奇异值分解(Singular Value Decomposition,以下简称SVD)是在机器学习领域广泛应用的算法,它不光可以用于降维算法中的特征分解,还可以用于推荐系统,以及自然语言处理等领域.是很多机器学习算法的基石.本文就对SVD的原理做一个总结,并讨论在在PCA降维算法中是如何运用运用SVD的. 1. 回顾特征值和特征向量 我们首先回顾下特征值和特征向量的定义如下:$$Ax=\lambda x$$ 其中A是一个$n \times n$的矩阵,$x$是一个$n$维向量,则我们说$\lam…

SVD奇异值分解: SVD是一种可靠的正交矩阵分解法.可以把A矩阵分解成U,∑,VT三个矩阵相乘的形式.(Svd(A)=[U*∑*VT],A不必是方阵,U,VT必定是正交阵,S是对角阵<以奇异值为对角线,其他全为0>)  用途:  信息检索(LSA:隐性语义索引,LSA:隐性语义分析),分解后的奇异值代表了文章的主题或者概念,信息检索的时候同义词,或者说同一主题下的词会映射为同一主题,这样就可以提高搜索效率 数据压缩:通过奇异值分解,选择能量较大的前N个奇异值来代替所有的数据信息,这样可以降低…

一基本知识 A是一个m*n的矩阵,那么A的SVD分解为\(A_{mn} = U_{mm}\Sigma _{mn}V^T_{nn}\),其中\(U^TU = I\),\(V^TV = I\),UV的列向量是矩阵\(A^TA\)的特征向量,V的列向量是矩阵\(AA^T\)的特征向量,\(\Sigma\)只在对角线上有非零元素,称为A的奇异值(Singular value),并按照降序排列,并且值为\(A^TA\)的特征值的算术平方根.SVD的分解不唯一. 我们知道实对称阵必正交相似于对角矩阵.这里假…

很多文章说到奇异值分解的时候总是大概罗列下它的功能,并没有对功能及物理意义进行过多的阐述,现在我来对奇异值进行整理一下. 一 奇异值分解 对任意的矩阵A∈Fmn,rank(A)=r(矩阵的秩),总可以取A的如下分解:,其中U和V是正交矩阵.分别为左右奇异值向量. U是m×m阶酉矩阵:Σ是m×n阶非负实数对角矩阵:而V*,即V的共轭转置,是n×n阶酉矩阵.这样的分解就称作M的奇异值分解.Σ对角线上的元素Σii即为M的奇异值. V的列(columns)组成一套对M的正交"输入"或"…

Today we have learned the Matrix Factorization, and I want to record my study notes. Some kownledge which I have learned before is forgot...(呜呜) 1.Terminology 单位矩阵:identity matrix 特征值:eigenvalues 特征向量:eigenvectors 矩阵的秩:rank 对角矩阵:diagonal matrix 对角化矩阵…

一.一些概念 线性相关:其中一个向量可以由其他向量线性表出. 线性无关:其中一个向量不可以由其他向量线性表出,或者另一种说法是找不到一个X不等于0,能够使得AX=0.如果对于一个矩阵A来说它的列是线性无关的,则AX=0,只有0解,此时矩阵A可逆. 秩:线性无关向量个数. 基: 特征向量:向量X经过矩阵A旋转后,与原来的X共线,.即为特征值,表示向量的伸缩.如果把矩阵看成进行线性变化的矩阵(旋转,拉伸),那么特征向量就是这样一种向量,它经过这种特定的变换后保持方向不变,只是进行长度上的伸缩而已.反…

协同过滤(collaborative filtering) 推荐系统: 百度百科的定义是:它是利用电子商务网站向客户提供商品信息和建议,帮助用户决定应该购买什么产品,模拟销售人员帮助客户完成购买过程主要有有以下几种推荐的方式: 基于内容的推荐 协同过滤 关联推荐 混合推荐 协同过滤 这里我们主要考虑的是协同过滤,这也是最经典的推荐算法.协同过滤的思想很简单,就是像我们平时需要找一部好看的电影最简单的方式就是找兴趣相同的人推荐. 相似度计算: 相似度的计算主要有以下几种方法: 基于欧氏距离 相似度…

SVD(Singular Value Decomposition,奇异值分解) 算法优缺点: 优点:简化数据,去除噪声,提高算法结果 缺点:数据的转换可能难于理解 适用数据类型:数值型数据 算法思想: 很多情况下,数据的一小部分包含了数据的绝大部分信息,线性代数中有很多矩阵的分解技术可以将矩阵表示成新的易于处理的形式,不同的方法使用与不同的情况.最常见的就是SVD,SVD将数据分成三个矩阵U(mm),sigma(mn),VT(nn),这里得到的sigma是一个对角阵,其中对角元素为奇异值,并且它…

在很多线性代数问题中,如果我们首先思考若做SVD,情况将会怎样,那么问题可能会得到更好的理解[1].                                       --Lloyd N. Trefethen & David Bau, lll 为了讨论问题的方便以及实际中遇到的大多数问题,在这里我们仅限于讨论实数矩阵,注意,其中涉及到的结论也很容易将其扩展到复矩阵中(实际上,很多教材采用的是复矩阵的描述方式),另外,使用符号 x,y 等表示向量,A,B,Q等表示矩阵. 首先给出正交矩阵…

PS:一直以来对SVD分解似懂非懂,此文为译文,原文以细致的分析+大量的可视化图形演示了SVD的几何意义.能在有限的篇幅把这个问题讲解的如此清晰,实属不易.原文举了一个简单的图像处理问题,简单形象,真心希望路过的各路朋友能从不同的角度阐述下自己对SVD实际意义的理解,比如 个性化推荐中应用了SVD,文本以及Web挖掘的时候也经常会用到SVD. 原文:We recommend a singular value decomposition 简介 SVD实际上是数学专业内容,但它现在已经渗入到不同的领…