题意 给你 \(n\) 个点的无向完全图,指定一棵树 \(S\),问有多少棵生成树和这棵树的公共边数量为 \(k\in[0,n-1]\) \(n\leq 100\) 分析 考虑矩阵树定理,把对应的树边的边权设置成 \(x\) 然后构造基尔霍夫矩阵, 结果记为 \(val\) ,有 \[val=\sum_\limits{i=0}^{n-1}x^ians_i\] 其中 \(ans_i\) 表示和 \(S\) 的公共边数量为 \(i\) 的生成树的个数. 发现这是一个关于 \(x\) 的多项式,我们要…

In some countries building highways takes a lot of time... Maybe that's because there are many possiblities to construct a network of highways and engineers can't make up their minds which one to choose. Suppose we have a list of cities that can be c…

题目链接 BZOJ4031 题解 第一眼:这不裸的矩阵树定理么 第二眼:这个模\(10^9\)是什么鬼嘛QAQ 想尝试递归求行列式,发现这是\(O(n!)\)的.. 想上高斯消元,却又处理不了逆元这个东西.. 无奈去翻题解,,, 发现可以用类似辗转相除法去消,而避免除法,,, 这样子依旧是每次一行减去另一行乘一个数,行列式不变 orz #include<algorithm> #include<iostream> #include<cstring> #include<…

传送门:https://www.luogu.org/problemnew/show/P3317 这道题的推导公式还是比较好理解的,但是由于这个矩阵是小数的,要注意高斯消元方法的使用: #include <algorithm> #include <iterator> #include <iostream> #include <cstring> #include <cstdlib> #include <iomanip> #include…

正题 题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/CF917D 题目大意 给出\(n\)个点的一棵树,对于每个\(k\)求有多少个\(n\)个点的树满足与给出的树恰好有\(k\)条边重合. 解题思路 矩阵树有一个统计所有树边权和的和用法,就是把变量变成一个形如\(wx+1\)的多项式,这样一次项系数的值就表示了固定选择一条边的\(w\)时其他边的方案数之和. 这题我们可以同理,对于在给出数上的边是\(x\),而其他就是\(1\).那么最后询问\(x^k\)的系数就…

qwq 这个题目真的是很好的一个题啊 qwq 其实一开始想这个题,肯定是无从下手. 首先,我们会发现,对于无向图的一个最小生成树来说,只有当存在一些边与内部的某些边权值相同的时候且能等效替代的时候,才会有多种最小生成树. 那我们不妨对于原图先随意求一个最小生成树,然后对于出现在最小生成树上的每个权值计算贡献. 我们每次删除所有该权值的边,然后把剩下的点能缩点的进行缩点(用并查集来维护) 然后,我们构造一个联通块的拉普拉斯矩阵.也就是说,加入所有的在图中的,权值为该值的边.然后我们只需要求能重新构…

给出两幅 \(n(\leq 400)\) 个点的无向图 \(G_1 ,G_2\),对于 \(G_1\) 的每一颗生成树,它的权值定义为有多少条边在 \(G_2\) 中出现.求 \(G_1\) 所有生成树的权值和. Solution 很容易想到,设 \(G_1\) 中每条边的权值,这条边在 \(G_2\) 中出现则权值为 \(1\),否则权值为 \(0\). 现在就真的是求所有生成树的边权和的权值和了. 然而标准的 Matrix-Tree Theorem 求的是生成树的边权积的和. 现在我们定义每…

题解看这里,主要想说一下以前没见过的变元矩阵树还有前几个题见到的几个小细节. 邻接矩阵是可以带权值的.求所有生成树边权和的时候我们有一个基尔霍夫矩阵,是度数矩阵减去邻接矩阵.而所谓变元矩阵树实际上就是把度数矩阵和邻接矩阵带权化,也就是度数矩阵变成该点连接的所有边的权值和,邻接矩阵变成边权矩阵,剩下的依然是求一个行列式.变元矩阵树求的是所有可能生成树的边权之积. 值得注意的点: 交换两行,行列式取反.在\(double\)存矩阵的时候可以最后取对角线乘积的绝对值,但如果答案要取膜就需要套上一个辗转…

矩阵树定理裸题 //#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> #include <cmath> #define R(a,b,c) for(register int a = (b); a <= (c); ++ a) #define nR(a,b,c) for(register int a = (b); a >= (c); -…

[题目分析] Matrix-Tree定理+高斯消元 求矩阵行列式的值,就可以得到生成树的个数. 至于证明,可以去看Vflea King(炸树狂魔)的博客 [代码] #include <cmath> #include <cstdio> #include <cstring> #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; #define eps 1e-8 #define ma…