题目描述 Atm有一段时间在虐qtree的题目,于是,他满脑子都是tree,tree,tree…… 于是,一天晚上他梦到自己被关在了一个有根树中,每条路径都有边权,一个神秘的声音告诉他,每个点到其他的点有一个距离(什么是距离不用说吧),他需要对于每个点回答:从这个点出发的第k小距离是多少: 如果atm不能回答出来,那么明天4019的闹钟将不会响,4019全寝可能就迟到了,所以atm希望你帮帮他. 输入 第一行,两个正整数n,k,表示树的点数,询问的是第几小距离: 第二~n行,每行三个正整数x,y…

裸点分,点分树每层维护有序表,查询二分,复杂度$O(nlog^3n)$. #include<bits/stdc++.h> #define M (u+v>>1) #define pb push_back #define FOR(i,v)\ for(int i=0;i!=v.size();++i) using namespace std; void eq2(int&x,int y){x=x<y?y:x;} const int N=1e5+5; typedef int ar…

[BZOJ2117] [2010国家集训队]Crash的旅游计划 Description 眼看着假期就要到了,Crash由于长期切题而感到无聊了,因此他决定利用这个假期和好友陶陶一起出去旅游. Crash和陶陶所要去的城市里有$N (N > 1) $个景点,Crash用正整数\(1\)到\(N\)给景点标号.这些景点之间通过\(N − 1\)条无向道路相连,每条道路有一个长度,并且保证任意两个景点之间都有且仅有一条路径相连.现在对于一个景点\(s\),Crash和陶陶从\(s\)出发,然后访问一…

Description 眼看着假期就要到了,Crash由于长期切题而感到无聊了,因此他决定利用这个假期和好友陶陶一起出去旅游. Crash和陶陶所要去的城市里有N (N > 1) 个景点,Crash用正整数1到N给景点标号. 这些景点之间通过N - 1条无向道路相连,每条道路有一个长度,并且保证任意两个景点之间都有且仅有一条路径相连. 现在对于一个景点s,Crash和陶陶从s出发,然后访问一个景点序列{v0, v1, v2, - , vk}, 其中v0就是s,且vi-1和vi(0 < i ≤…

感觉现在写点分治可快了~ 二分答案,就可以将求第 $k$ 大转换成一个判断问题,直接拿点分树判断一下就行了. #include <cstdio> #include <vector> #include <algorithm> #define N 100004 #define setIO(s) freopen(s".in","r",stdin) using namespace std; int n,edges,K; int hd[N]…

[BZOJ2051]A Problem For Fun/[BZOJ2117]Crash的旅游计划/[BZOJ4317]Atm的树 题目大意: 给出一个\(n(n\le10^5)\)个结点的树,每条边有一个正整数权值\(w_i(w_i\le10^4)\),定义两个结点的距离为连接这两个结点路径上边权的和.对于每个结点\(i\),它到其他\(n-1\)个结点都有一个距离,将这些距离从小到大排序,输出第\(k\)个距离. 思路: 重心剖分预处理每个重心管辖范围内从重心出发能够组成的所有距离.询问时二分…

题目 [国家集训队] Crash 的文明世界 前置 斯特林数\(\Longrightarrow\)斯特林数及反演总结 做法 \[\begin{aligned} ans_x&=\sum\limits_{i=1}^ndis(i,x)^k\\ &=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=0}^k\begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}C_{dis(i,x)}^jj!\\ &=\sum\limits_{j=0}^k\begin{Bmatr…

[国家集训队]Crash的数字表格 / JZPTAB 题意 求\(\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^mlcm(i,j)\),\(n,m\le 10^7\) 鉴于我式子没推出来,所以再推一遍. \[\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^mlcm(i,j)\] \[=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m\frac{ij}{gcd(i,j)}\] \[=\sum\limits_{i=1}…

题面 传送门:洛咕 Solution 调到自闭,我好菜啊 为了方便讨论,以下式子\(m>=n\) 为了方便书写,以下式子中的除号均为向下取整 我们来颓柿子吧qwq 显然,题目让我们求: \(\large \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m lcm(i,j)\) \(lcm\)没法玩,我们转到\(gcd\)形式: \(\large \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m \frac{i*j}{gcd(i,j)}\) 根据套路,我们去枚举\(gcd\) \(\large \s…

题解-[国家集训队]Crash的数字表格 / JZPTAB 前置知识: 莫比乌斯反演 </> [国家集训队]Crash的数字表格 / JZPTAB 单组测试数据,给定 \(n,m\) ,求 \[\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m\operatorname{lcm}(i,j)\bmod 20101009 \] 数据范围:\(1\le n,m\le 10^7\). 作为写出了最暴力的做法的蒟蒻,来推个式子. \(n\le m\),一气呵成: \[\begi…

