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探讨函数$f(x)=\dfrac{1}{x-a}+\dfrac{1}{x-b}$其中$a<b$的几个性质 分析:对称性:关于$(\dfrac{a+b}{2},0)$证明提示:$f(x)+f(a+b-x)=0$且定义域关于$(\dfrac{a+b}{2},0)$对称单调性:单调递减区间$(-\infty,a),(a,b),(b,+\infty)$,证明提示:用单调性的定义渐进性:$\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f(x)=0$;$\lim\limits_{x\ri…

已知数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1=1\),\(a_{n+1}\cdot a_n=\dfrac 1n\)(\(n\in\mathbb N^*\))． (1) 求证:\(\dfrac{a_{n+2}}{n}=\dfrac{a_n}{n+1}\): (2) 求证:\(2\left(\sqrt{n+1}-1\right)\leqslant \dfrac{1}{2a_3}+\dfrac{1}{3a_4}+\cdots+\dfrac{1}{(n+1)a_{n+2}}\leqslant n\)．…

(2018全国联赛解答最后一题)在平面直角坐标系$xOy$中,设$AB$是抛物线$y^2=4x$的过点$F(1,0)$的弦,$\Delta{AOB}$的外接圆交抛物线于点$P$(不同于点$A,O,B$),若$PF$平分$\angle{APB}$,求$|PF|$所有可能值. 解答:不妨设$AO:y=kx(k>0)$,联立方程$y=kx,y^2=4x$得$A(\dfrac{4}{k^2},\dfrac{4}{k})$ $AB:y=\dfrac{\frac{4}{k}}{\frac{4}{k^2}-1…

已知$a^2+b^2+c^2=1$求$abc(a+b+c)$的最小值.(2018辽宁预赛解答压轴题) 不妨设$a+b+c=3u,ab+bc+ca=3v^2,abc=w^3$,令$u^2=tv^2$要求最小值只需考虑$a,b>0,c<0,a+b+c>0$此时$t<\dfrac{2}{3}$则$\dfrac{abc(a+b+c)}{(a^2+b^2+c^2)^2}=\dfrac{3uw^3}{(9u^2-6v^2)^2}\ge \dfrac{3u(3uv^2-2u^3-2\sqrt{(…

已知二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$有零点,且$a+b+c=1$ 若$t=\min\{a,b,c\}$求$t$的最大值. 分析:由$a,c$的对称性,不妨$c\ge a$即$2a+b\le1$则$t=\min\{a,b\}$.由$b^2\ge4ac$得$(2a+b)^2\ge4a $,由于求$t$的最大值,只需考虑$a,b>0$(不然则$t=\min\{a,b\}\le0$)此时由$(2a+b)^2\ge4a $得$1\ge4t$故$t\le\dfrac{1}{4},$当$a=\dfra…

若二次函数$f(x)=ax^2+bx+c(a,b,c>0)$有零点,则$\min\{\dfrac{b+c}{a},\dfrac{c+a}{b},\dfrac{a+b}{c}\}$ 的最大值为____ 由题意$b^2\ge 4ac,$由$a,c$的对称性只需考虑$b=max\{a,b,c\}\vee a=\max\{a,b,c\}$.当$b=max\{a,b,c\}$时$\min\{\dfrac{b+c}{a},\dfrac{c+a}{b},\dfrac{a+b}{c}\}=\dfrac{c+a}…

若函数$f(x)=x^2+(\dfrac{1}{3}+a)x+b$在$[-1,1]$上有零点,则$a^2-3b$的最小值为_____ 分析:设零点为$x_0$,则$b=-x^2_0-(\dfrac{1}{3}+a)x_0$,$a^2-3b=a^2+3x_0^2+(1+3a)x_0=(a+\dfrac{3}{2}x_0)^2+\dfrac{3}{4}(x_0+\dfrac{2}{3})^2-\dfrac{1}{3}\ge-\dfrac{1}{3}$练习:设二次函数$f(x)=ax^2+(2b+1)…

