正解:莫比乌斯反演/欧拉函数 解题报告: 传送门$QwQ$ 一步非常显然的变形,原式=$\sum_{d=1,d\in prim}^{n}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}[gcd(i,j)==d]$ 后面那个就莫比乌斯反演入门题辣$QwQ$? 就变成$\sum_{p=1}^{n}[p\mbox{为质数}]\sum_{d=1}^{n/p}\mu(d)\lfloor \frac {n/p}{d}\rfloor^2$ 十分套路的,后面显然可以数论分块,就变成了$\sum_{p=1…

link 给定整数N,求1<=x,y<=N且Gcd(x,y)为素数的数对(x,y)有多少对. 1<=N<=10^7 (1)莫比乌斯反演法 发现就是YY的GCD,左转YY的GCD粘过来就行 代码太丑,没开O2 TLE5个点 #include <cstdio> #include <functional> using namespace std; const int fuck = 10000000; int prime[10000010], tot; bool v…

题目链接:https://www.luogu.org/problemnew/show/P2568#sub 题目大意: 计算​$\sum_{x=1}^n\sum_{y=1}^n [gcd(x,y)==prime]​$ 题解: 解法一:莫比乌斯反演套路题 其实这样就可以了,但是还可以优化一下子 设​​T=dp ​ 整除分块就好了,其实这就和 yy的gcd 一样了 解法二:欧拉函数 考虑上面的第一个式子​可以化简成 ​ tot是n以内质数的数量 这是因为考虑到每次都两次计算了​$\varphi(1)$…

2818: Gcd Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 256 MBSubmit: 3241  Solved: 1437[Submit][Status][Discuss] Description 给定整数N,求1<=x,y<=N且Gcd(x,y)为素数的数对(x,y)有多少对. Input 一个整数N Output 如题 Sample Input 4 Sample Output 4 HINT hint 对于样例(2,2),(2,4),(3,3),(4,2) 1&…

https://www.luogu.org/problemnew/show/P1390 求 $\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m} gcd(i,j) $ 不会,看题解: 类似求gcd为p的求法: $ f(n) = \sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m} gcd(i,j) =\sum\limits_{i=1}^{N} d \sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}…

Description 栋栋有一块长方形的地,他在地上种了一种能量植物,这种植物可以采集太阳光的能量.在这些植物采集能量后,栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起. 栋栋的植物种得非常整齐,一共有n列,每列有m棵,植物的横竖间距都一样,因此对于每一棵植物,栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示,其中x的范围是1至n,表示是在第x列,y的范围是1至m,表示是在第x列的第y棵. 由于能量汇集机器较大,不便移动,栋栋将它放在了一个角上,坐标正好是(0, 0). 能量汇集机器在汇集的过…

题意: 给定\(n,m,p\),求 \[\sum_{a=1}^n\sum_{b=1}^m\frac{\varphi(ab)}{\varphi(a)\varphi(b)}\mod p \] 思路: 由欧拉函数性质可得:\(x,y\)互质则\(\varphi(xy)=\varphi(x)\varphi(y)\):\(p\)是质数则\(\varphi(p^a)=(p-1)^{a-1}\).因此,由上述两条性质,我们可以吧\(a,b\)质因数分解得到 \[\begin{aligned} \sum_{a=…

一通套路后得Σφ(d)μ(D/d)⌊n/D⌋2.显然整除分块,问题在于怎么快速计算φ和μ的狄利克雷卷积.积性函数的卷积还是积性函数,那么线性筛即可.因为μ(pc)=0 (c>=2),所以f(pc)还是比较好算的,讨论一波即可. #include<iostream> #include<cstdio> #include<cmath> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<algorith…

题目链接 \(Description\) 求\[\sum_{i=1}^n\gcd(i,n)\] \(Solution\) \[ \begin{aligned} \sum_{i=1}^n\gcd(i,n) &=\sum_{d=1}^nd\sum_{i=1}^n[\gcd(i,n)=d]\\ &=\sum_{d=1}^nd\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}[\gcd(i,\lfloor\frac{n}{d}\rfloor)=1] \end{aligne…

