莫比乌斯函数 #include <iostream> #include <cstdio> #include <cmath> #include <cstring> #include <algorithm> #define ll long long using namespace std; const int MAXN = 500005; int T, a, b, k, miu[MAXN], prime[MAXN], tot, pre[MAXN];…

先看一道例题:[POI2007]Zap BZOJ 洛谷 题目大意:$T$ 组数据,求 $\sum^n_{i=1}\sum^m_{j=1}[gcd(i,j)=k]$ $1\leq T\leq 50000,1\leq k\leq n,m\leq 50000$ 暴力做法 $O(Tnm\log\max(n,m))$ 不用说了,那有没有什么更好的做法呢? 我们定义一种函数叫莫比乌斯函数 $\mu$,它的定义是: 当 $n=1$ 时,$\mu(n)=1$ 当 $n$ 可以分解成 $p_1p_2...p_k$…

https://www.luogu.org/problemnew/show/P3455 就是https://www.cnblogs.com/hehe54321/p/9315244.html里面的方法2了,升级版的整除分块,可以两个变量一起搞 预处理莫比乌斯函数的前缀和之后就可以每次$O(\sqrt{n}+\sqrt{m})$回答 那篇题解里面用了一个技巧:${\lfloor}\frac{{\lfloor}\frac{a}{b}{\rfloor}}{c}{\rfloor}={\lfloor}\fr…

题目链接:P3455 [POI2007]ZAP-Queries 题意 给定 \(a,b,d\),求 \(\sum_{x=1}^{a} \sum_{y=1}^{b}[gcd(x, y) = d]\). 思路 莫比乌斯函数的一个性质: \[[x = 1] = \sum_{d|x} \mu(d)\] 设 \(a \le b\),对原式转化: \[\sum_{x=1}^{a} \sum_{y=1}^{b}[gcd(x, y) = d] \\ = \sum_{x=1}^{\lfloor \frac{a}{…

这应该是入坑莫比乌斯反演的第一道题了吧 其实题目让我们求的东西很简单,就是 \[ ans=\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\left [ gcd(i,j)=k \right ]\] 然后,显然,我们可以再化简一下,其实刚刚的式子就等价于 \[ans=\sum_{i=1}^{a/k}\sum_{j=1}^{b/k}\left [ gcd(i,j)=1 \right ]\] 但是,显然这个东西是十分不好算的 因为这是一道莫比乌斯反演的经典题,所以我们可以套一套 不妨设 \[f…

题目大意:求 \[\sum\limits_{i=1}^a\sum\limits_{j=1}^b[gcd(i,j)=c]\] 题解:学会了狄利克雷卷积. \[\epsilon=\mu \ast 1\] 将艾弗森表达式转化成卷积的形式,在调换求和顺序,消去不必要的和式.最后利用除法分块+预处理的莫比乌斯函数前缀和在 \(O(\sqrt n)\) 时间内单次回答询问. 代码如下 #include <bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long lo…

正解:莫比乌斯反演 解题报告: 传送门! 首先这题刚看到就很,莫比乌斯反演嘛,和我前面写了题解的那个一模一样的,所以这儿就不讲这前边的做法辣QAQ 但是这样儿还有个问题,就现在已知我每次都是要O(n)地做的,然后他还有Q个问题,这样复杂度显然就假了,就要想办法优化QAQ 这时候考虑到我们已经搞出来要求的式子长这样儿:∑μ(i)*⌊m/i,n/i⌋,这就很,整除分块昂! 所以预处理μ的时候顺便搞下前缀和,整除分块就能过去辣! #include<bits/stdc++.h> using names…

题目描述 Byteasar the Cryptographer works on breaking the code of BSA (Byteotian Security Agency). He has alreadyfound out that whilst deciphering a message he will have to answer multiple queries of the form"for givenintegers aa , bb and dd , find the n…

传送门 设$$f(k)=\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}[gcd(i,j)=k]$$ $$g(n)=\sum_{n|k}f(k)=\lfloor\frac{a}{n}\rfloor\lfloor\frac{b}{n}\rfloor$$ 根据莫比乌斯反演定理可以推出$$f(n)=\sum_{n|k}\mu(\lfloor\frac{k}{n}\rfloor)g(k)$$ 那么可以发现$ans=f(d)$ 然后用推出来的结论带进去 $$ans=\sum_{d|k}\mu(\l…

