今天是钟皓曦老师的讲授~~ 总结了一下今天的内容: 数论!!! 1.整除性 2.质数 定义: 性质:  3.整数分解定理——算数基本定理 证明: 存在性: 设N是最小不满足唯一分解定理的整数 (1)  若N为质数,则N=N¹,所以N不存在: (2)  若N为合数,则N=P*(N/P),因为N/P也是不满足定理的整数 所以与N是不满足定理的最小整除相矛盾 所以N不存在 唯一性: 4.素数的判定 (注:s.t.是“使得”的意思) 根据钟神长者的小学经验:取2,3,5,7,13,29,37,89这8个

目录 正文 引入 大数翻倍法 复杂度证明 大数翻倍法的优势 最后的最后:上代码! 注:做法和思路是 zhx 在一次讲课中提出的,如有侵权,请联系作者删除 其实别的题解也有提到过暴力做法,但这里将会给出更加严谨的复杂度的证明 正文 引入 我们知道,中国剩余定理是一种用来求解类似于 \[\begin{cases} x \equiv a_1 \pmod {m_1} \\ x \equiv a_2 \pmod {m_2} \\ x \equiv a_3 \pmod {m_3} \\ ... \\ x \

中国剩余定理(CRT) 中国剩余定理出自中国的某本古书,似乎是孙子兵法?(雾 其中有这样一个问题: 有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二.问物几何? 即,对于这样一个方程组: \[ \begin{cases}x\equiv a_1\pmod{m_1}\\x\equiv a_2\pmod{m_2}\\x\equiv a_3\pmod{m_3}\\\dots\\x\equiv a_i\pmod{m_i}\end{cases} \] 我们已知所有\(a_i,m_i\),求可行解\(x

一.除法取模逆元 如果我们要通过一个前面取过模的式子递推出其他要取模的式子,而递推式里又存在除法 那么一个很尴尬的事情出现了,假如a[i-1]=100%31=7 a[i]=(a[i-1]/2)%31 a[i]=50%31=19 ,但我们现在只知道a[i-1]=7,如何计算出a[i]=19呢? a[i]=(7/2)%31=3? 其实本来是100是整除2的,但是对31取模后就不能整除了,所以我们要求出在mod 31意义下2的逆元是多少 口算可得,2*16%31=1,所以2的逆元就是16,所以a[i]

题目链接:BZOJ - 3129 题目分析 使用隔板法的思想,如果没有任何限制条件,那么方案数就是 C(m - 1, n - 1). 如果有一个限制条件是 xi >= Ai ,那么我们就可以将 m 减去 Ai - 1 ,相当于将这一部分固定分给 xi,就转化为无限制的情况了. 如果有一些限制条件是 xi <= Ai 呢?直接来求就不行了,但是注意到这样的限制不超过 8 个,我们可以使用容斥原理来求. 考虑容斥:考虑哪些限制条件被违反了,也就是说,有哪些限制为 xi <= Ai 却是 xi

题目链接:hdu_5768_Lucky7 题意: 给你一个区间,问你这个区间内是7的倍数,并且满足%a[i]不等于w[i]的数的个数 乍一看以为是数位DP,仔细看看条件,发现要用中国剩余定理,然后容斥一下就出答案了,不过这里在中国剩余定理里面的乘法会有数据爆long long ,所有要写一个高精度乘法,这里卡死很多人. #include <bits/stdc++.h> #define F(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++) using namespace std;

问题描述 人自出生起就有体力,情感和智力三个生理周期,分别为23,28和33天.一个周期内有一天为峰值,在这一天,人在对应的方面(体力,情感或智力)表现最好.通常这三个周期的峰值不会是同一天.现在给出三个日期,分别对应于体力,情感,智力出现峰值的日期.然后再给出一个起始日期,要求从这一天开始,算出最少再过多少天后三个峰值同时出现. 问题分析 首先我们要知道,任意两个峰值之间一定相距整数倍的周期.假设一年的第N天达到峰值,则下次达到峰值的时间为N+Tk(T是周期,k是任意正整数).所以,三个峰值同

POJ1006: 中国剩余定理的完美演绎   问题描述 人自出生起就有体力,情感和智力三个生理周期,分别为23,28和33天.一个周期内有一天为峰值,在这一天,人在对应的方面(体力,情感或智力)表现最好.通常这三个周期的峰值不会是同一天.现在给出三个日期,分别对应于体力,情感,智力出现峰值的日期.然后再给出一个起始日期,要求从这一天开始,算出最少再过多少天后三个峰值同时出现. 问题分析 首先我们要知道,任意两个峰值之间一定相距整数倍的周期.假设一年的第N天达到峰值,则下次达到峰值的时间为N+Tk

中国剩余定理 CRT 正常版本CRT 要解的是一个很容易的东西 \[ \begin{aligned} x\equiv a_1(mod\ m_1)\\ x\equiv a_2(mod\ m_2)\\ ...\\ x\equiv a_n(mod\ m_n) \end{aligned} \] 保证\(m_1,m_2...m_n\)之间两两互质,求最小的\(x\). 设\(M=\prod m_i\). 首先我们确定一点,我们求出了任意一个满足条件的\(x\)之后,只需要对其模\(M\)就是最终的答案.

