分析 Attention!这道题的模数是\(1e8+7\). 注意到循环同构会被认为是同一种方案,我们可以把顺时针旋转每个人的位置作为置换,容易发现这些置换一定会形成一个置换群,于是题目所求的所有合法的方案数便是这个置换群下等价类的数目,可以使用Burnside引理解决. 考虑如何求在置换"顺时针旋转\(x\)位置"下不动点的数目,可以发现这样的不动点的男女排列一定具有周期性,且\(gcd(n,x)\)是它的一个周期,这里可以自行画图理解一下.这样我们又再次简化了题目,我们现在只需考虑…

题目链接:http://61.187.179.132/JudgeOnline/problem.php?id=1004 题意:三种颜色的扑克牌各有Sr,Sb,Sg张.给出m种置换.两种染色方案在某种置换下相同时认为是一种.有多少种不同的排列? 思路:利用Burnside引理计算的两个步骤: (1)找出所有的置换,在这里我们很容易认为只有m种,其实是m+1种,不动置换也是一种.坑爹.. (2)求出每种置换下不动点个数.也就是对于每一种置换,我们要找出在这种置换下哪些排列在置换后还是这样.那么首先我们…

题目链接:BZOJ - 1004 题目分析 首先,几个定义和定理引理: 群:G是一个集合,*是定义在这个集合上的一个运算. 如果满足以下性质,那么(G, *)是一个群. 1)封闭性,对于任意 a, b 属于 G, a * b 属于 G 2)结合律, a * b * c = a * (b * c) 3)单位元,在 G 中存在一个单位元 e ,使得对于 G 中任意的 a , a * e = e * a = a 4)逆元, 对于 G 中任意的 a ,在 G 中存在 b , 使得 a * b = e ,…

因为有着色数的限制,故使用Burnside引理. 添加一个元置换(1,2,,,n)形成m+1种置换,对于每个置换求出循环节的个数, 每个循环节的长度. 则ans=sigma(f(i))/(m+1) %p  (1<=i<=m+1). 其中f(i)是第i种置换下的不动点个数. 可以用dp来求出f(i), 设第i个置换的循环节个数为T, 令dp[i][j][k]表示前i个循环节中使用了j个红色,k个蓝色的不动点个数.进行一次n^3的DP即可. 最后m+1模p意义下的逆元不再叙述. # include…

题目大意:3种颜色,每种染si个,有m个置换,求所有本质不同的染色方案数. 置换群的burnside引理,还有个Pólya过几天再看看... burnside引理:有m个置换k种颜色,所有本质不同的染色方案数就是每种置换的不变元素的个数的平均数. 求每种置换的不变元素的个数用背包解决.因为置换之后元素不变,所以对于每个循环节我们要染一个颜色,于是先处理出循环节作为背包中的“物体”,然后一个三维背包解决.f[i][j][k]的i j k表示三种颜色分别还可以染多少次. 除m%p用费马小定理就行了,…

对于burnside引理需要枚举染色,这道题属于burnside的一种简单求解的方法,就是polya,我们可以使每一种置换中的循环节中的元素的颜色都相同,那么这样的话就可以直接DP了,我们可以将m个置换单独考虑,处理出当前置换中各个循环节,那么用w[aa][bb][cc]表示在使用了aa个颜色1,bb个颜色2,cc个颜色3时,我们的轨道数,那么我们可以通过背包来累加答案,w[aa][bb][cc]+=w[aa-b[i]][bb][cc] w[aa][bb][cc]+=w[aa][bb-b[i]]…

题目传送门 https://vjudge.net/problem/UVA-11540 https://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=2535(原题页面) 题解 首先如果两棵树经过一定的旋转以后能够重合,我们就称它们同构. 判断树的同构的常见方法是哈希.但是由于子树的先后顺序是有影响的,只有旋转以后相同才算等价,所以我的哈希方法是直接把所有…

