树形DP和状压DP和背包DP 树形\(DP\)和状压\(DP\)虽然在\(NOIp\)中考的不多,但是仍然是一个比较常用的算法,因此学好这两个\(DP\)也是很重要的.而背包\(DP\)虽然以前考的次数挺多的,但是现在基本上已经成了人人都能AK的题了,所以也不经常考了. 树形DP 树形DP这个非常特殊,他好像和是唯一一个用深搜实现的DP,所以我们学好它也是应该的,其特点是通过深搜. 思路 先找到一个根节点,然后预处理出所有子树的大小. 然后深搜把最底层的子节点得状态处理出来. 递归回溯到根节点,…

https://www.luogu.org/problem/show?pid=2704 题意: 炮兵在地图上的摆放位子只能在平地('P') 炮兵可以攻击上下左右各两格的格子: 而高原('H')上炮兵能够攻击到但是不能摆放 求最多能摆放的炮兵的数量 就是这个意思. 难度提高,弱省省选 一开始是想写dfs(迷之八皇后)的, 但是看到数据量100就想dp了: 因为题目n的范围给的很少n<=10,想到状压 非常明显是一个状态压缩的dp(状压dp) 其实可以当做状压的入门题目来做. 由于本行的状态是由前若…

Mondriaan's Dream Time Limit: 3000MS   Memory Limit: 65536K Total Submissions: 17203   Accepted: 9918 Description Squares and rectangles fascinated the famous Dutch painter Piet Mondriaan. One night, after producing the drawings in his 'toilet series…

题目链接 (BZOJ) https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4042 (Luogu) https://www.luogu.org/problem/P4757 题解 挺神仙的题. 观察到两个重要性质: (1) 只有不影响任何已选方案的时候,才需要去考虑是否要选择\(u\)的子树内往上走的链.(因为链不带权值) (2) 如果要选择\(u\)子树内往上走的链,那么最多选择一条. 由此可知,我们可以记录哪些链在\(u\)子树内的所有方案中是必…

也就作业几题而已,分析一下提醒 最重要的就是,记住,没用的状态无论怎么转移最后都会是没用的状态,所以每次转移以后的有值的状态都是有用的状态. 几种思考方向: 第一种:枚举当前的状态,转移成另外一个状态 第二种:枚举最终状态,然后通过另外一个枚举能转移到这种状态 ①就是给你一个地图,然后这个图上面1的可以放东西,0的不能放,问一共有n个东西,每个东西只能放在特定的几个位置上,最多有几种?POJ2441 这个问题就是,因为地图之间的每个空间都是很大的,如果只是普通的dp是无法进行状态转移的,因此这道…

又是一道思路清新的小清晰. 观察题目,如果我们确定了平民或者贵族的任意一方,我们便可以贪心的求出另一方,至此20分:我们发现层数十分小,那么我们就也是状压层数,用lca转移,线性dp,至此50分(好像数据很水这么打能A):至今我们没有用到他是一棵完全二叉树,那么我们发现如果进行树dp,也就是说从子节点转移到父节点,f[i][j],以i为根的子树里的平民有j个参战贡献最大值,我们需要确定平民的请况而且有不能状压,但是结合我们上次得出的结论,我们发现如果我们dp状态的意义为,在确定由此节点到root…

点此看题面 大致题意: 给你\(n\)个字符串,问你有多少个长度为\(L\)的字符串,使得这些字符串都是它的子串.若个数不大于\(42\),按字典序输出所有方案. 状压 显然,由于\(n\)很小,我们可以把每个字符串是否出现过状压起来. 这样就可以起到极大的优化作用. 我们可以对每个节点开一个变量\(Ex\)记录一下该节点存在哪些字符串,转移起来就很方便了. \(AC\)自动机上\(DP\) 由于和子串有关,这题可以看做是一个多模匹配问题. 所以,我们考虑建出\(AC\)自动机. 然后,我们就可…

因为篇幅太长翻着麻烦,计划把DP拆成几个小专题,这里原文只留下状压,其他请至后续博文. 状态压缩优化 所谓状态压缩,就是将原本需要很多很多维来描述,甚至暴力根本描述不清的状态压缩成一维来描述. 时间复杂度一般为\(O(2^n\cdot n^2)\)的形式 (ZZ并不太会算复杂度,如果博客中复杂度有错误,请指出并尽情嘲讽我,谢谢!) 眼界极窄的ZZ之前只是听说过这个名字--先感谢Lrefrain学长把这个东西介绍给我orz 使用状态压缩优化的常见情景: 这个数据范围怎么有一维出奇的小啊? 互不侵犯…

