这部分矩阵运算的知识是三维重建的数据基础. 矩阵分解 求解线性方程组:,其解可以表示为. 为了提高运算速度,节约存储空间,通常会采用矩阵分解的方案,常见的矩阵分解有LU分解.QR分解.Cholesky分解.Schur分解.奇异分解等.这里简单介绍几种. LU分解:如果方阵A是非奇异的,LU分解总可进行.一个矩阵可以表示为一个交换下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘机.更整洁的形式是:一个矩阵可以表示为一个上三角矩阵和一个下三角矩阵以及一个置换矩阵的形式,即: 从而方程的解可以表示为 QR分解:矩阵可以…

最近想写一篇系列博客比较系统的解释一下 SLAM 中运用到的优化理论相关内容,包括线性最小二乘.非线性最小二乘.最小二乘工具的使用.最大似然与最小二 乘的关系以及矩阵的稀疏性等内容.一方面是督促自己对这部分知识进行总结,另一方面也希望能够对其他人有所帮助.由于内容比较多希望能够坚持写完. 本篇博客主要讲解线性最小二乘问题,主要包括以下内容: 最小二乘问题的定义 正规方程求解 乔姆斯基分解法求解 QR分解法求解 奇异值分解法求解 齐次方程的最小二乘 一. 问题的定义 最小二乘问题通常可以表述为,通…

SVD 分解是线性代数的一大亮点. 1. SVD 分解 \(A\) 是任意的 \(m×n\) 矩阵,它的秩为 \(r\),我们要对其进行对角化,但不是通过 \(S^{-1}A S\).\(S\) 中的特征向量有三个大问题:它们通常不是正交的:并不总是有足够的特征向量:\(Ax=\lambda x\) 需要 \(A\) 是一个方阵.\(A\) 的奇异向量很好地解决了上述所有问题. 代价是我们需要两组奇异向量,一组是 \(\boldsymbol{u}\), 一组是 \(\boldsymbol{v}\…

投影矩阵广泛地应用在数学相关学科的各种证明中,但是由于其概念比较抽象,所以比较难理解.这篇文章主要从最小二乘法的推导导出投影矩阵,并且应用SVD分解,写出常用的几种投影矩阵的形式. 问题的提出 已知有一个这样的方程组: \[Ax=b\] 其中,\(A \in R^{m \times n},x,b \in R^n\) 当\(m=n\)时,且\(rank(A)=n\)时,这是一个适定方程组,有唯一解\(x=A^{-1}b\) 当\(m<n\)时,或者\(rank(A)<n\)时,这是一个欠定方程组…

前面我们讲了 QR 分解有一些优良的特性,但是 QR 分解仅仅是对矩阵的行进行操作(左乘一个酉矩阵),可以得到列空间.这一小节的 SVD 分解则是将行与列同等看待,既左乘酉矩阵,又右乘酉矩阵,可以得出更有意思的信息.奇异值分解( SVD, Singular Value Decomposition ) 在计算矩阵的伪逆( pseudoinverse ),最小二乘法最优解,矩阵近似,确定矩阵的列向量空间,秩以及线性系统的解集空间都有应用. 1. SVD 的形式 对于一个任意的 m×n 的矩阵 A,S…

版权声明: 本文由LeftNotEasy发布于http://leftnoteasy.cnblogs.com, 本文可以被全部的转载或者部分使用,但请注明出处,如果有问题,请联系wheeleast@gmail.com 前言: 上一次写了关于PCA与LDA的文章,PCA的实现一般有两种,一种是用特征值分解去实现的,一种是用奇异值分解去实现的.在上篇文章中便是基于特征值分解的一种解释.特征值和奇异值在大部分人的印象中,往往是停留在纯粹的数学计算中.而且线性代数或者矩阵论里面,也很少讲任何跟特征值与奇异…

title: [线性代数]6-7:SVD分解(Singular Value Decomposition-SVD) categories: Mathematic Linear Algebra keywords: Singular Value Decomposition JPEG Eigenvalues Eigenvectors toc: true date: 2017-11-30 09:02:19 Abstract: 本文介绍SVD,奇异值分解,应该可以算是本章最后的高潮部分了,也是在机器学习中我…

http://www.bfcat.com/index.php/2012/03/svd-tutorial/ SVD分解(奇异值分解),本应是本科生就掌握的方法,然而却经常被忽视.实际上,SVD分解不但很直观,而且极其有用.SVD分解提供了一种方法将一个矩阵拆分成简单的,并且有意义的几块.它的几何解释可以看做将一个空间进行旋转,尺度拉伸,再旋转三步过程. 首先来看一个对角矩阵, 几何上, 我们将一个矩阵理解为对于点 (x, y) 从一个平面到另一个平面的映射: 下图显示了这个映射的效果: 平面被横向…

SVD分解 SVD分解是LSA的数学基础,本文是我的LSA学习笔记的一部分,之所以单独拿出来,是因为SVD可以说是LSA的基础,要理解LSA必须了解SVD,因此将LSA笔记的SVD一节单独作为一篇文章.本节讨论SVD分解相关数学问题,一个分为3个部分,第一部分讨论线性代数中的一些基础知识,第二部分讨论SVD矩阵分解,第三部分讨论低阶近似.本节讨论的矩阵都是实数矩阵. 基础知识 1. 矩阵的秩:矩阵的秩是矩阵中线性无关的行或列的个数 2. 对角矩阵:对角矩阵是除对角线外所有元素都为零的方阵 3.…

SVD分解 只有非方阵才能进行奇异值分解 SVD分解:把矩阵分解为 特征向量矩阵+缩放矩阵+旋转矩阵 定义 设\(A∈R^{m×n}\),且$ rank(A) = r (r > 0) $,则矩阵A的奇异值分解(SVD)可表示为 \(A = UΣV^T = U\begin{bmatrix} \sum &0\\ 0&0 \end{bmatrix}V = σ_1u_1v^T_1+σ_2u_2v^T_2+σ_ru_rv^T_r \qquad s.t.:U 和V都为正交矩阵\) 几何含义 A矩…