[BZOJ4805]欧拉函数求和(杜教筛) 题面 BZOJ 题解 好久没写过了 正好看见了顺手切一下 令\[S(n)=\sum_{i=1}^n\varphi(i)\] 设存在的某个积性函数\(g(x)\) \[(g*\varphi)(i)=\sum_{d|i}g(d)\varphi(\frac{i}{d})\] \[\sum_{i=1}^n(g*\varphi(i))(i)\] \[=\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}g(d)\varphi(\frac{i}{d})\] \[=\sum

1239 欧拉函数之和 基准时间限制:3 秒 空间限制:131072 KB 分值: 320 难度:7级算法题 收藏 关注 对正整数n,欧拉函数是小于或等于n的数中与n互质的数的数目.此函数以其首名研究者欧拉命名,它又称为Euler's totient function.φ函数.欧拉商数等.例如:φ(8) = 4(Phi(8) = 4),因为1,3,5,7均和8互质. S(n) = Phi(1) + Phi(2) + -- Phi(n),给出n,求S(n),例如:n = 5,S(n) = 1 +

[题意]给定n,求Σφ(i),n<=10^10. [算法]杜教筛 [题解] 定义$s(n)=\sum_{i=1}^{n}\varphi(i)$ 杜教筛$\sum_{i=1}^{n}(\varphi *I)(i)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}\varphi(d)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d=1}^{\frac{n}{i}}\varphi(d)$ 根据$id=\varphi*I$,$\sum_{i=1}^{n}(\varphi*I)(i)=\frac{i(i+1)

和上一题差不多,一个是μ*I=e,一个是φ*I=Id 稍改就得到了这题的代码 (我会告诉你我一开始逆元算错了吗) #include <bits/stdc++.h> #define MAX 5000000 #define MOD 1000000007 using namespace std; long long a,b,N; ],p[MAX],ans[MAX]; ]; long long work(long long n) { if(n<=MAX) return phi[n]; if(an

[51Nod 1244] - 莫比乌斯函数之和 求∑i=1Nμ(i)\sum_{i=1}^Nμ(i)∑i=1N​μ(i) 开推 ∑d∣nμ(d)=[n==1]\sum_{d|n}\mu(d)=[n==1]d∣n∑​μ(d)=[n==1] 移项 μ(d)=[n==1]−∑d∣n,d<nμ(d)∴S(N)=∑i=1Nμ(i)=∑i=1N([i==1]−∑d∣i,d<iμ(d))=1−∑i=1N∑d∣i,d<iμ(d)\mu(d)=[n==1]-\sum_{d|n,d<n}\mu(d)\

4805: 欧拉函数求和 Time Limit: 15 Sec  Memory Limit: 256 MBSubmit: 614  Solved: 342[Submit][Status][Discuss] Description 给出一个数字N,求sigma(phi(i)),1<=i<=N Input 正整数N.N<=2*10^9 Output 输出答案.   Sample Input 10 Sample Output 32 HINT   Source By FancyCoder   直

bzoj3944 题目描述 输入 一共T+1行 第1行为数据组数T(T<=10) 第2~T+1行每行一个非负整数N,代表一组询问 输出 一共T行,每行两个用空格分隔的数ans1,ans2 样例输入 6 1 2 8 13 30 2333 样例输出 1 1 2 0 22 -2 58 -3 278 -3 1655470 2 bzoj4805 同上,不需要求mu 题解 杜教筛 公式推导: 这里有一个难点(其实也不能算难),就是由枚举d|i到枚举j≤⌊n/i⌋.此时可以看作下面语句的i是上面语句的i/d,

做题重心转移到 LOJ 了. 至于为什么,如果你知道“……”的密码,就去看吧. LOJ 上用户自创题大多数都不可做,今天看到个可做题(而且还是个水题),就来做了一发. 明显枚举立方根.(以下令 $m=\lfloor\sqrt[3]{n}\rfloor$) $$\sum\limits_{i=1}^m\sum\limits_{j=i^3}^{\min(n,(i+1)^3-1)}\gcd(i,j)$$ 由于 $i=m$ 比较特殊,我们把它拎出来:(其实就是把 $\min$ 拆开) $$\sum\lim

https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4805 给出一个数字N,求sigma(phi(i)),1<=i<=N https://blog.csdn.net/popoqqq/article/details/45023331 ←杜教筛的一些讲解 杜教筛用来求积性函数前缀和,本题同bzoj 3944,bzoj 3944多了一个求sigma( μ ( i ) ) #include<iostream> #include<cstd

[BZOJ3944]Sum Description Input 一共T+1行 第1行为数据组数T(T<=10) 第2~T+1行每行一个非负整数N,代表一组询问 Output 一共T行,每行两个用空格分隔的数ans1,ans2 Sample Input 6 1 2 8 13 30 2333 Sample Output 1 1 2 0 22 -2 58 -3 278 -3 1655470 2 题解: 当i等于1时就是答案,剩余的部分递归算下去就行了(先预处理出1000000以内的答案,其余的答案要用

