浅谈扩展欧几里得(扩展GCD)算法 本篇随笔讲解信息学奥林匹克竞赛中数论部分的扩展欧几里得算法.为了更好的阅读本篇随笔,读者最好拥有不低于初中二年级(这是经过慎重考虑所评定的等级)的数学素养.并且已经学会了学习这个算法的前置知识:欧几里得算法. 对于对欧几里得算法还有知识模糊的读者,请不要担心,这里为你准备了前导知识讲解,请移步至本蒟蒻的另两篇博客: 浅谈GCD 求最大公约数的方式 裴蜀定理 裴蜀定理的概念及证明 因为翻译版本的不同,这个定理可能还会被叫做贝祖定理.\(B\acute{e}zou…

先感谢参考文献:http://www.cnblogs.com/frog112111/archive/2012/08/19/2646012.html 注:以下讨论的数均为整数 一.欧几里得算法(重点是证明,对后续知识有用) 欧几里得算法,也叫辗转相除,简称 gcd,用于计算两个整数的最大公约数 定义 gcd(a,b) 为整数 a 与 b 的最大公约数 引理:gcd(a,b)=gcd(b,a%b) 证明: 设 r=a%b , c=gcd(a,b) 则 a=xc , b=yc , 其中x , y互质…

欧几里得算法 欧几里得算法基于的性质: 若\(d|a, a|b\),则\(d|(ax+by)\) \((a,b)=(b,a~mod~b)\) 第二条性质证明: \(\because a~mod~b=a-\lfloor \frac{a}{b} \rfloor\times b\),令\(c=\lfloor \frac{a}{b} \rfloor\) 则问题等价于证明\((a,b)=(b,a-c\times b)\) 这个证明方法就和裴蜀定理的证明差不多. 证明:令\(d=gcd(a,b)\),则\(…

欧几里得算法: 1.定义:gcd的意思是最大公约数,通常用扩展欧几里得算法求 原理:gcd(a, b)=gcd(b, a%b) 2.证明: 令d=gcd(a, b)  =>  a=m*d,b=n*d 则m*d=t*n*d+a%b  =>  a%b=d*(m-t*n) gcd(b, a%b)=gcd(n*d, (m-t*n)*d) 令gcd(n, m-t*n)=e  =>  n=x*e,m-t*n=y*e 则m-x*e*n=y*e  =>  m=e*(x*n+y) 由gcd(n, m…

在讲解扩展欧几里得之前我们先回顾下辗转相除法: \(gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)\)当a%b==0的时候b即为所求最大公约数 好了切入正题: 简单地来说exgcd函数求解的是\(ax+by=gcd(a,b)\)的最小正整数解.根据数论的相关知识,一定存在一组解\(x,y\)使得\(ax+by=gcd(a,b)\).那就来谈谈具体如何来求解吧. 根据辗转相除法的内容\(gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)\)我们可以得到:\[ax_1+by_1=gcd(a,b)=gcd(b,a\%…

有这样的问题: 给你两个整数数$(a,b)$,问你整数$x$和$y$分别取多少时,有$ax+by=gcd(x,y)$,其中$gcd(x,y)$表示$x$和$y$的最大公约数. 数据范围$a,b≤10^{18}$. 求解这个问题有一种方法,叫做扩展欧几里得算法(简称扩欧),其本质是一个递归求解的过程. 首先由一个前置的结论是$gcd(x,y)=gcd(y,x\%y)$.此处的$\%$为$c++$中取模操作,下同. 我们不妨设$a>b$ 当$a≠0,b=0$时,则显然有$x=1,y=0$.此时$gc…

@(学习笔记)[扩展欧几里得] 本以为自己学过一次的知识不会那么容易忘记, 但事实证明, 两个星期后的我就已经不会做扩展欧几里得了...所以还是写一下学习笔记吧 问题概述 求解: \[ax + by = (a, b)\] Hint: \((a, b)\)表示\(gcd(a, b)\) 分析解决 根据欧几里得算法(辗转相除法), \[(a, b) = (b, a \% b)\] 所以有\[ax + by = (a, b) = (b, a \% b) = bx' + (a \% b)y'\] 故我们…

一.前言 本博客适合已经学会欧几里得算法的人食用~~~ 二.扩展欧几里得算法 为了更好的理解扩展欧几里得算法,首先你要知道一个叫做贝祖定理的玄学定理: 即如果a.b是整数,那么一定存在整数x.y使得$ax+by=gcd(a,b)$. 通俗的说就是:如果$ax+by=c$有解,那么$c\%gcd(a,b)=0$ 扩展欧几里得算法就是来求解$ax+by=c$这个方程的(判断有无解仅需使用欧几里得算法即可). 我们不妨从递归到底的情况来入手. 当$b==0$时,显然有: $\begin{cases}x…

0.前言 相信大家对于欧几里得算法都已经很熟悉了.再学习数论的过程中,我们会用到扩展欧几里得算法(exgcd),大家一定也了解过.这是本蒟蒻在学习扩展欧几里得算法过程中的思考与探索过程. 1.Bézout定理 扩展欧几里得算法利用归纳法,证明了Bézout定理. Bézout定理:对于任意整数 \(a\),\(b\) ,存在一对整数 \(x\),\(y\),满足 \(ax+by=gcd(a,b)\) 在扩展欧几里得的算法中,我们求出 \(x\),\(y\) 的值. 2.证明 2.1 \(gcd\…

Bezout定理: 对于任意整数a,b,存在一对整数x,y满足:a*x+b*y=gcd(a,b) 证明如下: 在欧几里得算法的最后一步:b=0,即:gcd(a,0)=a 对于b>0,根据欧几里得算法gcd(a,b)=gcd(b,a%b).假设存在一对x,y满足:b*x+(a%b)*y=gcd(b,a%b) 因为b*x+(a%b)*y=b*x+(a-b*(a/b))*y=a*y+b*(x-(a/b)*y)   //规定这里和下一行的除号'/'是向下取整. 所以令x'=y,y'=x-(a/b)*y,…