题目:http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1004 分析: 1.确定方向:肯定是组合数学问题,不是Polya就是Burnside,然后题目上说每种颜色的个数都是一定的,所以肯定是Burnside了 2.确定置换群:首先输入的那么多肯定是每个都是一个置换,那么要不要对每个叠加呢?不用的,因为题目上说“输入数据保证任意多次洗牌都可用这 m种洗牌法中的一种代替,且对每种洗牌法,都存在一种洗牌法使得能回到原状态”.所以对于读入的所有就是整个置换…

我们要求方案数,还是旋转同构的,想burnside,如果我们能计算出转i位不变的满足条件的数量,那么这道题我们就解决了. 考虑转i位时,设tmp=gcd(i,n),那么就共有tmp个循环节. 当tmp<=k时,只要不是所有的循环节都是女生就可以,所以数量为2^tmp-1,但是要特判k>=n,因为这时所有方案都满足条件. 当tmp>k时,我们需要在提前处理出符合条件的且旋转不变的方案数,考虑dp,我们设f[i][j]表示长度为i的线段第一位是男生,末尾有且仅有j位女生的满足条件的方案,g[…

题意保证了是一个置换群. 根据burnside引理, 答案为Σc(f) / (M+1). c(f)表示置换f的不动点数, 而题目限制了颜色的数量, 所以还得满足题目, 用背包dp来计算.dp(x,i,j,k) = dp(x,i-cntx,j,k)+dp(x,i,j-cntx,k)+dp(x,i,j,k-cntx)表示前x个置换红蓝绿个用了i,j,k次,cntx表示第x个置换的循环数. 然后最后乘(M+1)的乘法逆元就OK了. -----------------------------------…

题目描述 有\(n\)张卡牌,要求你给这些卡牌染上RGB三种颜色,\(r\)张红色,\(g\)张绿色,\(b\)张蓝色. 还有\(m\)种洗牌方法,每种洗牌方法是一种置换.保证任意多次洗牌都可用这\(m\)种洗牌法中的一种代 替,且对每种洗牌法,都存在一种洗牌法使得能回到原状态. 问你本质不同的染色方法有多少种. \(r,g,b\leq 20,m\leq 60\) 题解 对照置换群的定义,可以发现这\(m\)种置换加上恒等置换一共\(m+1\)中置换构成了一个置换群. 由burnside引理得到…

题目描述 用三种颜色染一个长度为 $n=Sr+Sb+Sg$ 序列,要求三种颜色分别有 $Sr,Sb,Sg$ 个.给出 $m$ 个置换,保证这 $m$ 个置换和置换 ${1,2,3,...,n\choose 1,2,3,...,n}$ 构成一个置换群,求置换后不同构的序列个数模 $p$ . $0\le Sr,Sb,Sg\le 20,0\le m\le 60,m+1\le p\le 100$ ,$p$ 是质数. 输入 第一行输入 5 个整数:Sr,Sb,Sg,m,p(m<=60,m+1<p<…

Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 162 MBSubmit: 4255  Solved: 2582[Submit][Status][Discuss] Description 小春现在很清闲,面对书桌上的N张牌,他决定给每张染色,目前小春只有3种颜色:红色,蓝色,绿色.他询问Sun有多少种染色方案,Sun很快就给出了答案.进一步,小春要求染出Sr张红色,Sb张蓝色,Sg张绝色.他又询问有多少种方案,Sun想了一下,又给出了正确答案. 最后小春发明了M种不同的洗牌法…

Burnside引理: 参考自 某大佬对Burnside引理和Polya定理的讲解 相关概念 群:在数学中,群表示一个拥有满足封闭性.满足结合律.有单位元.有逆元的二元运算的代数结构. 置换群:由有限集合各元素的置换所构成的群. 一个置换的形式类似于 然后是Burnside引理: (1)玄学描述 在一个置换群G={a1,a2,a3……ak}中,把每个置换都写成不相交循环的乘积. 设C1(ak)是在置换ak的作用下不动点的个数,也就是长度为1的循环的个数. 通过上述置换的变换操作后可以相等的元素属…