题目大意: 给定\(n,m,k,\) 求 \[\sum\limits_{x=1}^n\sum\limits_{y=1}^m[gcd(x,y)==k]\] 莫比乌斯反演入门题,先进行一步转化,将每个\(x,y\)除以\(k\),则答案变为 \[\sum\limits_{x=1}^{\lfloor\frac{n}{k}\rfloor} \sum\limits_{y=1}^{\lfloor\frac{m}{k}\rfloor} [gcd(x,y)==1]\] 发现最右边的条件可以莫比乌斯反演 \[\s…

题意:求$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}[gcd(i,j)==d]$(1<=a,b,d<=50000). 很套路的莫比乌斯反演. $\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)==k]=\sum_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{k}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor \frac{m}{k}\rfloor}[gcd(i,j)==1]$ 令f(n)为gcd是n的个数,g(n)为gcd是n或n的倍数的个数.…

传送门 我们考虑容斥,设$ans(a,b)=\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^b[gcd(a,b)==k]$,这个东西可以和这一题一样去算洛谷P3455 [POI2007]ZAP-Queries 然后只要在这上面加个容斥就好了,答案就是$ans(b,d)-ans(b,c-1)-ans(a-1,d)+ans(a-1,c-1)$ //minamoto #include<iostream> #include<cstdio> #define ll long long using…

题意:求$\sum_{i=a}^{b}\sum_{j=c}^{d}[gcd(i,j)==k]$(1<=a,b,c,d,k<=50000). 是洛谷P3455 [POI2007]ZAP-Queries加强版,多了下界. 设$f(n,m)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)==k]$ 根据容斥可以显然的得出Ans=f(b,d)-f(b,c-1)-f(a-1,d)+f(a-1,c-1). 对于f(n,m)的求解: $f(n,m)=\sum_{i=1}^{n}\…

[阶梯报告]洛谷P3391[模板]文艺平衡树 splay 题目链接在这里[链接](https://www.luogu.org/problemnew/show/P3391)最近在学习splay,终于做对了这道模版题,虽然不是很难的样子.~~但是我一开始并不会做,而且看完题解之后还打错一直打不对,调试了很久~~下面是题目简述 现在给你一个长度为n的序列,序列元素初始为1,2,3...n,同时有m个操作,每个操作给定一个L和R,表示将[L,R]区间的数进行翻转. 输出:完成所有操作之后的序列(n,m≤…

bzoj炸了,靠离线版题目做了两道(过过样例什么的还是轻松的)但是交不了,正巧洛谷有个"大牛分站",就转回洛谷做题了 水题先行,一道傻逼匈牙利 其实本来的思路是搜索然后发现写出来类似于匈牙利(⊙o⊙) (匈牙利的复杂度惊人,1e6秒过) #include <cstdio> ]; ],fir[],to[],nex[]; int N,n,p,q; void add(int p,int q) { nex[++N]=fir[p];to[N]=q;fir[p]=N; } bool f…

没有上司的舞会  时间限制: 1 s  空间限制: 128000 KB  题目等级 : 钻石 Diamond       题目描述 Description Ural大学有N个职员,编号为1~N.他们有从属关系,也就是说他们的关系就像一棵以校长为根的树,父结点就是子结点的直接上司.每个职员有一个快乐指数.现在有个周年庆宴会,要求与会职员的快乐指数最大.但是,没有职员愿和直接上司一起与会. 输入描述 Input Description 第一行一个整数N.(1<=N<=6000)接下来N行,第i+1…

题目描述 “低价购买”这条建议是在奶牛股票市场取得成功的一半规则.要想被认为是伟大的投资者,你必须遵循以下的问题建议:“低价购买:再低价购买”.每次你购买一支股票,你必须用低于你上次购买它的价格购买它.买的次数越多越好!你的目标是在遵循以上建议的前提下,求你最多能购买股票的次数.你将被给出一段时间内一支股票每天的出售价(2^16范围内的正整数),你可以选择在哪些天购买这支股票.每次购买都必须遵循“低价购买:再低价购买”的原则.写一个程序计算最大购买次数. 这里是某支股票的价格清单: 日期 1 2…