GCD  nyoj 1007 (欧拉函数+欧几里得) GCD 时间限制:1000 ms  |  内存限制:65535 KB 难度:3   描述 The greatest common divisor GCD(a,b) of two positive integers a and b,sometimes written (a,b),is the largest divisor common to a and b,For example,(1,2)=1,(12,18)=6.(a,b) can be…

UVA11426 GCD - Extreme (II) 题目描述 PDF 输入输出格式 输入格式: 输出格式: 输入输出样例 输入样例#1: 10 100 200000 0 输出样例#1: 67 13015 143295493160 Solution 这道题我用莫比乌斯反演和欧拉函数都写了一遍,发现欧拉函数比莫比乌斯反演优秀? 求所有\(gcd=k\)的数对的个数,记作\(f[k],ans=\sum_{i=1}^{n}(f[i]-1)\),为什么还要-1,我们注意到\(j=i+1\),自己与自己…

题目:给出n,求gcd(1,2)+gcd(1,3)+gcd(2,3)+gcd(1,4)+gcd(2,4)+gcd(3,4)+...+gcd(1,n)+gcd(2,n)+...+gcd(n-1,n) 此题和UVA 11426 一样,不过n的范围只有20000,但是最多有20000组数据. 当初我直接照搬UVA11426,结果超时,因为没有预处理所有的结果(那题n最多4000005,但最多只有100组数据),该题数据太多了额... 思路:令sum(n)=gcd(1,n)+gcd(2,n)+...+g…

题目链接 题意 : 从[a,b]中找一个x,[c,d]中找一个y,要求GCD(x,y)= k.求满足这样条件的(x,y)的对数.(3,5)和(5,3)视为一组样例 . 思路 :要求满足GCD(x,y)=k的对数,则将b/k,d/k,然后求GCD(x,y)=1的对数即可.假设b/k >= d/k ;对于1到b/k中的某个数s,如果s<=d/k,则因为会有(x,y)和(y,x)这种会重复的情况,所以这时候的对数就是比s小的与s互质的数的个数,即s的欧拉函数.至于重复的情况是指:在d/k中可能有大于…

题目链接:http://acm.hust.edu.cn/vjudge/contest/view.action?cid=70017#problem/O 题意是给你n,求所有gcd(i , j)的和,其中1<=i <j <n. 要是求gcd(n , x) = y的个数的话,那么就是求gcd(n/y , x/y) = 1的个数,也就是求n/y的欧拉函数.这里先预处理出欧拉函数,然后通过类似筛法的技巧筛选出答案累加起来. #include <iostream> #include &l…

GCD Again Time Limit: 1000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)Total Submission(s): 2673    Accepted Submission(s): 1123 Problem Description Do you have spent some time to think and try to solve those unsolved problem af…

GCD Again Time Limit: 1000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others) Total Submission(s): 2611    Accepted Submission(s): 1090 Problem Description Do you have spent some time to think and try to solve those unsolved problem a…

题目链接 求 $ x\in[1, a] , y \in [1, b] $ 内 \(gcd(x, y) = k\)的(x, y)的对数. 问题等价于$ x\in[1, a/k] , y \in [1, b/k] $ 内 \(gcd(x, y) = 1\) 的(x, y)的对数. 假设a < b, 那么[1, a/k]这部分可以用欧拉函数算. 设 \(i\in (a/k, b/k]\), (a/k, b/k]这部分可以用容斥算, 用a/k减去[1, a/k]里面和i不互质的数的个数. 具体看代码.…

题意:求1-b和1-d之内各选一个数组成数对.问最大公约数为k的数对有多少个,数对是有序的.(b,d,k<=100000) 解法1: 这个能够简化成1-b/k 和1-d/k 的互质有序数对的个数. 如果b=b/k.d=d/k,b<=d.欧拉函数能够算出1-b与1-b之内的互质对数.然后在b+1到d的数i,求每一个i在1-b之间有多少互质的数. 解法是容斥,getans函数參数的意义:1-tool中含有rem位置之后的i的质因子的数的个数. 在 ];j++) ans); 这个循环中.ans加的等…