P1829 [国家集训队]Crash的数字表格 原题传送门 前置芝士 莫比乌斯反演 乘法逆元 数论分块 正文 //补充:以下式子中的除法均为整除 由题目可以得知,这道题让我们所求的数,用一个式子来表达即为:\(\boxed{ANS=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m LCM(i,j)}\) 而根据莫比乌斯反演的内容,我们可以对右边的式子进行进一步的推导: \[\begin{align} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m LCM(i,j)&=\sum_{i=1}^…

Description 眼看着假期就要到了,Crash由于长期切题而感到无聊了,因此他决定利用这个假期和好友陶陶一起出去旅游. Crash和陶陶所要去的城市里有N (N > 1) 个景点,Crash用正整数1到N给景点标号. 这些景点之间通过N - 1条无向道路相连,每条道路有一个长度,并且保证任意两个景点之间都有且仅有一条路径相连. 现在对于一个景点s,Crash和陶陶从s出发,然后访问一个景点序列{v0, v1, v2, … , vk}, 其中v0就是s,且vi-1和vi(0 < i ≤…

题目描述 今天的数学课上,Crash小朋友学习了最小公倍数(Least Common Multiple).对于两个正整数a和b,LCM(a, b)表示能同时整除a和b的最小正整数.例如,LCM(6, 8) = 24. 回到家后,Crash还在想着课上学的东西,为了研究最小公倍数,他画了一张NM的表格.每个格子里写了一个数字,其中第i行第j列的那个格子里写着数为LCM(i, j).一个45的表格如下: 1 2 3 4 5 2 2 6 4 10 3 6 3 12 15 4 4 12 4 20 看着这…

传送门:洛谷,bzoj 题目描述 今天的数学课上,Crash小朋友学习了最小公倍数(Least Common Multiple).对于两个正整数a和b,LCM(a, b)表示能同时整除a和b的最小正整数.例如,LCM(6, 8) = 24. 回到家后,Crash还在想着课上学的东西,为了研究最小公倍数,他画了一张NM的表格.每个格子里写了一个数字,其中第i行第j列的那个格子里写着数为LCM(i, j).一个45的表格如下: 1 2 3 4 5 2 2 6 4 10 3 6 3 12 15 4 4…

题目背景 提示:原 P1829 半数集问题 已经迁移至 P1028 数的计算 题目描述 今天的数学课上,Crash小朋友学习了最小公倍数(Least Common Multiple).对于两个正整数a和b,LCM(a, b)表示能同时整除a和b的最小正整数.例如,LCM(6, 8) = 24. 回到家后,Crash还在想着课上学的东西,为了研究最小公倍数,他画了一张N*M的表格.每个格子里写了一个数字,其中第i行第j列的那个格子里写着数为LCM(i, j).一个4*5的表格如下: 1 2 3 4…

Description 给定一棵 \(n\) 个点的树,对于每个点 \(i\) 求 \(S(i)=\sum\limits_{j=1}^n \operatorname{dist(i,j)}^k\) .\(n\leq 50000,k\leq 150\). Sol 根据斯特林展开,原式化为 \[ \begin{align}S(i)= & \sum\limits_{j=1}^n \sum\limits_{p=0}^k S(k,p)\cdot \dbinom{\operatorname{dist(i,j)…

不错的树形$ DP$的题 可为什么我自带大常数啊$ cry$ 链接:here 题意:给定一棵$ n$个节点的树,边权为$ 1$,对于每个点$ x$求$ \sum\limits_{i=1}^n dist(x,i)^k$ 数据范围:$ n<=50000,k<=150$ $ Solution$ 直接推式子 上下$ DP$先考虑子树内的贡献 有$ in(x)^k=\sum\limits (in(son[x])+1)^k$ 这是因为自己子树内的每个点到自己的距离都$ ++$ 再考虑子树外的贡献 有$ o…

传送门 思路 又见到这个\(k\)次方啦!按照套路,我们将它搞成斯特林数: \[ ans_x=\sum_{i=0}^k i!S(k,i)\sum_y {dis(x,y) \choose i} \] 前面可以枚举,考虑后面那东西怎么求. 我们不知道为什么但就是考虑DP:设: \[ dn_{x,t}=\sum_{y\in x} {dis(x,y) \choose t}\\ up_{x,t}=\sum_{y\notin x} {dis(x,y) \choose t} \] 其中\(y\in x\)表示…

Description: 求$ \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m lcm(i,j) $ Hint: $ n,m<=10^7 $ Solution: 这题有每次询问 \(O(n)\) 做法,然而原题是多组询问,所以还是好好推 \(O(\sqrt[]{n})\) 做法 首先: \(Ans=\sum_{d=1}^{n}d * \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m i * j * [gcd(i,j)==1] ​\) $Ans=\sum_{d=1}^{n}d * \sum_…

