【bzoj4804】欧拉心算解题报告

[bzoj4804]欧拉心算 Description 给出一个数字$N$,计算 \[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n \varphi(\gcd(i,j))\] Input 第一行为一个正整数$T$,表示数据组数. 接下来$T$行为询问,每行包含一个正整数$N$. $T\le 5000,N\le 10^7$ Output 按读入顺序输出答案很多方法可以推式子到 \[\sum_{T=1}^n\lfloor\frac{n}{T}\rfloor^2\sum_{k|…

BZOJ4804 欧拉心算（莫比乌斯反演+欧拉函数+线性筛）

一通套路后得Σφ(d)μ(D/d)⌊n/D⌋2.显然整除分块,问题在于怎么快速计算φ和μ的狄利克雷卷积.积性函数的卷积还是积性函数,那么线性筛即可.因为μ(pc)=0 (c>=2),所以f(pc)还是比较好算的,讨论一波即可. #include<iostream> #include<cstdio> #include<cmath> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<algorith…

[BZOJ4804]欧拉心算

题面戳我题意:求 \[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\phi(\gcd(i,j))\] 多组数据,$n\le10^7$. sol SBT 单组数据$O(\sqrt n)$都是套路了,完整公式就不写了. 最后要线性筛出来的积性函数长成这样 \[h(T)=\sum_{d|T}\mu(\frac Td)\phi(d)\] 这个要怎么筛?我这种小菜鸡就只会大力分类讨论我都快数不清我分了几种了 1.$h(1)=1$ 2.\(h(p)=\mu(p)\phi(1)+\…

BZOJ4804: 欧拉心算(莫比乌斯反演线性筛)

题意求$$\sum_1^n \sum_1^n \phi(gcd(i, j))$$ $T \leqslant 5000, N \leqslant 10^7$ Sol 延用BZOJ4407的做法化到最后可以得到 $$\sum_{T = 1}^n \frac{n}{T} \frac{n}{T} \sum_{d \mid T}^n \phi(d) \mu(\frac{T}{d})$$ 后面的那个是积性函数,直接筛出来注意这个函数比较特殊,筛的时候需要分几种情况讨论 1. $H(p) = p - 2…

bzoj4804: 欧拉心算欧拉筛

题意:求$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\phi(gcd(i,j))$ 题解:$\sum_{i==1}^n\sum_{j=1}^n\sum_{d=1}^n[gcd(i,j)==d]*\phi(d)$ $=\sum_{d=1}^n\phi(d)*\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n[gcd(i,j)==d]$ \(=\sum_{d=1}^n\phi(d)*\sum_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d} \rfloor}[gcd(i,j)==…

并不对劲的bzoj4804:欧拉心算

题目大意 $t$($t\leq5000$)组询问,每次询问给出$n$($n\leq10^7$),求: \[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\phi(gcd(i,j))\] 题解枚举gcd,原式变为: \[\sum_{k=1}^{n}\phi(k)\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}[gcd(i,j)=k]\] \[\sum_{k=1}^{n}\phi(k)\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{k}\rfloor}\s…

[BZOJ4804]欧拉心算：线性筛+莫比乌斯反演

分析关于这道题套路到不能再套路了没什么好说的,其实发这篇博客的目的只是为了贴一个线性筛的模板. 代码 #include <bits/stdc++.h> #define rin(i,a,b) for(register int i=(a);i<=(b);++i) #define irin(i,a,b) for(register int i=(a);i>=(b);--i) #define trav(i,a) for(register int i=head[a];i;i=e[i].nxt…

【BZOJ4804】欧拉心算莫比乌斯反演+线性筛

[BZOJ4804]欧拉心算 Description 给出一个数字N Input 第一行为一个正整数T,表示数据组数. 接下来T行为询问,每行包含一个正整数N. T<=5000,N<=10^7 Output 按读入顺序输出答案. Sample Input 1 10 Sample Output 136 题解: 显然,$\varphi$和$\mu$都是积性函数,卷起来肯定也是积性函数,可以线性筛来搞.但是本蒟蒻到这里就卡住了,怎么线性筛啊?于是找题解,发现题解都说很简单.无奈,只好打表找规律了.(…

BZOJ_4804_欧拉心算_欧拉函数

BZOJ_4804_欧拉心算_欧拉函数 Description 给出一个数字N Input 第一行为一个正整数T,表示数据组数. 接下来T行为询问,每行包含一个正整数N. T<=5000,N<=10^7 Output 按读入顺序输出答案. Sample Input 1 10 Sample Output 136 $\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}\varphi(gcd(i,j))$ $=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\lim…

bzoj 4804 欧拉心算欧拉函数,莫比乌斯

欧拉心算 Time Limit: 15 Sec Memory Limit: 256 MBSubmit: 408 Solved: 244[Submit][Status][Discuss] Description 给出一个数字N Input 第一行为一个正整数T,表示数据组数. 接下来T行为询问,每行包含一个正整数N. T<=5000,N<=10^7 Output 按读入顺序输出答案. Sample Input 1 10 Sample Output 136 HINT Source By F…

【bzoj4804】欧拉心算莫比乌斯反演+莫比乌斯函数性质+线性筛

Description 给出一个数字N 求$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\varphi(gcd(i,j))$ Input 第一行为一个正整数T,表示数据组数. 接下来T行为询问,每行包含一个正整数N. T<=5000,N<=10^7 Output 按读入顺序输出答案. Sample Input 1 10 Sample Output 136 sol 这种题,八成和欧拉函数或者莫比乌斯函数有关...... 那就推式子: \(\sum_{i=1}^{n}\sum_{i…