题目链接:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2818 题意:给定整数N,求1<=x,y<=n且Gcd(x,y)为素数的数对(x,y)有多少对 思路:先筛出n以内所有的素数顺便筛出欧拉函数,\(gcd(x,y)=k\)等价于\(gcd(\frac{x}{k},\frac{y}{k})=1\) 所以这个问题可以转化为求\(ans=\sum_{i=1}^{tot}\sum_{j=1}^{n/prime[i]}phi[j]\) ,tot为…

题目链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1695 题目解析: Given 5 integers: a, b, c, d, k, you're to find x in a...b, y in c...d that GCD(x, y) = k. 题目又说a==c==1,所以就是求[1,b]与[1,d]中gcd等于k的个数,因为若gcd(x,y)==z,那么gcd(x/z,y/z)==1,又因为不是z的倍数的肯定不是,所以不是z的倍数的可以直接去…

Given the value of N, you will have to find the value of G. The definition of G is given below:Here GCD(i, j) means the greatest common divisor of integer i and integer j.For those who have trouble understanding summation notation, the meaning of G i…

题目链接:http://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&category=473&problem=2421&mosmsg=Submission+received+with+ID+13800900 Given the value of N, you will have to find the value of G. The definition…

题意:给一个N,和公式 求G(N). 分析:设F(N)= gcd(1,N)+gcd(2,N)+...gcd(N-1,N).则 G(N ) = G(N-1) + F(N). 设满足gcd(x,N) 值为 i 的且1<=x<=N-1的x的个数为 g(i,N). 则F(N)  = sigma{ i * g(i,N) }. 因为gcd(x,N) == i 等价于 gcd(x/i, N/i)  == 1,且满足gcd(x/i , N/i)==1的x的个数就是 N/i 的欧拉函数值.所以g(i,N) 的值…

题目链接:https://vjudge.net/problem/UVA-11426 题目大意: 给出整数n∈[2,4000000],求解∑gcd(i,j),其中(i,j)满足1≤i<j≤n. 的确没有想到是欧拉函数,这怎么会想到欧拉函数呢?  又不是要我们求所有gcd为1的个数  那些gcd不为1的怎么办呢?  当时怎么就没想到呢  除过去不就变为1了吗  自己是真的菜... 还是要多做题,把思维开阔起来!!! 思路在代码中  直接看代码: /** 欧拉函数三个性质 是素数的话 欧拉函数值等于它…

题目链接:https://vjudge.net/problem/UVA-11426 题意: 求 ∑ gcd(i,j),其中 1<=i<j<=n . 题解:1. 欧拉函数的定义:满足 0<x<n 且 gcd(x,n) = 1 的x有euler[n]个. 2. 可以推论出:满足 0<2*x<2*n 且 gcd(2*x,2*n) = 2 的2*x同样有euler[n]个,推向一般:满足 0<k*x<k*n 且 gcd(k*x,k*n) = k 的k*x有eu…

题目: SPOJ-GCDEX (洛谷 Remote Judge) 分析: 求: \[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i+1}^{n}gcd(i,j)\] 这道题给同届新生讲过,由于种种原因只讲了 \(O(n)\) 预处理欧拉函数 \(O(n)\) 查询的暴力做法,顺带提了一句 "这题能根号查询" 被教练嘴了 QAQ .以及小恐龙给我说有 \(O(n\log n)\) 预处理 \(O(1)\) 查询的另一种写法. 重点是前几天某学长讲课讲这道题,才知道有 \(O(n)\) 预…

Given the value of N, you will have to find the value of G. The definition of G is given below:G =i<N∑i=1j∑≤Nj=i+1GCD(i, j)Here GCD(i, j) means the greatest common divisor of integer i and integer j.For those who have trouble understanding summation no…

分析:枚举每个数的贡献,欧拉函数筛法 #include <cstdio> #include <iostream> #include <ctime> #include <vector> #include <cmath> #include <map> #include <queue> #include <algorithm> #include <cstring> using namespace std;…

GCD Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others) Total Submission(s): 1294    Accepted Submission(s): 583 Problem Description The greatest common divisor GCD(a,b) of two positive integers a and b,sometimes writt…

分析:筛素数,然后枚举,莫比乌斯反演,然后关键就是分块加速(分块加速在上一篇文章) #include<cstdio> #include<cstring> #include<queue> #include<cstdlib> #include<algorithm> #include<vector> #include<cmath> using namespace std; typedef long long LL; ; cons…