LINK:CF321E Ciel and Gondolas 很少遇到这么有意思的题目了.虽然很套路.. 容易想到dp \(f_{i,j}\)表示前i段分了j段的最小值 转移需要维护一个\(cost(i,j)\) 暴力显然不太行 不过暴力枚举决策的话 可以预处理前缀和线性推出. 显然想要优化决策的话第一步就需要O(1)求出\(cost(i,j)\) 经过画图 可以发现预处理出\(g[i][j]\)表示从\((1,1)\)到\((i,j)\)这个矩形中的点值和 和 \(sum_i\)表示\((1,1…

题目链接 CF321E 题解 题意:将\(n\)个人分成\(K\)段,每段的人两两之间产生代价,求最小代价和 容易设\(f[k][i]\)表示前\(i\)个人分成\(k\)段的最小代价和 设\(val(i,j)\)为\(i\)到\(j\)两两之间产生的代价和,容易发现就是一个矩形,可以预处理前缀和\(O(1)\)计算 那么有 \[f[k][i] = min\{f[k - 1][j] + val(j + 1,i)\}\] 直接转移显然\(O(n^2k)\) 我们把\(val(j + 1,i)\)拆…

把状态看成层,每层决策单调性处理 题目描述 题目大意 众所周知,贞鱼是一种高智商水生动物.不过他们到了陆地上智商会减半.这不?他们遇到了大麻烦!n只贞鱼到陆地上乘车,现在有k辆汽车可以租用.由于贞鱼们并不能在陆地上自由行走,一辆车只能载一段连续的贞鱼.贞鱼们互相有着深深的怨念,每一对贞鱼之间有怨气值.第i只贞鱼与第j只贞鱼的怨气值记为Yij,且Yij=Yji,Yii=0.每辆车载重不限,但是每一对在同辆车中的贞鱼都会产生怨气值.当然,超级贞鱼zzp长者希望怨气值的总和最小.不过他智商已经减半,想…

题意:给出N个人,现在让你分P组,每组的工作效率是最小结束时间-最大开始时间,要求每一组的效率的正数,求最大效率和.N<1000 思路: 把包含至少一个其他的分到A组:否则到B组. A组的要么单独分到一组,要么和它包含的某一个在一组(可以反证,假设已经分好组了,现在把不是单独分组的A加进去,如果分到不是包含关系的里面去,只会把答案变小). 分组可以用栈进行. 而不是N^2枚举,因为多个相同的时候我们可以要保留一个作为最小的一个分到B组. 然后,现在A里面的没有包含关系了,我们可以排序,排序后一定…

题意:给定序列,将其分成k段.如果[l, r]在一段,那么每对不相同的i,j∈[l, r]都会有ai,j的代价.求最小总代价. 解:提供两种方案.第三种去bzoj贞鱼的n²算法. 决策单调性优化: 对于两个转移点j1 < j2,若在某个点i上j2更优,则i后面的j2全部更优.这就是决策单调性. 有两种写法.一种是维护决策栈(???),我自己YY了一个线段树写法WA飞了. 还有一种是分治.对于一段待转移的区间[l, r],它们的最优转移来自于[L, R] 则对于mid = (l + r) >&g…

codeforces bzoj description 有\(n\)个人要坐\(k\)辆车.如果第\(i\)个人和第\(j\)个人同坐一辆车,就会产生\(w_{i,j}\)的代价. 求最小化代价.\(n\le4000\) sol 凸优化+决策单调性优化 这么一讲其实这题就已经做完了,复杂度\(O(n\log n\log w)\) code \(bzoj\)上需要卡常.上网蒯个读入优化模板就行了. #include<cstdio> #include<algorithm> #inclu…

题目链接 BZOJ2216 题解 学过高中数学都应知道,我们要求\(p\)的极值,参变分离为 \[h_j + sqrt{|i - j|} - h_i \le p\] 实际上就是求\(h_j + sqrt{|i - j|} - h_i\)的最大值 就可以设\(f[i]\)表示对\(i\)最大的该式的值 绝对值通常要去掉,一般可以通过方向性,我们只需每次转移时令\(i > j\),正反转移两次即可 现在式子变为 \[f[i] = max\{h_j + \sqrt{i - j}\} - h_i\] 发…