标题效果:特定n张卡m换人,编号寻求等价类 数据保证这m换人加上置换群置换后本身构成 BZOJ坑爹0.0 条件不那么重要出来尼玛怎么做 Burnside引理--昨晚为了做这题硬啃了一晚上白书0.0 都快啃吐了0.0 Burnside引理:一个置换群下的等价类个数等于全部置换的不动点个数的平均值 没有接触过群论的建议去啃白书-- 网上的东西看不懂的 最后那个除法要用乘法逆元 我懒得写EXGCD写了费马小定理0.0 #include<cstdio> #include<cstring>…

[BZOJ1004]Cards(组合数学,Burnside引理) 题面 Description 小春现在很清闲,面对书桌上的N张牌,他决定给每张染色,目前小春只有3种颜色:红色,蓝色,绿色.他询问Sun有 多少种染色方案,Sun很快就给出了答案.进一步,小春要求染出Sr张红色,Sb张蓝色,Sg张绝色.他又询问有多少种方 案,Sun想了一下,又给出了正确答案. 最后小春发明了M种不同的洗牌法,这里他又问Sun有多少种不同的染色方案. 两种染色方法相同当且仅当其中一种可以通过任意的洗牌法(即可以使用…

感觉这两个东西好鬼畜= = ,考场上出了肯定不会qwq.不过还是学一下吧用来装逼也是极好的 群的定义 与下文知识无关.. 给出一个集合$G = \{a, b, c, \dots \}$和集合上的二元运算"$*$",并满足 (1).封闭性:$\forall a, b \in G, \exists c \in G, a * b = c$ (2).结合律:$\forall a, b, c \in G, (a * b) * c = a * (b * c)$ (3).单位元:$\exists e…

burnside引理&polya定理 参考资料: <polya计数法的应用>--陈瑜希 黄学长 置换: 置换即是将n个元素的染色进行交换,产生一个新的染色方案. 群: 一个元素的集合G与一个二元运算(*)构成一个群.群满足以下性质: 封闭性:\(\forall a,b \in G,\exists c\in G ,c=a*b\) 结合律:\(\forall a,b,c,(a*b)*c=a*(b*c)\) 单位元:\(\exists e\in G,\forall a,a*e=e*a=a\)…

零.约定: (置换等名词会在前置知识中有解释) \(1.\)在本文中,题目要求的染色方案等统称为"元素". \(2.\)两个元素严格相等我们记做"\(=\)",两个元素等价(按题目所给的置换可以互相得到)我们记做"\(\Leftrightarrow\)". \(3.\)元素\(a\)进行置换\(g\)我们记做\(a\otimes g\). \(4.\)置换之间的乘积记做\(\odot\),\(g_i=g_j\odot g_k\),当且仅当\(\f…

1004: [HNOI2008]Cards Description 小春现在很清闲,面对书桌上的N张牌,他决定给每张染色,目前小春只有3种颜色:红色,蓝色,绿色.他询问Sun有多少种染色方案,Sun很快就给出了答案.进一步,小春要求染出Sr张红色,Sb张蓝色,Sg张绝色.他又询问有多少种方案,Sun想了一下,又给出了正确答案. 最后小春发明了M种不同的洗牌法,这里他又问Sun有多少种不同的染色方案.两种染色方法相同当且仅当其中一种可以通过任意的洗牌法(即可以使用多种洗牌法,而每种方法可以使用多次…

[题目分析] 同样是Burnside引理.但是有几种颜色是不能放在一起的. 所以DP就好了. 然后T掉 所以矩阵乘法就好了. 然后T掉 所以取模取的少一些,矩阵乘法里的取模尤其要注意,就可以了. A掉 [代码] #include <cstdio> #include <cstring> #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; #define F(i,j,k) for (int…

