的消息后我就为争取民主献出一份力量 其实就是和老师申请了下让我们HW的三个人听课结果真停了 那么还是珍惜这次机会好好提升下自己吧不然就\(AFO\)了 List Luogu P4198 楼房重建 把高度化为斜率,然后就是个动态最长上升子序列的问题了,线段树上二分即可解决,而且可以做到\(O(n\log n)\) NOIP模拟赛10.24 实力翻车,T1主席树裸题切了,T2想了贪心+前缀和+二分正解,最后1min写完发现忘记判边界了炸到60,T3以为很难…

\(Matrix-tree\) 定理用来解决一类生成树计数问题,以下前置知识内容均是先基于无向无权图来介绍的.有关代数余子式的部分不是很明白,如果有错误还请指出-- 部分内容参考至:\(Blog\_1\) & \(Blog\_2\). \(Laplacian\) 矩阵 定义: 在 \(n\) 个点的无向图中: 度数矩阵 \(D\) 即为一个 \(n*n\) 的矩阵,定义为 \(D[i][i]=i\) 号点的度数,\(D[i][j]=0\) \((i \ne j)\). 邻接矩阵 \(A\) 即为…

目录 @0 - 参考资料@ @0.5 - 你所需要了解的线性代数知识@ @1 - 矩阵树定理主体@ @证明 part - 1@ @证明 part - 2@ @证明 part - 3@ @证明 part - 4@ @2 - 一些简单的推广@ @3 - 例题与应用@ @4 - prüfer 序列@ @0 - 参考资料@ MoebiusMeow 的讲解(超喜欢这个博主的!) 网上找的另外一篇讲解 @0.5 - 你所需要了解的线性代数知识@ 什么是矩阵? 什么是高斯消元?这个虽然与主题无关,但是求解行列…

本篇口胡写给我自己这样的什么都乱证一通的口胡选手 以及那些刚学Matrix-Tree,大致理解了常见的证明但还想看看有什么简单拓展的人- 大概讲一下我自己对Matrix-Tree定理的一些理解.常见版本的证明.我自己的证明,以及简单的一些应用(比如推广到有向图.推广到生成树边权的乘积和什么的,非常基础). 应该看到这里的人都知道Matrix-Tree定理是干什么的吧-就是统计一个无向图的生成树个数,表示成一个行列式. 1.前置定义及性质 首先是Matrix-Tree定理相关的定义:对于一个无向图…