【bzoj4804】欧拉心算欧拉函数

题目描述给出一个数字N 输入第一行为一个正整数T,表示数据组数. 接下来T行为询问,每行包含一个正整数N. T<=5000,N<=10^7 输出按读入顺序输出答案. 样例输入 1 10 样例输出 136 题解欧拉函数其中用到了$\sum\limits_{i=1}^k\sum\limits_{j=1}^k[\gcd(i,j)=1]=2\sum\limits_{i=1}^k\varphi(i)-1$ 这个推导很简单:由欧拉函数的定义,$\sum\limits_{i=1}^k\sum\li…

BZOJ 4804: 欧拉心算

数论题不多BB,直接开始推导吧: $\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \phi(gcd(i,j))$ $=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \sum_{d=1}^n [gcd(i,j)=d]\phi(d)$ $=\sum_{d=1}^n \phi(d)\cdot(\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor} \sum_{j=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor} [gcd(i,j)=1])$ 然…

BZOJ 4804: 欧拉心算欧拉函数

Description 给出一个数字N Input 第一行为一个正整数T,表示数据组数. 接下来T行为询问,每行包含一个正整数N. T<=5000,N<=10^7 题解: 求 $\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\varphi(gcd(i,j))$ $=\sum_{d=1}^{n}\varphi(d)\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}[gcd(i,j)==d]$ $=\sum_{d=1}^{n}\varphi(d)\sum_{i=1}^{\f…

【文文殿下】【BZOJ4804】欧拉心算

题解显然有 $ans=\sum _{i=1} ^{n} \lfloor \frac{n}{i} \rfloor \sum _{d|i} \mu(d) \phi (\frac{i}{d})$ 前半部分就是个整除分块,后半部分直接让脑子受到了冲击. 但是,我们知道,两个积性函数的$\text{Direchlet}$卷积还是积性函数,我们考虑构造线性筛. 我们看到其中有$\text{Mobius}$函数,鲁迅曾经说过"一看到$\mu$,就想到积性函数,就想到唯一分解,就想到\(>…

【BZOJ4804】欧拉心算

Description 给定数字$n$($n\le 10^7$),求: \[ \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\varphi(\gcd(i,j)) \] 多组数据输入,数据组数$T\le5000$. Solution 简单的一题,直接推导: \[ \begin{aligned} \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\varphi(\gcd(i,j))&=\sum_{d=1}^n\varphi(d)\sum_{i=1}^{\lfloor \frac…

欧拉函数（汇总&例题）

定义欧拉函数 $\varphi(n)$表示小于等于$n$的正整数中与$n$互质的数的数目. 性质 1.积性函数(证明). 2.$\varphi(1)=1$(显然) 3.对于质数$n$,$\varphi(n)=n-1$(显然) 4.对于质数的幂$n=p^k$(其中$p$为质数,$k$为正整数),$\varphi(n)=p^{k-1}\cdot(p-1)$ 证明: 归纳法,在$k=1$时显然成立,假设当$k$为$k-1$时成立,那么对于将$1,2,...p^k$中每一个数表示为$x\cdot p^…

洛谷$P1390$ 公约数的和欧拉函数

正解:欧拉函数解题报告: 传送门$QwQ$ 首先显然十分套路地变下形是趴 $\begin{align*}&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n gcd(i,j)\\&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sum_{d=1}^{min(i,j)} [gcd(i,j)==d]\cdot d\\&=\sum_{d=1}^{n}d\cdot \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n [gcd(i,j)==d]\\\end{align*}$ 然后就欧拉函…

$BZOJ$2818 $gcd$ 莫比乌斯反演/欧拉函数

正解:莫比乌斯反演/欧拉函数解题报告: 传送门$QwQ$ 一步非常显然的变形,原式=$\sum_{d=1,d\in prim}^{n}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}[gcd(i,j)==d]$ 后面那个就莫比乌斯反演入门题辣$QwQ$? 就变成$\sum_{p=1}^{n}[p\mbox{为质数}]\sum_{d=1}^{n/p}\mu(d)\lfloor \frac {n/p}{d}\rfloor^2$ 十分套路的,后面显然可以数论分块,就变成了$\sum_{p=1…

[luogu P2586] GCD 解题报告 (莫比乌斯反演|欧拉函数)

题目链接:https://www.luogu.org/problemnew/show/P2568#sub 题目大意: 计算$\sum_{x=1}^n\sum_{y=1}^n [gcd(x,y)==prime]$ 题解: 解法一:莫比乌斯反演套路题其实这样就可以了,但是还可以优化一下子设T=dp 整除分块就好了,其实这就和 yy的gcd 一样了解法二:欧拉函数考虑上面的第一个式子可以化简成 tot是n以内质数的数量这是因为考虑到每次都两次计算了$\varphi(1)$…

题解报告：poj 2480 Longge's problem（欧拉函数）

Description Longge is good at mathematics and he likes to think about hard mathematical problems which will be solved by some graceful algorithms. Now a problem comes: Given an integer N(1 < N < 2^31),you are to calculate ∑gcd(i, N) 1<=i <=N. …

题解报告：hdu 2588 GCD（欧拉函数）

Description The greatest common divisor GCD(a,b) of two positive integers a and b,sometimes written (a,b),is the largest divisor common to a and b,For example,(1,2)=1,(12,18)=6. (a,b) can be easily found by the Euclidean algorithm. Now Carp is consid…

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