Description 小春现在很清闲,面对书桌上的N张牌,他决定给每张染色,目前小春只有3种颜色:红色,蓝色,绿色.他询问Sun有多少种染色方案,Sun很快就给出了答案.进一步,小春要求染出Sr张红色,Sb张蓝色,Sg张绝色.他又询问有多少种方案,Sun想了一下,又给出了正确答案. 最后小春发明了M种不同的洗牌法,这里他又问Sun有多少种不同的染色方案.两种染色方法相同当且仅当其中一种可以通过任意的洗牌法(即可以使用多种洗牌法,而每种方法可以使用多次)洗成另一种.Sun发现这个问题有点难度,决…

别问我为啥突然刷了道OI题,也别问我为啥花括号不换行了... 题目描述 求含 $n$ 个碳原子的本质不同的烷基数目模 $998244353$ 的结果.$1\le n\le 10^5$ . 题解 Burnside引理+多项式牛顿迭代 不考虑同构的话,很容易想到dp方程 $\begin{cases}f_0=1\\f_i=\sum\limits_{j+k+l+1=i}f_jf_kf_l\end{cases}$ . 考虑同构,可以通过容斥原理,大力讨论一下容斥系数.一个更简单的方法是考虑Burnside…

题意:有n张牌,有R+G+B=n的3种颜色及其数量,要求用这三种颜色去染n张牌.n张牌有m中洗牌方式,问在不同洗牌方式下本质相同的染色方案数. 解法:这道题非常有意思,题解参考Hzwer学长的.我这里再总结一下: 看到本质相同的染色方案我们很容易会想到Burnside引理和Polya定理,但是这题不能用Polya定理,为什么?因为一般的Ployd染色的颜色个数是没有限制的,于是当循环节为l颜色为c时候,方式数就是c^l(就是因为一个循环方案要相同所以染的颜色也要相同).但是此题颜色个数有限制,不…

题目传送门 https://lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1004 题解 直接 Burnside 引理就可以了. 要计算不动点的个数,那么对于一个长度为 \(x\) 的循环,必须全部是红色.蓝色.绿色三种. 所以显然可以 DP.令 \(dp[i][j][k]\) 表示前 \(i\) 个循环,\(j\) 张牌选了红色,\(k\) 张牌选了蓝色,剩下的选了绿色的方案数.背包转移就可以了. 最后记得要比 \(m\) 个置换多算一个 \(f_i = i\) 的…

LINK:Cards 不太会burnside引理 而这道题则是一个应用. 首先 一个非常舒服的地方是这道题给出了m个本质不同的置换 然后带上单位置换就是m+1个置换. burnside引理: 其中D(a_j)表示 在\(a_j\)这置换中的不动点的个数. 其实我们求出每个置换的不动点个数就行了. 循环很好求 每个循环都填一样的就是不动点了 直接dp一下即可. code //#include<bits/stdc++.h> #include<iostream> #include<…

Magic Bracelet Time Limit: 2000MS   Memory Limit: 131072K Total Submissions: 3731   Accepted: 1227 Description Ginny’s birthday is coming soon. Harry Potter is preparing a birthday present for his new girlfriend. The present is a magic bracelet which…

描述 http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1004 共n个卡片,染成r,b,g三种颜色,每种颜色的个数有规定.给出一些置换,可以由置换得到的染色方案视为等价的,求等价类计数. 分析 给出置换求等价类计数,用Burnside引理:等价类计数=(每一个置换不动点的和)/置换数.(不知道的建议去看白书) 其中不动点是指一个染色方案经过置换以后染色与之前完全相同. 1.求不动点个数. 不动点的话同一个循环内的每一个点的颜色必须相同(否则不同颜色…

HDU 5868 Different Circle Permutation(burnside 引理) 题目链接http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5868 Description You may not know this but it's a fact that Xinghai Square is Asia's largest city square. It is located in Dalian and, of course, a landm…

置换群.Burnside引理与等价类计数问题 标签: 置换群 Burnside引理 置换 说说我对置换的理解,其实就是把一个排列变成另外一个排列.简单来说就是一一映射.而置换群就是置换的集合. 比如\[ \left(\begin{array}1 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 3 & 4 & 2 & 1 \end{array}\right) \]是一个置换.也可以把置换看做定义域和值域都为{1,2,......,n}的函数,…