传送门 题意:$n$种宝物,出现$k$次每次一种,每种宝物有价值和吃掉它之前必须要吃掉的宝物的集合,求采取最优策略的期望最大价值 1<=k<=100,1<=n<=15,分值为[-10^6,10^6]内的整数. 看到$n$应该想到状压.... $f[i][s]$表示前$i$次已经吃掉的集合为$s$的期望最大值 然而正推的话,答案是谁呢? 所以倒推,表示这个状态到结束得到的期望最大值 转移枚举出现的宝物,最后乘上概率$\frac{1}{n}$ #include <iostream…

C - Circling Round Treasures 题意: 在一个$n*m$的地图上,有一些障碍,还有a个宝箱和b个炸弹.你从(sx,sy)出发,走四连通的格子.你需要走一条闭合的路径,可以自交,且围出来的复杂多边形内不能包含任何炸弹.你围出来的复杂多边形中包含的宝箱的价值和减去步数就是你的收益.求最大收益.$n,m \le 20,a + b \le 8$ 太坑了课件上的题意有问题一开始没说步数... 后来改上然后$inq[][][]$最后没从$2$改成$S$然后我就看着玄学的$inq$好…

题意:给定一张点数不超过10的无向连通图,每条边有一个[0,1]之间的随机权值,求最小生成树上最大边的期望值 提示:对于n个[0,1]之间的随机变量x1,x2,...,xn,第k小的那个的期望值是k/(n+1). 思路:From http://www.cnblogs.com/ihopenot/p/6606665.html 题目后面的小提示很有用,问题实际上就转化为了求用k条边使原图恰好联通的概率. 但是恰好联通是个很蛋疼的条件,所以我们稍微把问题再变一变,我们去求用k条边原图仍不联通的概率 设f…

Codeforces 678E. Another Sith Tournament 题意: n(n<=18)个人打擂台赛,给定任意两人对决的胜负概率,比赛规则:可指定一人作为最开始的擂主,每次可指定台下的人替代失败的人上去对决,失败的人出局.问在最优决策下,第一个人留到最后的概率. 思路: 首先要观察到这一性质:一号玩家要想取得最终胜利的概率尽可能大,一定要把他安排在最后上场,只打一次.获胜概率与当前擂主以及台下的人有关,所以这个是状态,容易想到需要用二进制表示来压缩状态. 然而想到这些还是不好做…

统计$[L,R]$内LIS长度为$k$的数的个数,$Q \le 10000,L,R < 2^{63}-1,k \le 10$. 首先肯定是数位DP.然后考虑怎么做这个dp.如果把$k$记录到状态里没有用.需要找到有效方法统一的表示前面填好的数的特点方便之后的填数. 回顾LIS过程,当前数结尾的LIS是前面比他小的数的LIS中的max+1,但是没有办法记录下来,因为如果记录下前面以数字$0\sim 9$结尾的maxLIS的话空间不够. 尝试换一种表示方法.回顾LIS的$O(nlogn)$做法,发现…

棋盘 需要注意的几点: 题面编号都是从0开始的,所以第1行实际指的是中间那行 对\(2^{32}\)取模,其实就是\(unsigned\ int\),直接自然溢出啥事没有 棋子攻击范围不会旋转 首先,我们得找出所有满足条件的同一行的状态,在此之前,我们要先处理出状态\(S\)下,第\(k\)行能被棋子攻击到的格子\(at[k][S]\) 先钦定自己不能攻击自己 再枚举每一个状态中每一个1,然后对攻击范围模板进行左移/右移操作,把这一行这种状态能攻击到的格子或上他 接下来,枚举每一个状态,如果\(…

PACM Team 链接:https://www.nowcoder.com/acm/contest/141/A来源:牛客网 时间限制:C/C++ 1秒,其他语言2秒 空间限制:C/C++ 262144K,其他语言524288K Special Judge, 64bit IO Format: %lld 题目描述 Eddy was a contestant participating in ACM ICPC contests. ACM is short for Algorithm, Coding,…

