计算 $\dps{\int_0^\infty\frac{\sin^2x}{x^2}dx=\frac{\pi}{2}}$

计算 $\dps{\int_0^\infty\frac{\sin^2x}{x^2}dx=\frac{\pi}{2}}$. 由分部积分, $$\bee\label{1}\bea \int_0^\infty\frac{\sin^2x}{x^2}dx &=-\int_0^\infty \sin^2xd\frac{1}{x}\\ &=-\left.\frac{\sin^2x}{x}\right|^\infty_0 +\int_0^\infty \frac{\sin 2x}{x}dx\\ &…

关于$f(x)=\int_0^x\left|\sin\frac1t\right|\text dt$求导的问题

首先,我们考虑$f(x)$在$\mathbb R$上都是定义的.根据定义,显然有$f(0)=0$:其次,对于$x\neq0$,不妨先设$x\gt0$,则有在$t\rightarrow\frac1t$的积分变换下为 \[0<f(x)=\int_0^x\left|\sin\frac1t\right|\text dt=\int_{\frac1x}^{+\infty}\frac{\left|\sin t\right|}{t^2}\text dt\le\int_{\frac1x}^…

巴塞尔问题(Basel problem)的多种解法——怎么计算$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots$ ?

(PS:本文会不断更新) $\newcommand\R{\operatorname{Res}}$ 如何计算$\zeta(2)=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots$? 这个问题是在1644年由意大利数学家蒙哥利(Pietro Mengoli)提出的,而大数学家欧拉于1735年第一次解决了这个问题.他得出著名的结果:\[\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}\] 解决这个问题的方法…

有道云笔记 - Markdown模板(文首附markdown源码，即.md文件)

有道云笔记 - Markdown模板附本文的Markdown源码镜像: https://github.com/yanglr/AlgoSolutions/blob/master/Youdao_Note_Markdown_Template.md 点击"Raw"可看到源码,欢迎fork或star~ 有道云笔记 - Markdown模板一.利用Markdown可以做什么? 代码高亮 To-do List 流程图: 序列图: 甘特图: 表格: 表格 Mathematical formula…

MATLAB数学实验总结

L1 MATLAB 基础知识 P6 表1-3 数据显示格式 format rat format long P20 表2-5 常用的矩阵函数 zeros(m,n) %零阵 eye(n) %单位阵 ones(m,n) %全一阵 diag(v,k) %k=0,v为行矩阵时生成对角阵如 diag([3 4 5]),v为一般矩阵时取对角元素成列矩阵 rand(m,n) %随机阵 P24 表2-6 常用函数命令,该页上有矩阵运算规则 exp(x) %$e^x$ abs(x) %$|x|$ sqrt(…

AOPS论坛上100+100个积分

100+10 rare and irresistible integrals I bring you many beautiful integrals that I have collected over time, I hope you enjoy them as much as I do.If you want to answer one of these integrals, please hide your answer.#passion for this #Enjoy :showoff…

巴塞尔问题(Basel problem)的多种解法

巴塞尔问题(Basel problem)的多种解法——怎么计算\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots112+122+132+⋯ ? (PS:本文会不断更新) \newcommand\R{\operatorname{Res}} 如何计算\zeta(2)=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdotsζ(2)=112+122+132+⋯? 这个问题是在1644年由意大利数学家蒙哥利(Pietr…

Clausen Functions (and related series, functions, integrals)

Since the Clausen functions are intimately related to a number of other important special functions, such as Inverse Tangent Integrals, Polylogarithms, Polygamma Functions, Zeta Functions, and more besides - many of which are at the forefront of mode…

【编程语言】Matlab 学习记录

title: Matlab Learning Record date: 2020-05-23 20:11:26 author: liudongdong1 img: https://gitee.com/github-25970295/blogImage/raw/master/img/voice-recognition-speech-detect-deep-260nw-694633963.webp reprintPolicy: cc_by cover: false categories: 语言框架…

