经常和概率期望题相结合. 对于全序集合 \(S\),有: \[\max S=\sum\limits_{T\subseteq S,T\not=\varnothing}(-1)^{\vert T\vert -1}\min T \] \[\min S=\sum\limits_{T\subseteq S,T\not=\varnothing}(-1)^{\vert T\vert -1}\max T \] 证明 对于 \(x\in S\),假设 \(x\) 是 \(S\) 中第 \(k\) 大的元素,则建立…

证明均来自xht37 的洛谷博客 作用 在 \(OI\) 中,\(FWT\) 是用于解决对下标进行位运算卷积问题的方法. \(c_{i}=\sum_{i=j \oplus k} a_{j} b_{k}\) 其中 \(\oplus\) 是二元位运算中的一种. 实现 \(or\) 运算 构造 \(fwt[a]_i = \sum_{j|i=i} a_j\) 则 \(\begin{aligned} fwt[a] \times fwt[b] &= \left(\sum_{j|i=i} a_j\right)…

$\min - \max$ 容斥 Part 1 对于简单的$\min - \max$容斥有一般形式,表达为:$\max(S)=\sum\limits_{T\subseteq S}(-1)^{|T|-1}\times \min(T)$ 对于上述式子,可以简单的理解. 对于$S$中的每一项,其中的最大值为第$i$项 由于$|T|$非空,一共有$2^{|S|}-1$个$T$,其中,对于非最大值的任意一项,都包含至少一个比其大的元素 所以这些元素的选择情况构成了$2^{k}$幂,其中$|T|$的奇偶分布…

期望的线性性: \[E(x+y)=E(x)+E(y) \] 证明: \[E(x+y)=\sum_i \sum_j(i+j)*P(i=x,j=y) \] \[=\sum_i\sum_ji*P(i=x,j=y)+\sum_i\sum_jj*P(i=x,j=y) \] \[=\sum_ii*P(i=x)+\sum_jj*P(j=y) \] \[=E(x)+E(y) \] Min - Max 容斥: 我们现在有一个全集 \(U= \lbrace{a_1,a_2,a_3,...,a_n}\rbrace\)…

min-max容斥学习笔记 前置知识 二项式反演 \[ f(n)=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}g(i)\Leftrightarrow g(n)=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}\binom{n}{i}f(i) \] 一些定义 \(\max (S),\min (S)\)表示分别集合\(S\)的最大,最小元素 套路式子 \[ \max(S)=\sum_{\varnothing\not=S\subseteq T}(-1)^{|T|-1}\min(T) \] 证明 首先我…

min-max 容斥 给定集合 \(S\) ,设 \(\max(S)\) 为 \(S\) 中的最大值,\(\min(S)\) 为 \(S\) 中的最小值,则: \[\max(S)=\sum_{T\in S}(-1)^{|T|-1}\min(T)\] 这个东西叫 min-max容斥. 证明可以拿二项式反演证 例题 hdu4336 Card Collector 题目 有 \(n\) 种卡片,每一秒都有 \(P_i\) 的概率获得一张第 \(i\) 种卡片,求每张卡片都至少有一张的期望时间. 记 \(…

[Learning]min-max容斥以及推广 min-max容斥 就是max(a,b)=min(a)+min(b)-min(a,b) max(a,b,c)=a+b+c-min(a,b)-min(a,c)-min(b,c)+min(a,b,c) .... 为什么这样做? 有的时候min要好算很多 期望的线性 所以可以直接套期望 然后例题: [HAOI2015]按位或 [HAOI2015]按位或 推广 from:在Ta的博客查看 max_k(S)表示S中第k大 依然可以套期望: luoguP470…

基本形式 \[ \max(S) = \sum_{T\subseteq S, T \neq \varnothing} (-1)^{|T|-1}\min(T) \] 证明 不提供数学证明. 简要讲一下抽象理解伪证: 考虑从大到小排名为 \(i\) 的数,这个数会作为集合 \(T\) 的最小值出现时,那么 \(T\) 剩下的所有值都是从大于它的数中选取的.那么选取方案就是 \(\binom{i-1}{|T|-1}\). 如果 \(i=1\),也就是 \(a_i = \max(S)\),那么它只会被加上…

\(Min\_25\)筛学习笔记 这种神仙东西不写点东西一下就忘了QAQ 资料和代码出处 资料2 资料3 打死我也不承认参考了yyb的 \(Min\_25\)筛可以干嘛?下文中未特殊说明\(P\)均指质数集合,\(p_i\)或\(p\)指某个具体质数. 求一类积性函数\(f(x)\)的前缀和,需要满足\(f(p)\)可以写成多项式的形式,或者操作一下可以写成多项式(如例题),且\(f(p^k)\)能快速求出. 讲真学这个东西比我什么都不会的时候学\(FFT\)都累. Round 1 先求质数的贡…

//待更qwq 反演原理 二项式反演 若 \[g_i=\sum_{j=1}^i {\binom ij} f_j\] , 则有 \[ f_i=\sum_{j=1}^i (-1)^{i-j} {i \choose j} g_j \] 同时, 若 \[g_i=\sum_{j=1}^i (-1)^j {i \choose j} f_j\] , 则有 \[f_i=\sum_{j=1}^i (-1)^j {i \choose j} g_j\] 通过反演原理和组合数的性质不难证明. 0/1? todo Sti…