题目链接:http://acm.hit.edu.cn/hoj/problem/view?id=2662 1.引言:用dp解决一个问题的时候很重要的一环就是状态的表示,一般来说,一个数组即可保存状态. 但是有这样的一类题目,它们具有dp问题的特性,但状态中所包含的信息过多,如果要用数组来保存状态的话需要四维以上的数组. 于是,就要通过状态压缩来保存状态,而使用状态压缩来保存状态的dp就叫做状态压缩dp. 2.状态压缩dp的特点:状态中的某一维会比较小,一般不会超过15,多了的话状态数会急剧上升而无…

二进制的力量 状态压缩DP 愤怒的小鸟 第一次接触状态压缩DP是在NOIP2016的愤怒的小鸟,当时菜得连题目都没看懂,不过现在回过头来看还是挺简单的,那么我们再来看看这道题吧. 题意&数据范围看这 考虑预处理出两个点构成的抛物线,因为经过原点,所以对于二次函数 ax2+bx+c因此已知两个点 (x1,y1),(x2,w2)可得出 a=(y2/x2+y1/x1)/(x2-x1) b=(y2-ax22)/x2 所以思路也就自然而然的来了,枚举两个点,求出它们所构成的抛物线,再枚举其它的点,看这条抛…

题意: 平衡树定义为“一个整数的某个数位若是奇数,则该奇数必定出现偶数次:偶数位则必须出现奇数次”,比如 222,数位为偶数2,共出现3次,是奇数次,所以合法.给一个区间[L,R],问有多少个平衡数? 思路: 这题比较好解决,只有前导零问题需要解决.如果枚举到011,那么其前导零(偶数)出现了1次而已,而此数11却是平衡数,所以不允许前导零的出现! 由于dfs时必定会枚举到前导零,否则位数较少的那些统计不到.状态需要3维or2维也行,3维的比较容易处理,用一维表示数位出现次数,另一维表示数位是否…

题意: 前面3/4的英文都是废话.将一个正整数看成字符串,给定一个k,问区间[L,R]中严格的LIS=k的数有多少个? 思路: 实在没有想到字符0~9最多才10种,况且也符合O(nlogn)求LIS的特点,所以用状态压缩可以解决. 看到状态压缩的字眼基本就会做了,增加一维来保存当前LIS的状态.由于求LIS时的辅助数组d[i]表示长度为i的LIS最后一个元素,d数组是严格递增的,所以好好利用d数组的特性来设计状态压缩才是关键.压缩的状态0101可以表示:仅有0和2在数组d中,即d[1]=0,d[…

有的DP题,某一部分的状态只有两种,选或不选. 开数组记录,代价太大,转移不方便. 状态压缩意为,用 “0/1“ 表示 “选/不选“ . 把状态表示为二进制整数. There are 10 kinds of people in the world, who knows binary and who doesn't. 用位运算判断条件并转移状态. hdu 6149 Valley Numer II 题目传送门 用f[i][j]表示选到前i个点,状态为j的答案. 枚举其他两个高点. 转移之前判断之前是…

http://poj.org/problem?id=3254 Corn Fields Time Limit: 2000MS   Memory Limit: 65536K Total Submissions: 7588   Accepted: 4050 Description Farmer John has purchased a lush new rectangular pasture composed of M by N (1 ≤ M ≤ 12; 1 ≤ N ≤ 12) square parc…

在动态规划的题型中,一般叫什么DP就是怎么DP,状压DP也不例外 所谓状态压缩,一般是通过用01串表示状态,充分利用二进制数的特性,简化计算难度.举个例子,在棋盘上摆放棋子的题目中,我们可以用1表示当前位置摆放棋子,用0表示当前位置不摆放棋子. 这样的话,就能够直接运用许多二进制运算的特性来实现对时间和空间的优化 例如:如果给你一个\(n*m\)的棋盘,让你放棋子,但是棋子两两不能相邻,求方案数 我们仅考虑暴力枚举每一行的情况,如果是普通用数组来存储,判断的时候对于相邻两行需要一个数一个数的看,…

https://blog.csdn.net/xyz32768/article/details/81591955 首先区间DP和状压DP是比较明显的,设f[L][R][S]为将[L,R]这一段独立操作最终得到的字符序列为S的最大收益.其中S的位数为(R-L)%(k-1)+1. 枚举R第一次参与的操作的左端点mid与这次操作得到的数转移,若当前长度为k则要加上当前操作收益. 注意这个mid和R的距离一定是k-1的倍数,这样总状态和转移就很少,于是可以$O(n^32^8)$通过. #include<c…