已知$a,b\in R.f(x)=e^x-ax+b$,若$f(x)\ge1$恒成立,则$\dfrac{b-a}{a}$的取值范围_____ 提示:答案:$[-1,\infty)$取$x=0,b\ge0$,故$\dfrac{b-a}{a}\ge\dfrac{-a}{a}=-1$ 必要性:令$a=1,b=0$时,易知$g(x)=e^x-x-1\ge0$显然成立,即$f(x)\ge1$…

求$\sqrt{\dfrac{5}{4}-\sin x}+2\sqrt{\dfrac{9}{4}+\cos x-\sin x}$的最小值. 提示:$\sqrt{\dfrac{5}{4}-\sin x}+2\sqrt{\dfrac{9}{4}+\cos x-\sin x}$ $=\sqrt{(\dfrac{1}{2}\cos x)^2+(1-\dfrac{1}{2}\sin x)^2}+2\sqrt{(\dfrac{1}{2}\cos x+1)^2+(\dfrac{1}{2}\sin x-1)^2…

已知$f(x)=e^x-\dfrac{1}{2}ax^2-b$(1)当$a=1,b=1$时,求$f(x)$在$[-1,1]$上的值域.(2)若对于任意实数$x$,$f(x)\ge0$恒成立,求$a+b$的最大值 解答:(1)略,(2)由题意$\dfrac{1}{2}ax^2+b\le e^x$,必要性:令$x=-\sqrt{2},a=-\dfrac{e^{-\sqrt{2}}}{\sqrt{2}}$则$a+b\le e^{-\sqrt{2}}$, 下证充分性$f^{'}(x)=e^x-ax=e^…

第一类: 已知定义在$R$上的奇函数$f(x),f(-1)=0,$当$x>0$时,$xf^{'}(x)-f(x)<0,$则$f(x)>0$的解集为____ 第二类: 已知函数$f(x)$满足$x^2f^{'}(x)+2xf(x)=\dfrac{e^x}{x},f(2)=\dfrac{e^2}{8}$则$x>0$时,$f(x)$  (     )A.有极大值,无极小值 B.有极小值,无极大值 C.既有极大值,又有极小值 D.既无极大值,也无极小值 分析: 第一类: 答案$(-\inf…

2010浙江省数学竞赛,附加题. 设$D,E,F$分别为$\Delta ABC$的三边$BC,CA,AB$上的点,记$\alpha=\dfrac{BD}{BC},\beta=\dfrac{BD}{BC},\gamma=\dfrac{AF}{AB}$ 证明:$S_{\Delta DEF}\ge\alpha\beta\gamma S_{\Delta ABC}$ 证明:$S_{DEF}=S_{ABC}-S_{AFE}-S_{BDF}-S_{DCE}$$=S_{ABC}(1-\sum\limits_{c…

设函数$f(x)=ax^2+(2b+1)x-a-2$($a,b\in\mathcal R$,$a\neq 0$)． (1) 若$a=-2$,求函数$y=|f(x)|$在$[0,1]$上的最大值$M(b)$: (2) 若函数$f(x)$在区间$(0,1)$有两个不同的零点,求证:$\dfrac{(2+a)(1-2b)}{a^2}<\dfrac{1}{16}$． 解答:(1) $a=-2$时,$$f(x)=-2x^2+(2b+1)x=-2x\left(x-b-\dfrac 12\right).$$…

已知 $a$ 为常数,函数$f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{a-x^2}-\sqrt{1-x^2}}$ 的最小值为$-\dfrac{2}{3}$,则 $a$ 的取值范围_____ 解: 考虑到是奇函数,只需考虑$|f(x)|=\dfrac{2}{3}$, 由于$(x\sqrt{a-x^2}+\sqrt{1-x^2}x)^2\le(x^2+1-x^2)(a-x^2+x^2)=a$得$|f(x)|\le|\dfrac{\sqrt{a}}{a-1}|=\dfrac{2}{3},a=4,\te…