题目背景 (USACO 5.3.4) 题目描述 农夫约翰想要在他的正方形农场上建造一座正方形大牛棚.他讨厌在他的农场中砍树,想找一个能够让他在空旷无树的地方修建牛棚的地方.我们假定,他的农场划分成 N x N 的方格.输入数据中包括有树的方格的列表.你的任务是计算并输出,在他的农场中,不需要砍树却能够修建的最大正方形牛棚.牛棚的边必须和水平轴或者垂直轴平行. EXAMPLE 考虑下面的方格,它表示农夫约翰的农场,‘.'表示没有树的方格,‘#'表示有树的方格 1 2 3 4 5 6 7 8 1 .…

P1710 地铁涨价 51通过 339提交 题目提供者洛谷OnlineJudge 标签O2优化云端评测2 难度提高+/省选- 提交  讨论  题解 最新讨论 求教:为什么只有40分 数组大小一定要开够啊... 如果强制在线会怎么样 请问为什么第二段铁路变化后- 话说这题和初赛的最后一个大- 题目背景 本题开O2优化,请注意常数 题目描述 博艾市除了有海底高铁连接中国大陆.台湾与日本,市区里也有很成熟的轨道交通系统.我们可以认为博艾地铁系统是一个无向连通图.博艾有N个地铁站,同时有M小段地铁连接两…

P1371 NOI元丹 71通过 394提交 题目提供者洛谷OnlineJudge 标签云端评测 难度普及/提高- 提交  讨论  题解 最新讨论 我觉得不需要讨论O long long 不够 没有取模 题目描述 小A打算开始炼NOI元丹(什么鬼),据说吃了可以提高NOI时的成绩. 是这么练的.元丹有三种元核,'N','O','I'.现有很多个这样原核,按顺序排成一行.炼元丹时,从左往右分别挑出'N','O','I'三个原核吞下. 现在他关心,有几种服用方式--且慢! 他觉得服用方式太少,以至于…

题目背景 HNSDFZ的同学们为了庆祝春节,准备排练一场舞会. 题目描述 在越来越讲究合作的时代,人们注意的更多的不是个人物的舞姿,而是集体的排列. 为了配合每年的倒计时,同学们决定排出——“数字舞蹈”.顾名思义就是所有人一起排成若干个数字 -___-|||| 更为创新的是,每个人都是趴在地上,保证横竖. 现在给出数字及其要求摆出的大小,请你编程,模拟同学们的优美姿态. 输入输出格式 输入格式: 第一行为k.k表示要摆出数字的大小. 第二行为全部由数字组成的字符串,即要摆出的几个数字. 输出格式…

个人背景: 上午9:30放学,然后因为学校举办读书工程跟同学去书城选书,中午回来开始打比赛,下午又回老家,中间抽出一点时间调代码,回家已经8:50了 也许是7月月赛时“连蒙带骗”AK的太幸运然而因同学的id评测过判代码雷同扣100分后while(true) rp--;本次是一个凄惨..... 我太弱了我太弱了我太弱了我太弱了我太弱了我太弱了我太弱了我太弱了我太弱了我太弱了我太弱了我太弱了我太弱了我太弱了我太弱了我太弱了 我太弱了我太弱了我太弱了我太弱了我太弱了我太弱了我太弱了我太弱了 我太弱了我…

特别声明:紫书上抄来的代码,详见P198 题目描述 在3×3的棋盘上,摆有八个棋子,每个棋子上标有1至8的某一数字.棋盘中留有一个空格,空格用0来表示.空格周围的棋子可以移到空格中.要求解的问题是:给出一种初始布局(初始状态)和目标布局(为了使题目简单,设目标状态为123804765),找到一种最少步骤的移动方法,实现从初始布局到目标布局的转变. 输入输出格式 输入格式: 输入初试状态,一行九个数字,空格用0表示 输出格式: 只有一行,该行只有一个数字,表示从初始状态到目标状态需要的最少移动次数…