MathJax测试

\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \begin{equation} \int_0^\infty \frac{x^3}{e^x-1}\,dx = \frac{\pi^4}{15} \label{eq:sample} \end{equation}…

吴裕雄 python matplotlib 绘图示例

import matplotlib.pyplot as plt plt.scatter([1,2,3,4],[2,3,2,5])plt.title('My first plot')plt.show() import numpy as npimport pandas as pdimport matplotlib.pyplot as pltfrom mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D x = np.arange(-2*np.pi,2*np.pi,0.1)y = np…

【bzoj5146】有趣的概率微积分

题目描述 "可爱的妹子就像有理数一样多,但是我们知道的,你在数轴上随便取一个点取到有理数的概率总是0,"芽衣在床上自顾自的说着这句充满哲理的话,"诶,柚子,我写完概率论的作业你就和我出去约会怎么样""好呀,但是你要做完才可以哦"柚子回答道,芽衣立刻从床上翻下来冲到了座位上,诶,就一道题啊,真好,题目是这样的:在一个圆上任取n个点,求由这n个点依次围成的凸n边形至少有一个锐角的概率是多少,芽衣急于和柚子去约会,当然没有心情想这一道题,于是她就来求助…

Mobius反演与积性函数前缀和演学习笔记 BZOJ 4176 Lucas的数论 SDOI 2015 约数个数和

下文中所有讨论都在数论函数范围内开展. 数论函数指的是定义域为正整数域, 且值域为复数域的函数. 数论意义下的和式处理技巧因子 \[ \sum_{d | n} a_d = \sum_{d | n} a_{\frac n d} \] 双重因子 \[ \sum_{k | n} \sum_{j | k} a_{k, j} = \sum_{k | n} \sum_{j | \frac n k} a_{jk, k} \] \[ \sum_{n | k} \sum_{k | j} a_{k, j} = \…

由浅入深学习PBR的原理和实现

目录一. 前言 1.1 本文动机 1.2 PBR知识体系 1.3 本文内容及特点二. 初阶:PBR基本认知和应用 2.1 PBR的基本介绍 2.1.1 PBR概念 2.1.2 与物理渲染的差别 2.1.3 PBR的特征 2.2 PBR的衍变历史 2.2.1 Lambert(1760年) 2.2.2 Smith(1967年) 2.2.3 Phong(1973年) 2.2.4 Cook-Torrance(1982年) 2.2.5 Oren Nayarh(1994年) 2.2.6 Schlick(…

黎曼函数ζ(2n)的几种求法

$\zeta (2n)$的几种求法目录 $\zeta (2n)$的几种求法结论欧拉的证明进一步探索,$\zeta$ 函数.余切.伯努利数的关系傅立叶分析证明留数法证明参考资料结论 \[\zeta(2n) = \frac{(-1)^{n+1}B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!} \] 欧拉的证明 PS:欧拉在<无穷小分析引论中>,是对 $e^x + e^{-x}$ 的展开系数进行分析,而下文是对 $\frac{\sin(x)}{x}$ 分析,两者几乎没…

Machine Learning-特征工程之特征选择

特征工程之特征选择目录简介 1 Filter(过滤式选择) 1.1 移除低方差特征(variance threshold) 1.2 信息增益(information gain) 1.3 单变量特征选择 (Univariate feature selection) 1.3.1 卡方检验 (chi-square test) 1.3.2 Pearson 相关系数 (Pearson Correlation) 1.3.3 费雪分数(fisher score) 1.4 Relief(Relevant F…

拉格朗日乘数法和 KTT条件

预备知识令 $X$ 表示一个变量组(向量) $(x_1, x_2, \cdots, x_n)$ 考虑一个处处可导的函数 $f(X)$, 为了方便描述, 这里以二元函数为例对于微分, 考虑在初始点处固定x移动y产生的变化量, 是和先将x移动dx,然后固定x移动y产生的变化量是相等的那么有全微分公式 $df = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy$ 定义 \(\nabla f(x,…