设$f(x)$是定义在$(0,+\infty)$上的单调函数,且对定义域内的任意实数$x$,都有$f(f(x)-\log_2 x)=3$, 求$f(x)-f^{'}(x)=2$的解所在的区间._____ A.$(0,\dfrac{1}{2})$B.$(\dfrac{1}{2},1)$C.$(1,2)$D.$(2,3)$ 解:令$f(x)-\log_2 x=t$,取$x=t$,$f(t)-\log_2 t=t$则$3-\log_2 t=t,$故$t=2,f(x)=\log_2 x+2$故由二分法易…

(2016四川高考数学解答压轴题)设函数$f(x)=ax^2-a-\ln x,a\in R$. 1)讨论$f(x)$的单调性;2)确定$a$的所有可能值,使得$f(x)>\dfrac{1}{x}-e^{1-x}$在区间$(1,+\infty)$内恒成立. 分析:1)略2)设$g(x)=a(x^2-1)-\ln x-\dfrac{1}{x}+e^{1-x}$当$a\ge \dfrac{1}{2}$时,$g(x)\ge \dfrac{1}{2}(x^2-1)-\ln x-\dfrac{1}{x}+e…

(2012新课标9)已知$\omega>0,$函数$f(x)=sin(\omega x+\dfrac{\pi}{4})$在$(\dfrac{\pi}{2},\pi)$上单调递减,则$\omega$的取值范围是______ 分析: 常规方法:$\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\le\omega x+\dfrac{\pi}{4}\le\dfrac{3\pi}{2}+2k\pi,k\in Z$得$x\in[\dfrac{\pi+8k\pi}{4\omega},\dfrac{5\pi+8k\pi…

已知直线$l:x+y-\sqrt{3}=0$过椭圆$E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1,(a>b>0)$的右焦点且与椭圆$E$交于$A,B$两点,$P$为$AB$中点,$OP$的斜率为$\dfrac{1}{2}$.(1)求椭圆$E$的方程;(2)设$CD$是椭圆$E$的动弦,且其斜率为$1$,问椭圆$E$上是否存在定点$Q$,使得直线$QC,QD$的斜率分别为$k_1,k_2$满足$k_1+k_2=0?$若存在,求出$Q$的坐标;若不存在,请说明理由.…

已知点$A$为椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的左顶点,$O$为坐标原点,过椭圆的右焦点$F$作垂直于$x$轴的直线$l$.若直线$l$上存在点$P$满足$\angle{APO}=30^{0}$,则椭圆的离心率的最大值为_____ 分析:过$A,O$作圆与$l$相切.圆心角记为$\theta$,半径为$R$,则$R=\dfrac{a}{2}+c$由正弦定理$\dfrac{a}{sin\theta}=2R$由题意$\theta\ge 3…

有$n$个正方形排成一行,今用红,白,黑三种颜色给这$n$个正方形染色,每个正方形只能染一种颜色.如果要求染这三种颜色的正方形都是偶数个,问有多少种不同的染色方法. 解答: 设有$a_n$种不同的染法,则$\{a_n\}$对应的指数型母函数为$f(x)=\left(1+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}+\cdots+\dfrac{x^{2n}}{2n!}+\cdots\right)^3=\left(\dfrac{1}{2}{e^x+e^{-x}}\right)^3$…

有$n$个正方形排成一行,今用红,白,黑三种颜色给这$n$个正方形染色,每个正方形只能染一种颜色.如果要求染白色的正方形必须是偶数个,问有多少种不同的染色方法. 解答:设有$a_n$种不同的染法,则$\{a_n\}$对应的指数型母函数为$f(x)=\left(1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\cdots+\dfrac{x^n}{n!}+\cdots\right)*\left(1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\cdots+\dfrac{x^n}{n!}+\cdots\right)$…

已知定义域为$R$的函数,$f(x),g(x)$满足:$f(x)+g(x)=e^{-x^2+1}$,则$min\{f(x),g(x)\}$的最大值为______ 解答:$min\{f(x),g(x)\}=\dfrac{f(x)+g(x)-|f(x)-g(x)|}{2}\le \dfrac{f(x)+g(x)}{2}=\dfrac{e^{-x^2+1}}{2}\le \dfrac{e}{2}$…