题目链接: 1239:http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1239 1244:http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1244 杜教筛裸题,不过现在我也只会筛这俩前缀和... $$s(n)=\sum _{i=1}^{n}f(i)$$ 那么就有: $$\sum_{i=1}^{n}f(i)\lfloor \frac{n}{i} \

1244 莫比乌斯函数之和 基准时间限制:3 秒 空间限制:131072 KB 分值: 320 难度:7级算法题 收藏 关注 莫比乌斯函数,由德国数学家和天文学家莫比乌斯提出.梅滕斯(Mertens)首先使用μ(n)(miu(n))作为莫比乌斯函数的记号.具体定义如下: 如果一个数包含平方因子,那么miu(n) = 0.例如:miu(4), miu(12), miu(18) = 0. 如果一个数不包含平方因子,并且有k个不同的质因子,那么miu(n) = (-1)^k.例如:miu(2), mi

题目链接 map: //杜教筛 #include<map> #include<cstdio> typedef long long LL; const int N=5e6; int mu[N+3],P[N+3],cnt; bool Not_P[N+3]; std::map<LL,LL> sum; //std::map<LL,LL>::iterator it; void Init() { mu[1]=1; for(int i=2;i<N;++i) { if

虽然都写了,过也过了,还是觉得杜教筛的复杂度好玄学 设f*g=h,∑f=S, 则∑h=∑f(i)S(n/i下取整) 把i=1时单独拿出来,得到 S(n)=(∑h-∑2->n f(i)S(n/i下取整) 右边的部分可以分块解决 递归一下,≤一个阈值的暴力表出来 注意阈值以上的也要记忆化 复杂度不会算,但从本题来看过1e10没问题 #include <bits/stdc++.h> #define MAX 5000000 using namespace std; long long a,b,N

跟1244差不多. //由于(x+1)没有先mod一下一直WA三个点我... //由于(x+1)没有先mod一下一直WA三个点我... #include<cstdio> #include<cstring> #include<cctype> #include<algorithm> using namespace std; #define rep(i,s,t) for(ll i=s;i<=t;i++) #define dwn(i,s,t) for(ll i

求$\sum_{i=1}^{n}\varphi (i)$,$n\leqslant 1e10$. 这里先把杜教筛的一般套路贴一下: 要求$S(n)=\sum_{i=1}^{n}f(i)$,而现在有一数论函数$g(i)$,$g(i)$的前缀和很无脑,且$f$和$g$的狄利克雷卷积的前缀和很无脑(太巧了吧..),那么由 $\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}f(d)g(\frac{i}{d})$ 闪一句,常用套路:设$i=kd$,转而枚举$k$. $=\sum_{k=1}^{n}g(k)\

[题目链接] https://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1239 [题目大意] 计算欧拉函数的前缀和 [题解] 我们知道积性函数∑(phi(d))=n(d|n) 所以∑∑(miu(d))=n*(n+1)/2(d|i){i=1}^{n} 因此我们得到F(n)=n*(n+1)/2-∑F(n/d){d=2}^{n} 同时用hash记忆化phi函数的前缀和 [代码] #include <cstdio> #include

题面 传送门 题解 话说--就一个杜教筛--刚才那道拿过来改几行就行了-- //minamoto #include<bits/stdc++.h> #define R register #define ll long long #define IT map<ll,int>::iterator #define fp(i,a,b) for(R int i=a,I=b+1;i<I;++i) #define fd(i,a,b) for(R int i=a,I=b-1;i>I;--

1220 约数之和 题意:求\(\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \sigma_1(ij)​\) \[ \sigma_0(ij) = \sum_{x\mid i}\sum_{y\mid j}[(x,y)=1]\\ \sigma_1(ij) = \sum_{x\mid i}\sum_{y\mid j}x\cdot\frac{j}{y}[(x,y)=1] \\ \] 怎么证明第二个式子? \[ \sigma_1(n) = \prod_i(1 + p_i + p_i^2 + ...

http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1239 还是模板题. 杜教筛:\[S(n)=\frac{n(n+1)}{2}-\sum_{i=2}^nS\left(\left\lfloor\frac ni\right\rfloor\right)\] 基于质因子分解的筛法:详见2016年论文<积性函数求和的几种方法>(讲得很详细的~~~) 为什么我写的洲哥筛常熟巨大QAQ 杜教筛\(O\left(n^{\frac 23

对正整数n,欧拉函数是小于或等于n的数中与n互质的数的数目.此函数以其首名研究者欧拉命名,它又称为Euler's totient function.φ函数.欧拉商数等.例如:φ(8) = 4(Phi(8) = 4),因为1,3,5,7均和8互质.   S(n) = Phi(1) + Phi(2) + ...... Phi(n),给出n,求S(n),例如:n = 5,S(n) = 1 + 1 + 2 + 2 + 4 = 10,定义Phi(1) = 1.由于结果很大,输出Mod 1000000007