\(\mathcal{Description}\)   Link.   给定一棵 \(n\) 个结点的树,每次操作选择三个结点 \(a,b,c\),满足 \((a,b),(b,c)\in E\),并令 \(a\) 的所有邻接点(包括 \(b\))与 \(c\) 邻接且不再与 \(a\) 邻接:再令 \(a\) 与 \(c\) 邻接.求至少几次操作使树变为菊花图.   \(n\le2\times10^5\).   操作图例: \(\mathcal{Solution}\)   和 CF1025G 有…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   给定一棵 \(n\) 个点的树,反复随机选取一条边,合并其两端两点,新点编号在两端两点等概率选取.问每个点留到最后的概率.   \(n\le50\). \(\mathcal{Solution}\)   推荐 @ywy_c_asm 的博客 owo.   所有的操作方案数是 \((n-1)!\),我们可以按删边顺序看做一个长度为 \(n-1\) 的序列.对于每个点分别计算答案,把当前要算的点提为根(记为 \(r\)),我们只需要…

\(\mathcal{Description}\)   Link. 做题原因:题目名.   给定一个长度 \(n-1\) 的序列 \(\{a_2,a_3,\cdots,a_n\}\),其描述了一棵 \(n\) 个点的有根树-- \(1\) 为根节点,\(i~(i\in(1,n])\) 结点的父亲是 \(a_i~(a_i\in[1,i))\).接下来有 \(q\) 次操作: 给定 \(l,r,x\),\(\forall i\in[l,r],~a_i\leftarrow \max\{a_i-x,1\…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   在一个 \(n\times n\) 的国际象棋棋盘上摆 \(n\) 个车,求满足: 所有格子都可以被攻击到. 恰好存在 \(k\) 对车可以互相攻击.   的摆放方案数,对 \(998244353\) 取模.   \(n\le2\times10^5\). \(\mathcal{Solution}\)   这道<蓝题>嗷,看来兔是个傻子.   从第一个条件入手,所有格子可被攻击,那就有「每行都有车」或「每列都有车」成立.不妨…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   定义棵点权为 \(1\sim n\) 的二叉搜索树 \(T\) 是 好树,当且仅当: 除去最深的所有叶子后,\(T\) 是满的: 对于 \(T\) 中任意结点 \(r\),若 \(r\) 存在左儿子 \(u\),则 \(r\not\equiv u\pmod2\): 若 \(r\) 存在右儿子 \(v\),则 \(r\equiv v\pmod2\):   给定 \(n\),求 好树 数量.答案对 \(998244353\) 取…

\(\mathcal{Description}\)   link.   给定一个 \(n\) 个结点 \(m\) 条边的无向图,\(q\) 次操作每次随机选出一条边.问 \(q\) 条边去重后构成生成树的方案总数,对 \(p\) 取模. \(\mathcal{Solution}\)   首先求出 \(n-1\) 条边构成生成树的方案数,显然矩阵树定理.   接着,令 \(f(i,j)\) 表示操作 \(i\) 次,去重后有 \(j\) 条边的方案数.那么有: \[f(i,j)=jf(i-1,j)…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   给定序列 \(\{a_n\}\) 和 \(m\) 个操作,第 \(i\) 个操作有 \(p_i\) 的概率将 \([l_i,r_i]\) 内的元素 \(+1\).且保证任意两个区间要么不交,要么有包含关系.求所有操作完成后序列最大值的期望.   \(n\le10^5\),\(m\le5000\). \(\mathcal{Solution}\)   首先应当知道,\(E(\max\{a_i\})\not=\max\{E(a_i…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   给一个 \(n\times n\) 的棋盘,其中 \(q\) 个互不重叠的子矩阵被禁止放棋.问最多能放多少个互不能攻击的车.   \(n,q\le10^4\). \(\mathcal{Solution}\)   如果把问题转化成"只允许在某些子矩阵上放棋",就是一个很显然的线段树优化建图最大流.源点连向行上的线段树叶子,流量为 \(1\):行上的线段树结点向父亲连边,流量为正无穷:对于每个矩阵,行在树上分裂的 $\…

\(\mathscr{Description}\)   Link.   求 \(S\subseteq\{1,2,\dots,n\}\),使得 \(\prod_{i\in S}i\) 是完全平方数,并最大化 \(|S|\).   \(n\le10^6\). \(\mathscr{Solution}\)   爆搜打出 \(20\) 以内的表,发现 \(|S|\approx n\).先研究偶数 \(n=2k\): \[\begin{aligned} \prod_{i=1}^{2k} i! &= \le…

\(\mathscr{Description}\)   Link.   给定两棵含 \(n\) 个结点的树 \(T_1=(V_1,E_1),T_2=(V_2,E_2)\),求一个双射 \(\varphi:V_1\rightarrow V_2\),使得 \(\forall (u,v)\in V_1^2,~(u,v)\notin E_1\lor (\varphi(u),\varphi(v))\notin E_2\),或声明无解.   \(n\le10^4\). \(\mathscr{Solution…