牛客多校第一场 B Inergratiion

牛客多校第一场 B Inergratiion 传送门:https://ac.nowcoder.com/acm/contest/881/B 题意: 给你一个 [求值为多少题解: 根据线代的知识我们可以将分母裂项,然后根据 $\int_{0}^{\infty} \frac{1}{1+x^2}dx=\frac{\pi}{2}-->\int_{0}^{\infty} \frac{1}{1+\frac{x}{a_i}^2}d\frac{x}{a_i}=\frac{\pi}{2}$ 可以推得我们的…

基于Docker的MindSpore安装与使用基础介绍

技术背景 MindSpore是一款新一代AI开源计算框架,其特色在于:创新编程范式,AI科学家和工程师更易使用,便于开放式创新:该计算框架可满足终端.边缘计算.云全场景需求,能更好保护数据隐私:可开源,形成广阔应用生态.MindSpore的软件架构如下图所示: (图片来自于参考链接1的内容截图) 其中关于自动微分的部分被集成在了GHLO这个模块上,该模块主要内容是一些不依赖于硬件体系的优化,也是本次安装与测试指导中特别关注的内容. 由于MindSpore的支持系统列表(如下图所示)中不包含本机主…

[数学]高数部分-Part IV 一元函数积分学

Part IV 一元函数积分学回到总目录 Part IV 一元函数积分学不定积分定义定积分定义不定积分与定积分的几何意义牛顿-莱布尼兹公式 / N-L 公式基本积分公式点火公式(华里士公式) 积分-换元法的三板斧分部积分法有理函数积分法积分中值定理定积分的计算用积分表达和计算平面图形的面积用积分表达和计算旋转体的体积用积分表达和计算函数的平均值---y(x)在[a,b]上的平均值是不定积分定义 \(\forall x\in I,\ 使{F}'(x)=f(x)成立,则…

计算广义积分$$\int_0^{+\infty}\cos x^p {\rm d}x,\int_0^{+\infty}\sin x^p {\rm d}x, p>1$$

${\bf 解:}$ 在角状域$G=\{z\in\mathbb{C}|0<{\rm Arg}z<\frac{\pi}{2p}\}$上引入辅助函数$e^{iz^p}$, 其中$z^p=|z|^pe^{ip{\rm Arg}z}$,$0<{\rm Arg}z<\frac{\pi}{2p}$, 再设$0<\rho<R<+\infty$, 以及$\gamma_\rho=\partial B(0,\rho)\cap G$,$\gamma_R=\partial B(0,R)\…

应用留数定理计算实积分 $\dps{I(x)=\int_{-1}^1\frac{\rd t}{\sqrt{1-t^2}(t-x)}\ (|x|>1,x\in\bbR)}$ [华中师范大学2010年复变函数复试试题]

应用留数定理计算实积分 $\dps{I(x)=\int_{-1}^1\frac{\rd t}{\sqrt{1-t^2}(t-x)}\ (|x|>1,x\in\bbR)}$ [华中师范大学2010年复变函数复试试题] 解答: $$\beex \bea I(x)&=\int_{-1}^1 \frac{\rd t}{\sqrt{1-t^2}(t-x)}\\ &=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\rd \tt}{\sin\tt-x}\q…

$\frac{\pi}{\sin p\pi}$

1.把 $f(x)=\cos px$ 在 $[-\pi,\pi]$ 上展开为 Fourier 级数. \[\cos px=\frac{\sin p\pi}{\pi}(\frac{1}{p}+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{2p}{p^2-n^2}\cos nx).\] 取 $x=0$, 则有 \[\frac{\pi}{\sin p\pi}=\frac{1}{p}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n2p}{p^2-n^2}.\] 2.计算积…