已知$a,b\in R^+,a+b=2$且对任意的$x\in R$,均有$|2x^2+ax-b|\ge|x^2+cx+d|$则$\dfrac{d-4c}{cd}$的最小值______ 提示:注意到$\Delta=a^2+8b>0$有两根与$x^2+cx+d=0$的两根必定相同$\therefore 1:2=c:a=d:-b$,从而可得$c-d=1$故 $\dfrac{d-4c}{cd}=\dfrac{1}{c}-\dfrac{4}{d}=(\dfrac{1}{c}-\dfrac{4}{d})(c…

函数$f(x)=\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x+1}{x+2}+\cdots+\dfrac{x+2018}{x+2019}$ 的图像的对称中心_____ 提示:根据定义域可知如果有对称中心,对称中心的横坐标$x=-1010$;考虑$x\longrightarrow \pm \infty$时,$f(x)=2019$故对称中心如果存在一定为$(-1010,2019)$…

双曲线$\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{12}=1$ 的右焦点为 F,左准线为 L. 椭圆C 以F和L为其的焦点及准线,过F作一条斜率为 1 的直线交椭圆C于点A和B. 若椭圆C的中心P在以AB 为直径的圆内,则椭圆C的离心率e的取值范围是______ 分析:考虑内准圆半径$r$,则$\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}=\dfrac{1}{r^2}$,考虑到是钝角,故椭圆中心P(t,0)到直线$AB:y=x-4$的距离为$d=\dfrac{|t-4|…

已知$f(x)=ax^2+bx-\dfrac{1}{4}$,若存在$a,b\in R$,使得对于任意的$x\in[0,7],|f(x)|\le2$恒成立,求$|a|$的最大值____ 提示:$|ax^2+bx-\dfrac{1}{4}|\le2,$得$-\dfrac{7}{4x}\le ax+b\le \dfrac{9}{4x}$结合图像,$y=ax+b$的函数图像介于$y=-\dfrac{7}{4x}\textbf{与}y=\dfrac{9}{4x}$的图像之间,要求$|a|$的最大值.显然只…

设函数$f(x)=x^2-2ax+15-2a$的两个零点分别为$x_1,x_2$, 且在区间$(x_1,x_2)$上恰好有两个正整数,则实数$a$的取值范围______ 提示:$1<|x_1-x_2|\le3$得$a\in(-1-\dfrac{\sqrt{73}}{2},-1-\dfrac{\sqrt{65}}{2})\cup (-1+\dfrac{\sqrt{65}}{2},-1+\dfrac{\sqrt{73}}{2})$考虑到是两个正整数,且对称轴$3<-1+\dfrac{\sqrt{6…

(2016年清华大学自主招生暨领军计划试题) 已知$x,y,z\in \mathbf{R}$,满足$x+y+z=1,x^2+y^2+z^2=1$,则下列结论正确的有( ) A．$xyz$的最大值为$0$ B．$xyz$的最小值为$-\dfrac{4}{27}$ C．$z$的最大值为$\dfrac{2}{3}$ D．$z$的最小值为$-\dfrac{1}{3}$ 答案:A.B.D 由$x+y+z=1,\ x^2+y^2+z^2=1$,可知$xy+yz+zx=0$．设$xyz=c$,则$x,y,z$…

设二次函数$f(x)=ax^2+bx+c(a>0)$,方程$f(x)=x$的两根$x_1,x_2$满足$0<x_1<x_2<\dfrac{1}{a}$,(Ⅰ)当$x\in(0, x_1)$时,求证:$x<f(x)<x_1$;(Ⅱ)设函数$f(x)$的图象关于$x=x_0$对称,求证:$x_0<\dfrac{x_1}{2}$ 解答:(1)设$f(x)-x=a(x-x_1)(x-x_2)$,则$f(x)-x_1=f(x)-x+x-x_1=(x-x_1)[a(x-x_2…