题目:https://www.luogu.org/problemnew/show/P3515 决策单调性... 参考TJ:https://www.cnblogs.com/CQzhangyu/p/7258256.html 注释WA???最近似乎总是WA在二分上... 代码如下: #include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<cmath> using namespace std; ;…

传送门 我们相当于要求出\(f_i = \max\limits_{j=1}^{n} (a_j + \sqrt{|i-j|})\).这个绝对值太烦人了,考虑对于\(i>j\)和\(i<j\)分开做. 当\(i>j\)时,\(f_i = \max\limits_{j=1}^{i-1}(a_j + \sqrt{i-j})\).注意到这是一个典型的\(f_i = \max\limits_{j=1}^{i-1}f_j + w(i,j)\)的形式,考虑决策单调性.不难证明\(\sqrt{x + 1}…

有 \(n\) 个数构成的序列 \({a_i}\),要将它划分为 \(k\) 段,定义每一段的权值为这段中 \((i,j) \ s.t. \ i<j,\ a_i=a_j\) 的个数,求一种划分方案,使得各段的权值和最小. \(n \leq 10^5, k \leq min(n,20), a_i \leq n\) 设 \(f[i][j]\) 表示将 \(a_{1..j}\) 分为 \(i\) 段的最小价值,则很容易得到转移方程 \[ f[i][j]=\min (f[i-1][k]+cost(k+1…

一眼可以看出$O(kn^{2})$的$dp$方程,然后就不会了呜呜呜. 设$f_{i, j}$表示已经选到了第$i + 1$个数并且选了$j$段的最小代价,那么 $f_{i, j} = f_{p, j - 1} + sum(p + 1, i)  (0 \leq p \leq i)$ 这个$sum$可以通过把$j > i$的格子的值记为$0$,预处理前缀和得到. $sum(x, y) = s_{y, y} - s_{y, x}$ 以下全都不是我想出来的: 外层枚举$j$可以划分阶段转移,不容易看出…

Description Input Output 对于每组数据,若最小的不协调度不超过1018,则第一行一个数表示不协调度若最小的不协调度超过1018,则输出"Too hard to arrange"(不包含引号).每个输出后面加"--------------------" Sample Input 4 4 9 3 brysj, hhrhl. yqqlm, gsycl. 4 9 2 brysj, hhrhl. yqqlm, gsycl. 1 1005 6 poet…

Description Flute 很喜欢柠檬.它准备了一串用树枝串起来的贝壳,打算用一种魔法把贝壳变成柠檬.贝壳一共有 N (1 ≤ N ≤ 100,000) 只,按顺序串在树枝上.为了方便,我们从左到右给贝壳编号 1..N.每只贝壳的大小不一定相同, 贝壳 i 的大小为 si(1 ≤ si ≤10,000).变柠檬的魔法要求,Flute 每次从树枝一端取下一小段连续的贝壳,并 选择一种贝壳的大小 s0.如果 这一小段贝壳中 大小为 s0 的贝壳有 t 只,那么魔法可以把这一小段贝壳变成 s…

参考:https://blog.csdn.net/clove_unique/article/details/57405845 死活不过样例看了题解才发现要用double.... \[ a_j \leq a_i+p-\sqrt{abs(i-j)} \] \[ p\geq a_j+\sqrt{abs(i-j)}-a_i \] \[ p = max\{a_j+\sqrt{abs(i-j)}\}-a_i \] \[ f_i+a_i = max\{a_j+\sqrt{abs(i-j)}\} \] 首先正反…

题意:给定N,L,P,求f[N] sum[i]递增,L<=3e6,P<=10 思路:四边形不等式的证明见https://www.byvoid.com/zhs/blog/noi-2009-poet #include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; typedef unsigned int uint; typedef unsigned long long ull; typedef long double…

其实是一个还算 trivial 的知识点吧--早在 2019 年我就接触过了,然鹅当时由于没认真学并没有把自己学懂,故今复学之( 1. 决策单调性 引入:在求解 DP 问题的过程中我们常常遇到这样的问题:我们列出了一个 \(dp\) 状态转移方程式形如 \(dp_i=\min\limits_{j<i}dp_j+w(j+1,i)\) 或类似的形式,暴力转移时间复杂度 \(\mathcal O(n^2)\) 过不去,但是你发现这里的代价函数 \(w(l,r)\) 有一些比较好的性质,譬如单调性或凹凸…

