换根dp 一般来说,我们做题的树都是默认 \(1\) 为根的.但是有些题目需要计算以每个节点为根时的内容. 朴素的暴力:以每个点 \(u\) 作为 \(root\) 暴力dfs下去,复杂度\(O(n^2)\): 正确的做法:换根dp,复杂度\(O(n)\). 执行步骤 第一次扫描,先默认 \(root=1\) ,跑一遍 \(dfs\): 第二次扫描,从 \(root=1\) 开始,每次从 \(u\) 到 \(v\) 节点时,计算根从 \(u\) 转移到 \(v\) 时的贡献变化. 很显然,换根d…

前言 没脑子选手什么都不会. 正文 先来写一下换根 DP 的特点或应用方面: 不同的点作为树的根节点,答案不一样. 求解答案时要求出每一个节点的信息. 无法通过一次搜索完成答案的求解,因为一次搜索只能得到一个节点的答案. 下面来看一个例子: 给定一个 \(n\) 个点的无根树,问以树上哪个节点为根时,其所有节点的深度和最大. 一个显然的做法:枚举根节点然后 \(O(n)\) 暴力,复杂度 \(O(n^2)\) .能过我 CS 所以我们考虑换根 DP . 先以 \(1\) 节点为根节点算出每个点的…

题目背景 小奇采的矿实在太多了,它准备在喵星系建个矿石仓库.令它无语的是,喵星系的货运飞船引擎还停留在上元时代! 题目内容 喵星系有\(n\)个星球,星球以及星球间的航线形成一棵树. 从星球\(a\)到星球\(b\)要花费\([\text{dis}(a,b)\ \text{xor}\ M]\)秒.(\(\text{dis}(a,b)\)表示ab间的航线长度,\(\text{xor}\)为位运算中的异或) 为了给仓库选址,小奇想知道,星球\(i(1\leq i\leq n)\)到其它所有星球花费的…

题意 给定一棵 \(n\) 个节点的树,可以断掉一条边再连接任意两个点,询问新构成的树的直径的最小和最大值. \(n\leq 5\times 10^5\) . 分析 记断掉一条边之后两棵树的直径为 \(A,B\) ,最长直径为 \(A+B+1\) 最短为 \(\max\{A\ ,B\ ,\lceil \frac{A}{2}\rceil+\lceil \frac{B}{2} \rceil +1\}\) . 维护每个点不同子树的前3长链和向上的最长链.不同子树的前2长路径和向上子树的最长路径. 这样…

传送门 换根dp入门题. 貌似李煜东的书上讲过? 不记得了. 先推出以1为根时的答案. 然后考虑向儿子转移. 我们记f[p]f[p]f[p]表示原树中以ppp为根的子树的答案. g[p]g[p]g[p]表示把根换成ppp时整棵树的答案. 于是有g[v]=f[v]+min(g[p]−min(e[i].c,f[v]),e[i].c)g[v]=f[v]+min(g[p]-min(e[i].c,f[v]),e[i].c)g[v]=f[v]+min(g[p]−min(e[i].c,f[v]),e[i].c…

P3761 [TJOI2017]城市 题目描述 从加里敦大学城市规划专业毕业的小明来到了一个地区城市规划局工作.这个地区一共有ri座城市,<-1条高速公路,保证了任意两运城市之间都可以通过高速公路相互可达,但是通过一条高速公路需要收取一定的交通费用.小明对这个地区深入研究后,觉得这个地区的交通费用太贵.小明想彻底改造这个地区,但是由于上司给他的资源有限,因而小明现在只能对一条高速公路进行改造,改造的方式就是去掉一条高速公路,并且重新修建一条一样的高速公路(即交通费用一样),使得这个地区的两个城市…

一道很好的换根dp题.考场上现场yy十分愉快 给定树,求每个点的到其它所有点的距离异或上m之后的值,n=100000,m<=16 只能线性复杂度求解,m又小得奇怪.或者带一个log像kx一样打一个线段树 我们可以发现,m小的话对距离很大的路径的影响也不会超过16. 那么变化的其实就是最后4个二进制位啊. 所以我们像普通的换根dp一样求出所有距离,在额外处理一下以p为端点的全部路径里路径长度%16之后的值为k的有多少个 设为bits2[k][p] 因为换根dp的主要思路是两遍dfs,第一次处理每个…

题意 ​ 题目链接:https://www.luogu.org/problem/P4827 ​ 给定一棵 \(n\) 个节点的树和一个常数 \(k\) ,对于树上的每一个节点 \(i\) ,求出 \(\displaystyle \sum_{i=1}^n{\rm dist}^k(i,j)\),其中 \(\rm{dist}\) 函数表示树上两点距离. ​ \(1 \leq n \leq 50000\) ​ \(1\leq k \leq 150\) 思路 ​ 看到求答案 \(k\) 次方的问题,应该联…

题目链接 传送门 题意 两个绝顶聪明的人在树上玩博弈,规则是轮流选择下一个要到达的点,每达到一个点时,先手和后手分别获得\(a_i,b_i\)(到达这个点时两个人都会获得)的权值,已经经过的点无法再次经过,直到无法移动则结束游戏,两人都想最大化自己的权值和减对手权值和,问先手减后手权值和最大是多少. 思路 换根\(DP\),和求树的直径有点类似. \(dp[i][j]\)表示在\(i\)这个结点状态为\(j\)时先手权值和减后手权值和最优是多少,\(j\)为偶数表示当前是先手,为奇数时为后手.…

题意:给定一颗树,树上每个点通电概率为 $q[i]$%,每条边通电的概率为 $p[i]$%,求期望充入电的点的个数. 期望在任何时候都具有线性性,所以可以分别求每个点通电的概率(这种情况下期望=概率 $\times 1$ )然后累加. 然而,直接求通电的概率不是很好求,所以可以求不通电的概率,然后 $1$ 减去这个就是通电的概率了~ 先假定以 $1$ 为根,令 $f[i]$ 表示仅考虑 $i$ 的子树及 $i$ 的影响时 $i$ 充不到电的概率. 则有: $f[i]=(1-q[i])\prod_…