传送门:洛谷 题目大意:设$$S(i)=\sum_{j=1}^ndis(i,j)^k$$,求$S(1),S(2),\ldots,S(n)$. 数据范围:$n\leq 50000,k\leq 150$ 这道题,看见$k$次方和就直接上斯特林数. $$S(x)=\sum_{i=0}^ki!S(k,i)\sum_{y=1}^nC_{dis(x,y)}^i$$ 然后我们考虑求最后一项. 设$$up_{x,t}=\sum_{y\notin x}C_{dis(x,y)}^t,dn_{x,t}=\sum_{y…

推式子太快乐啦!虽然我好蠢而且dummy和maomao好巨(划掉) 思路 莫比乌斯反演的题目 首先这题有\(O(\sqrt n)\)的做法但是我没写咕咕咕 然后就是爆推一波式子 \[ \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}lcm(i,j) \] \[ \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\frac{i\times j}{gcd(i,j)} \] 设$ gcd(i,j)=d$ \[ \sum_{d=1}^{n}d\sum_{i=1}^{\lfloor\frac…

题面 这种套着高次幂的统计问题一般都要用到第二类斯特林数和自然数幂的关系:$a^k=\sum\limits_{i=0}^{k}S_k^iC_a^i*i!$ 那么对于每个点$x$有: $ans_x=\sum\limits_{i=0}^k S_{k}^i C_{\sum dis(x,j)}^i i!$ 问题变成求$C_{\sum dis(x,j)}^i$,神仙告诉我们,这个东西要DP求 为什么要DP求?先往下看 那么就设$dp[i][k]$表示以i为根的子树里$C_{\sum dis(i,j)}^k…

先写一个五十分的思路吧 首先这道题有一个弱化版 [POI2008]STA-Station 相当于\(k=1\),于是就是一个非常简单的树形\(dp\)的\(up\ \ and\ \ down\)思想 但是我们现在要求的是这个柿子了 \[\sum_{j=1}^ndis(i,j)^k\] 感觉这个东西很组合数学啊,感觉这个柿子像是天生为二项式定理准备的 我们还是考虑树形\(dp\) 在第一遍\(up\)的时候,我们设\(dp[i][k]\)表示 \[\sum_{j\in{i}}dis(i,j)^k\…

这道题我们要求的是 \[\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^Mlcm(i,j)\] 总所周知\(lcm\)的性质不如\(gcd\)优雅,但是唯一分解定理告诉我们\(gcd(i,j)\times lcm(i,j)=i\times j\) 所以很容易的可以转化成这个柿子 \[\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^M\frac{i\times j}{(i,j)}\] 现在开始套路了 先设两个函数 \[f(n)=\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^M[(i,j)==n]\ti…

求解\(\sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{m}lcm\left ( i,j \right )\). 有\(lcm\left ( i,j \right )=\frac{ij}{gcd\left ( i,j \right )}\), 所以原本的式子转化为:\(\sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{m}\frac{ij}{gcd\left ( i,j \right )}\). 注意到\(i, j\) 均为 \(gcd\left ( i,j \right…

---题面--- 题解: $$ans = \sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{m}{\frac{ij}{gcd(i, j)}}$$ 改成枚举d(设n < m) $$ans = \sum_{d = 1}^{n}\sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{m}[gcd(i, j) == d]\frac{ij}{d}$$ 考虑枚举$id$ 设$N = \lfloor{\frac{n}{d}}\rfloor$,$M = \lfloor{\frac{m}{d}}\r…

被 bs 了姿势水平--好好学习数学QAQQAQQAQ ref #include <iostream> #include <cstring> #include <cstdio> using namespace std; typedef long long ll; int n, m, pri[10000005], cnt, mu[10000005], qia[10000005]; bool isp[10000005]; const int mod=20101009; vo…

传送门 式子好麻烦orz……大佬好腻害orz->这里 //minamoto #include<iostream> #include<cstdio> #define ll long long using namespace std; ,mod=; int n,m,vis[N],p[N],cnt,mu[N];ll sum[N]; ll ans,inv2,summ; void init(int lim){ mu[]=; ;i<=lim;++i){ ; ;j<=cnt&a…

又一道...分数和取模次数成正比$qwq$ 求:$\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^Mlcm(i,j)$ 原式 $=\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^M\frac{i*j}{gcd(i.j)}$ $=\sum_{d=1}^{N}\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{N}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{M}{d}\rfloor}dij[gcd(i,j)==1]$ $=\sum_{d=1}^{N}\sum_{i=1}^{\l…

传送门 题目要求,求: \[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mlcm(i,j)\] 先转化为gcd的形式,然后枚举gcd. \[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\sum_{d=1}^n\frac{ij}{d}[gcd(i,j) = d]\] 把d除进去,套用莫比乌斯函数的性质: \[\sum_{d=1}^nd\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}i\sum_{j=1}^{\frac{m}{d}}j\sum_{p|i.p|j}\mu(p)\] 继续替换得到:…