[BZOJ5311/CF321E]贞鱼/Ciel and Gondolas(动态规划,凸优化,决策单调性) 题面 BZOJ CF 洛谷 辣鸡BZOJ卡常数!!!!!! 辣鸡BZOJ卡常数!!!!!! 辣鸡BZOJ卡常数!!!!!! 所以我程序在BZOJ过不了 题解 朴素的按照\(k\)划分阶段的\(dp\)可以在\(CF\)上过的. 发现当选择的\(k\)增长时,减少的代价也越来越少, 所以可以凸优化一下,这样复杂度少个\(k\) 变成了\(O(nlogw)\) #include<iostrea…

题意 有一个长度为 \(n\) 的序列 \(A\) 和常数 \(L, P\) ,你需要将它分成若干段,每 \(P\) 一段的代价为 \(| \sum ( A_i ) − L|^P\) ,求最小代价的划分方案. \(n \le 10^5 , 1 \le P \le 10\) 题解 考虑暴力 \(O(n^2)\) dp. \[ dp_i = \min_{j = 0} ^ {i - 1} |sum_j - sum_i - L|^P + dp_j \] 这个方程是具有决策单调性的. 决策单调性是指,对于…

遇见的第一道决策单调性优化DP,虽然看了题解,但是新技能√,很开森. 先%FlashHu大佬,反正我是看了他的题解和精美的配图才明白的,%%%巨佬. 废话不多说,看题: 题目大意 已知一个长度为n的序列a1,a2,...,an. 对于每个1<=i<=n,找到最小的非负整数p满足 对于任意的j, aj < = ai + p - sqrt(abs(i-j)) 数据范围 洛咕上也没给,我能怎么办啊 非正解做法一:暴力 应该都会吧,\(O(n^2)\)枚举.洛谷上貌似40pts. 非正解做法二:…

题意: 给定一个序列,你要将其分为k段,总的代价为每段的权值之和,求最小代价. 定义一段序列的权值为$\sum_{i = 1}^{n}{\binom{cnt_{i}}{2}}$,其中$cnt_{i}$表示当前这段序列中数字大小为i的数的个数. 题解: 先考虑暴力DP, f[i][j]表示DP到i位,分为j段的最小代价. 则$f[i][j] = min(f[l - 1][j] + sum[l][i])$,其中sum[l][i]表示区间[l, i]分成一段的代价. 然后可以发现,这是具有决策单调性的…

前缀和优化 当DP过程中需要反复从一个求和式转移的话,可以先把它预处理一下.运算一般都要满足可减性. 比较naive就不展开了. 题目 [Todo]洛谷P2513 [HAOI2009]逆序对数列 [Done]洛谷P2511 [HAOI2008]木棍分割 [Done]洛谷P4099 [HEOI2013]SAO [Done]NOIAC37 染色 单调队列优化 前置技能:单调队列(经典的问题模型:洛谷P1886 滑动窗口) 用于优化形如\(f_i=\min/\max_{j=l_i}^{i-1}\{g_…

决策单调性: 对于一些dp方程,经过一系列的猜想和证明,可以得出,所有取的最优解的转移点(即决策点)位置是单调递增的. 即:假设f[i]=min(f[j]+b[j]) (j<i) 并且,对于任意f[i]的决策点g[i],总有f[i+1]的决策点g[i+1]>=g[i](或者<=g[i]) 那么,这个方程就具备决策单调性. 这个有什么用吗? 不懂具体优化方法的话确实也没有什么用.可能还是n^2的.只不过范围可能少了一些. 一 经典入门例题: Description: [POI2011]Li…

pro:给定N,M.输入N个物品,(si,vi)表示第i个物品体积为si,价值为vi,s<=300,vi<=1e9: N<1e6:现在要求,对于背包体积为1到M时,求出最大背包价值. sol:显然直接跑背包会爆炸. 发现物品体积都比较小,我们先对相同体积的排序,对于体积相同的一起处理. 然后发现转移都是在差为体积整数倍之间,按照容量对体积取模分组 ,发现组内部转移满足神奇的决策单调性. 然后就是s次分治. O(KClogC) #include<bits/stdc++.h> #…