题目描述 在ACM_DIY群中,有一位叫做“傻崽”的同学由于在数论方面造诣很高,被称为数轮之神!对于任何数论问题,他都能瞬间秒杀!一天他在群里面问了一个神题: 对于给定的3个非负整数 A,B,K 求出满足 (1) X^A = B(mod 2*K + 1) (2) X 在范围[0, 2K] 内的X的个数!自然数论之神是可以瞬间秒杀此题的,那么你呢? 输入 第一行有一个正整数T,表示接下来的数据的组数( T <= 1000) 之后对于每组数据,给出了3个整数A,B,K (1 <= A, B <

题目描述 n个人在w*h的监狱里面想要逃跑,已知他们的同伙在坐标(bi,h)接应他们,他们现在被关在(ai,1)现在他们必须要到同伙那里才有逃出去的机会,这n个人又很蠢只会从(x,y)->(x+1,y),(x,y+1)并且这他们走过的路径不能相交如果相交第一个经过后就会有第二个人经过时候就会有一名狱警在那等他,第二个人就会被抓,假设他们不会同时踩到某个格子,那么他们的逃跑路线有多少不同的方案数.如果两个方案不同那么存在一个人踩的格子至少有一个是另外一个方案的没踩过 输入 第一行一个t(t<=2

C - Chinese remainder theorem again Time Limit:1000MS     Memory Limit:32768KB     64bit IO Format:%I64d & %I64u Description 我知道部分同学最近在看中国剩余定理,就这个定理本身,还是比较简单的: 假设m1,m2,…,mk两两互素,则下面同余方程组: x≡a1(mod m1) x≡a2(mod m2) … x≡ak(mod mk) 在0<=<m1m2…mk内有唯一解

题目链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4767 题意:求集合{1, 2, 3, ..., n}有多少种划分情况bell[n],最后结果bell[n] mod 95041567. 分析:首先了解三个概念:贝尔数   第二类斯特灵数   中国剩余定理 贝尔数是指基数为n的集合的划分方法的数目. 贝尔数适合递推公式: 每个贝尔数都是"第二类Stirling数"的和 贝尔数满足两个公式:(p为质数)             1) B[n+

EXCRT 不保证模数互质 \[\begin{cases} x \equiv b_1\ ({\rm mod}\ a_1) \\ x\equiv b_2\ ({\rm mod}\ a_2) \\ ... \\ x \equiv b_n\ ({\rm mod}\ a_n)\end{cases}\] CRT戳这里 来一手数学归纳法 设已经求出前 \(k - 1\) 组的一个解 \(q\) 设 \(M = \prod_{i = 1}^{k - 1}a_{i}\) 我们知道前 \(k - 1\) 组的通解

题意:M=p1*p2*...pk:求C(n,m)%M,pi小于10^5,n,m,M都是小于10^18. pi为质数 M不一定是质数 所以只能用Lucas定理求k次 C(n,m)%Pi最后会得到一个同余方程组x≡B[0](mod p[0])x≡B[1](mod p[1])x≡B[2](mod p[2])......解这个同余方程组 用中国剩余定理 Sample Input19 5 23 5 Sample Output6 # include <iostream> # include <cst

https://vijos.org/p/1164 好赞orz. 对于求一组线性同余方程 x=a[i](mod m[i]) 这里任意两个m[i]和m[j]都互质 那么可以用中国剩余定理来做. 对中国剩余定理的理解:(转自matrix67神犇的blog:http://www.matrix67.com/blog/archives/5100) 最后一点可能需要一些解释.让我们来举些例子.假如有 1 路和 2 路两种公交车,其中 1 路车每 6 分钟一班,2 路车每 8 分钟一班.如果你刚刚错过两路公交车

中国剩余定理的非互质形式 任意n个表达式一对对处理,故只需处理两个表达式. x = a(mod m) x = b(mod n) km+a = b (mod n) km = (a-b)(mod n) 利用扩展欧几里得算法求出k k = k0(mod n/(n,m)) = k0 + h*n/(n,m) x = km+a = k0*m+a+h*n*m/(n,m) = k0*m+a (mod n*m/(n,m)) #include <cstdio> #include <cstring> #

一.求解模线性方程 由ax=b(mod n) 可知ax = ny + b 就相当于ax + ny = b 由扩展欧几里得算法可知有解条件为gcd(a, n)整除d 可以直接套用扩展欧几里得算法 最终由d个不同解时在模n下有d个不同的数字 二.中国剩余定理 证明可看:https://www.cnblogs.com/MashiroSky/p/5918158.html ll extgcd(ll a, ll b, ll& x, ll& y) //求解ax+by=gcd(a, b) //返回值为gc

扩展欧几里得算法 求逆元就不说了. ax+by=c 这个怎么求,很好推. 设d=gcd(a,b) 满足d|c方程有解,否则无解. 扩展欧几里得求出来的解是 x是 ax+by=gcd(a,b)的解. 对于c的话只需要x*c/gcd(a,b)%(b/d)即可,因为b/d的剩余系更小. 为什么这样呢? 设a'=a/d,b'=b/d 求出a'x+b'y=1的解,两边同时乘d,然后x也是ax+by=d的解, 然后因为b'的剩余系更小,所以%b’ 中国剩余定理是合并线性方程组的 中国余数定理 转化为一个线性

Biorhythms Time Limit: 1000MS   Memory Limit: 10000K Total Submissions: 139500   Accepted: 44772 Description Some people believe that there are three cycles in a person's life that start the day he or she is born. These three cycles are the physical,

题意:n件礼物,送给m个人,每人的礼物数确定,求方案数. 解题关键:由于模数不是质数,所以由唯一分解定理, $\bmod  = p_1^{{k_1}}p_2^{{k_2}}......p_s^{{k_s}}$ 然后,分别求出每个组合数模每个$p_i^{{k_i}}$的值,这里可以用扩展lucas定理求解,(以下其实就是扩展lucas定理的简略证明) 关于$C_n^m\% {p^k}$, $C_n^m = \frac{{n!}}{{m!(n - m)!}}$, 我们以$n=19,p=3,k=2$为