[HNOI2012]集合选数 题目描述 <集合论与图论>这门课程有一道作业题,要求同学们求出\({1,2,3,4,5}\)的所有满足以 下条件的子集:若 x 在该子集中,则 2x 和 3x 不能在该子集中. 同学们不喜欢这种具有枚举性 质的题目,于是把它变成了以下问题:对于任意一个正整数, 如何求出\({1,2,3...n}\) 的满足上述约束条件的子集的个数(只需输出对 \(10^{9}+1\) 取模的结果),现在这个问题就交给你了. 输入格式: 只有一行,其中有一个正整数 \(n\) 30…

点此看题面 大致题意: 有\(n\)个点和\(m\)条边,每条边的权值是一个\(0\sim1\)的随机实数,要你用\(n-1\)条边将图联通,问这\(n-1\)条边中边权最大值的期望最小值. 提示 这题应该是一道比较难的\(DP\)题吧. 首先,我们需要注意到提示中的一句话: \(Hint\) 对于\(n\)个\([0,1]\)之间的随机变量\(x_1,x_2,...,x_n\),第\(k\)小的那个的期望值是\(\frac k{n+1}\). 其实,这就很明显在提示我们,只要求出这\(n-1\…

点此看题面 大致题意:总共有\(n\)个宝物和\(k\)个回合,每个回合系统将随机抛出一个宝物(抛出每个宝物的概率皆为\(1/n\)),吃掉一个宝物可以获得一定的积分(积分可能为负),而吃掉某个宝物有一定的前提,即先吃掉若干种宝物每个至少一次,才能吃掉该宝物.请你求出在最优策略的情况下的最优得分. 状压\(DP\) 由于这道题的数据范围很小,我们可以考虑状压\(DP\),状压DP就是用一个数二进制下的每一位来存储一个信息,这里就用来存储某个宝物是否被吃掉过. 我们可以用\(f[i][j]\)记录…

2596 售货员的难题  时间限制: 1 s  空间限制: 32000 KB  题目等级 : 钻石 Diamond     题目描述 Description 某乡有n个村庄(1<n<＝15),有一个售货员,他要到各个村庄去售货,各村庄之间的路程s(0<s<1000)是已知的,且A村到B村与B村到A村的路大多不同.为了提高效率,他从商店出发到每个村庄一次,然后返回商店所在的村,假设商店所在的村庄为1,他不知道选择什么样的路线才能使所走的路程最短.请你帮他选择一条最短的路. 输入描述 …

2800 送外卖 时间限制: 2 s 空间限制: 256000 KB 题目等级 : 钻石 Diamond 题目描述 Description 有一个送外卖的,他手上有n份订单,他要把n份东西,分别送达n个不同的客户的手上.n个不同的客户分别在1~n个编号的城市中.送外卖的从0号城市出发,然后n个城市都要走一次(一个城市可以走多次),最后还要回到0点(他的单位),请问最短时间是多少.现在已知任意两个城市的直接通路的时间. 输入描述 Input Description 第一行一个正整数n (1<=n<…

学校食堂 题目链接:https://www.luogu.org/problem/P2157 数据范围:略. 题解: 发现$B$特别小,很容易想到状压. 即在$dp$的时候弄出来$f_{(i,j,k)}$表示前$i - 1$个都打完了饭,状态$j$也已经打完饭了,当前打饭的是$i$,上一个打饭的是$i+k$这样能存的下. 转移的话需要枚举状态,但是没必要枚举完全因为毕竟是长度只有$7$. 看见了相邻两个人转移的代价之后,以为可以根据位运算能搞出点什么东西发现啥也搞不动. 我们可以适当地省略一些条件…

题目传送门 https://loj.ac/problem/6177 题解 一直不知道允不允许这样的情况:取了第一的任务的货物后前往配送的时候,顺路取了第二个货物. 然后发现如果不可以这样的话,那么原题就是一个 \(O(n^3+q^2)\) 算法就能过的题,和数据范围远远不搭配. 所以显然是允许的.根据这个数据范围,我们很容易想到状压每一个任务目前的状态:要么是还没有被接货,要么是在运送途中,要么是运送完成,这三种情况.直接用三进制状压一下,设 \(dp[S][i]\) 表示达到 \(S\) 中的…