Description 通往贤者之塔的路上,有许多的危机. 我们可以把这个地形看做是一颗树,根节点编号为1,目标节点编号为n,其中1-n的简单路径上,编号依次递增, 在[1,n]中,一共有n个节点.我们把编号在[1,n]的叫做正确节点,[n+1,m]的叫做错误节点.一个叶子,如果是正 确节点则为正确叶子,否则称为错误叶子.莎缇拉要帮助昴到达贤者之塔,因此现在面临着存档位置设定的问题. 为了让昴成长为英雄,因此一共只有p次存档的机会,其中1和n必须存档.被莎缇拉设置为要存档的节点称为存档 位置.当…

传送门 一道神奇的dp题. 这题的决策单调性优化跟普通的不同. 首先发现这道题只跟r−lr-lr−l有关. 然后定义状态f[i][j]f[i][j]f[i][j]表示猜范围为[L,L+i−1][L,L+i-1][L,L+i−1]的数有jjj次报警机会所需的最小代价. 那么有: f[i][j]=minf[i][j]=minf[i][j]=min{max(f[k][j],f[i−k][j−1]+1)max(f[k][j],f[i-k][j-1]+1)max(f[k][j],f[i−k][j−1]+1…

传送门 决策单调性优化dp板子题. 感觉队列的写法比栈好写. 所谓决策单调性优化就是每次状态转移的决策都是在向前单调递增的. 所以我们用一个记录三元组(l,r,id)(l,r,id)(l,r,id)的队列来维护,表示在(l,r)(l,r)(l,r)这个区间当前的决策都是ididid,然后在每次求决策点的时候弹一下队头,求出当前解之后我们更新一下队尾就行了. 代码: #include<bits/stdc++.h> #define N 100005 #define ld long double u…

显然有决策单调性,但由于逆序对不容易计算,考虑分治DP. solve(k,x,y,l,r)表示当前需要选k段,待更新的位置为[l,r],这些位置的可能决策点区间为[x,y].暴力计算出(l+r)/2的决策位置s,两边递归下去继续操作.solve(k,x,s,l,mid-1),solve(k,s,y,mid+1,r). 注意到每个位置每层只会被一个区间遍历到,加上树状数组在线更新逆序对的复杂度,总复杂度为$O(kn\log^2n)$ #include<cstdio> #include<al…

第一种方法是决策单调性优化DP. 决策单调性是指,设i>j,若在某个位置x(x>i)上,决策i比决策j优,那么在x以后的位置上i都一定比j优. 根号函数是一个典型的具有决策单调性的函数,由于根号函数斜率递减,所以i决策的贡献的增长速度必定比j快. 于是使用基础的决策单调性优化即可. 注意两个问题,一是DP函数要存实数而不能存整数,因为先取整会丢失在后面的判断中需要的信息.二是记录决策作用区间的时候左端点要实时更新,即下面的p[st].l++,否则在二分时会出现错误. #include<c…

小Q有n本书,每本书有一个独一无二的编号,现在它们正零乱地在地上排成了一排. 小Q希望把这一排书分成恰好k段,使得每段至少有一本书,然后把每段按照现在的顺序依次放到k层书架的每一层上去.将所有书都放到书架上后,小Q这才突然意识到它们是乱序的,他只好把每一层的书分别按照编号 从小到大排序.排序每次可以在1单位时间内交换同一层上两本相邻的书. 请写一个程序,帮助小Q计算如何划分这k段,且如何交换这些书,使得总交换次数最少. Input 第一行包含两个正整数n; k(1≤n≤40000;1≤k≤min…

LINK 题目大意 给你一个序列分成k段 每一段的代价是满足\((a_i=a_j)\)的无序数对\((i,j)\)的个数 求最小的代价 思路 首先有一个暴力dp的思路是\(dp_{i,k}=min(dp_{j,k}+calc(j+1,i))\) 然后看看怎么优化 证明一下这个DP的决策单调性: trz说可以冥想一下是对的就可以 所以我就不证了 (其实就是决策点向左移动一定不会更优) 然后就分治记录当前的处理区间和决策区间就可以啦 //Author: dream_maker #include<bi…