洛谷1114 “非常男女”计划 本题地址:http://www.luogu.org/problem/show?pid=1114 题目描述 近来,初一年的XXX小朋友致力于研究班上同学的配对问题(别想太多,仅是舞伴),通过各种推理和实验,他掌握了大量的实战经验.例如,据他观察,身高相近的人似乎比较合得来. 万圣节来临之际,XXX准备在学校策划一次大型的“非常男女”配对活动.对于这次活动的参与者,XXX有自己独特的选择方式.他希望能选择男女人数相等且身高都很接近的一些人.这种选择方式实现起来很简单.…

P3372 [模板]线段树 1 153通过 525提交 题目提供者HansBug 标签 难度普及+/提高 提交  讨论  题解 最新讨论 [模板]线段树1(AAAAAAAAA- [模板]线段树1 洛谷评测机出问题了吗? 题目描述 如题,已知一个数列,你需要进行下面两种操作: 1.将某区间每一个数加上x 2.求出某区间每一个数的和 输入输出格式 输入格式: 第一行包含两个整数N.M,分别表示该数列数字的个数和操作的总个数. 第二行包含N个用空格分隔的整数,其中第i个数字表示数列第i项的初始值. 接…

挺神奇 题目描述 动物王国中有三类动物 A,B,C,这三类动物的食物链构成了有趣的环形.A 吃 B,B 吃 C,C 吃 A. 现有 N 个动物,以 1 - N 编号.每个动物都是 A,B,C 中的一种,但是我们并不知道 它到底是哪一种. 有人用两种说法对这 N 个动物所构成的食物链关系进行描述: 第一种说法是“1 X Y”,表示 X 和 Y 是同类. 第二种说法是“2 X Y”,表示 X 吃 Y . 此人对 N 个动物,用上述两种说法,一句接一句地说出 K 句话,这 K 句话有的是真 的,有的是…

洛谷的测试数据貌似有问题,4个点RE不可避 CODEVS可AC —————— 10分钟后追记:在洛谷把数组范围开到10000+就过了 —————— 题目描述 Description Ural大学有N个职员,编号为1~N.他们有从属关系,也就是说他们的关系就像一棵以校长为根的树,父结点就是子结点的直接上司.每个职员有一个快乐指数.现在有个周年庆宴会,要求与会职员的快乐指数最大.但是,没有职员愿和直接上司一起与会. 输入描述 Input Description 第一行一个整数N.(1<=N<=60…

题目描述 公元五八○一年,地球居民迁移至金牛座α第二行星,在那里发表银河联邦 创立宣言,同年改元为宇宙历元年,并开始向银河系深处拓展. 宇宙历七九九年,银河系的两大军事集团在巴米利恩星域爆发战争.泰山压 顶集团派宇宙舰队司令莱因哈特率领十万余艘战舰出征,气吞山河集团点名将杨 威利组织麾下三万艘战舰迎敌. 杨威利擅长排兵布阵,巧妙运用各种战术屡次以少胜多,难免恣生骄气.在 这次决战中,他将巴米利恩星域战场划分成30000列,每列依次编号为1, 2, …, 30000.之后,他把自己的战舰也依次编号…

洛谷P1017 进制转换 题目描述 我们可以用这样的方式来表示一个十进制数: 将每个阿拉伯数字乘以一个以该数字所处位置的(值减1)为指数,以10为底数的幂之和的形式.例如:123可表示为 \(1*10^2+2*10^1+3*10^0\) 这样的形式. 与之相似的,对二进制数来说,也可表示成每个二进制数码乘以一个以该数字所处位置的(值-1)为指数,以2为底数的幂之和的形式.一般说来,任何一个正整数R或一个负整数-R都可以被选来作为一个数制系统的基数.如果是以R或-R为基数,则需要用到的数码为 0,…

P1519 穿越栅栏 Overfencing 69通过 275提交 题目提供者该用户不存在 标签USACO 难度普及/提高- 提交  讨论  题解 最新讨论 USACO是100分,洛谷是20分 为什么只有十分 题目描述 描述 农夫John在外面的田野上搭建了一个巨大的用栅栏围成的迷宫.幸运的是,他在迷宫的边界上留出了两段栅栏作为迷宫的出口.更幸运的是,他所建造的迷宫是一个"完美的"迷宫:即你能从迷宫中的任意一点找到一条走出迷宫的路.给定迷宫的宽度W(1<=W<=38)及高度…