一.定义: 卡特兰数是一组满足下面递推关系的数列: 二.变形: 首先,设h(n)为Catalan数的第n+1项,令h(0)=1,h(1)=1,Catalan数满足递推式: h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)*h(0) (n>=2) 可化简为1阶递推关系: h(n)=(4n-2)/(n+1)*h(n-1)  (n>=2) 想看证明的点这里:https://blog.csdn.net/guoyangfan_/article/details/82

编写一个算法,将非负的十进制整数转换为其他进制的数输出,10及其以上的数字从‘A’开始的字母表示. 要求: 1) 采用顺序栈实现算法: 2)从键盘输入一个十进制的数,输出相应的八进制数和十六进制数. #include "stdio.h" #define StackSize 100 typedef char ElemType; typedef struct { ElemType data[StackSize]; int top; }SqStack; int trans(int d, in

1.网格 转换模型,翻折容斥出解. 2.有趣的数列 抽象一下模型,把奇数项当作横坐标,偶数项当作纵坐标,就是从n*n矩阵左下角走到右上角并且每一步x<=y的方案数,发现是卡特兰数,关于gcd,可以线筛出质数,顺手处理每个数的最小质因子,从而快速得到每个数的唯一分解,从而约分. 3.树屋阶梯 把每放上一块后当前x的最大值和y的最大值想象成坐标点,这样是n*n矩阵从左下角走到右上角并且每一步x>=y的方案数,发现是卡特兰数,唯一分解约分高精乘. 4.数的计数 裸的prufer,注意各种特判即可.

首先说一下BSGS的一个坑点: 解方程A^x≡B(mod p) 需要特判一个东西=>A%p==B%p==0? 如果相等的话puts("1")反之则无解. 因为如果A%p=0,那么无法移项,导致BSGS算法的错误 进入正题: 一   卡特拉数(C(2*n,n)/(n+1))用于处理01序列里任意位置0的个数>1的情况.. 但知道定义没用,重要的是打表找规律. 善于用next_permutation,搜索等工具找出前几项. 记住卡特兰数的前几项:1 2 5 14 42 132

这道题是回溯算法,网上一查是卡特兰数先占上代码,题解过两天会写. #include <bits/stdc++.h> using namespace std; int main() { //freopen("de.txt","r",stdin); int n; while (~scanf("%d",&n)) { ; ;i<=n;++i) ans=*(*i-)*ans/(i+); cout<<ans<<

内容部分来自以下博客: Cyberspace_TechNode 邀月独斟 一个大叔 表示感谢! Catalan数的引入: 一个长度为2N的序列,里面有N个+1,N个-1 它的任意前缀和均非负,给定N,求有多少个这样的序列 2n个人排队买票,其中n个人持50元,n个人持100元.每张票50元,且一人只买一张票.初始时售票处没有零钱找零.请问这2n个人一共有多少种排队顺序,不至于使售票处找不开钱 可以发现这两个问题的本质是一样的(括号匹配问题),它们的答案都是卡特兰数 定义:令h(0)=1,h(1)

卡特兰数的含义: 说到卡特兰数,就不得不提及卡特兰数序列.卡特兰数序列是一个整数序列.其通项公式是我们从中取出的就叫做第n个卡特兰数数,前几个卡特兰数数是:1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, -运用卡特兰数能够解决很多实际问题上的计数问题 卡特兰数的几个基本性质以及变形公式:(提示括号一上n一下m表示n中选择m个的组合数) 1.-->> 2. 3. 4. 以上的推导公式为其基本性质总结,

1. 问题 给定一列数字数组 a[n], 求这个数组中最长的 "和>=0" 的子数组. (注: "子数组"表示下标必须是连续的. 另一个概念"子序列"则不必连续) 举个例子: 数组 a[n] = {1, 2, -4, 5, -6, 1}, 最长的和非负的子数组为 {1, 2, -4, 5}, 其他子数组要么和<0, 要么长度<4 2. 暴力法 我们先来看看暴力解法和时间复杂度 1. 如果我求出所有的数组前缀和 即P(i) = a

Catalan序列是一个整数序列,其通项公式是 h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,...) 其前几项为 : 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650,

涉及卡特兰数的题目列举,也是组合数学中一些例子: 详解链接 https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%A1%E5%A1%94%E5%85%B0%E6%95%B0 1. n个节点的二叉树有多少种形态? Cn表示有2n+1个节点组成不同构满二叉树(full binary tree)的方案数. 下图中,n等于3,圆形表示内部节点,月牙形表示外部节点.本质同上. 2. 矩阵链乘: P=a1×a2×a3×…×an,依据乘法结合律,不改变其顺序,只用括号表示成对的乘积,有几种

[CF896D]Nephren Runs a Cinema 题意:一个序列中有n格数,每个数可能是0,1,-1,如果一个序列的所有前缀和都>=0且总和$\in [L,R]$,那么我们称这个序列是合法的.求合法序列的个数%P. n,L,R<=100000,P<=2*10^9 题解:先不考虑0的数,那么总数显然就是卡特兰数的变形.我们将卡特兰数转换成在二维平面上,从(0,0)走到(a,b),且不越过直线x=y的方案数.因为每个越过x=y的方案都可以转化成从(-1,1)走到(a,b)的方案,所

[题意][COGS 2287][HZOI 2015]疯狂的机器人 [算法]FFT+卡特兰数+排列组合 [题解]先考虑一维的情况,支持+1和-1,前缀和不能为负数,就是卡特兰数的形式. 设C(n)表示第n/2个卡特兰数,当n为奇数时为0,即: $$C_n=\binom{n}{\frac{n}{2}}-\binom{n}{\frac{n}{2}-1},n\%2=0$$ 卡特兰数可以通过预处理阶乘和逆元后O(1)计算. 设f[n]表示走n步回到原点的操作序列数,那么答案要求所有f[i],通过枚举纵向行

一.卡特兰数(Catalan number) 1.定义 组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列(用c表示).以比利时的数学家欧仁·查理·卡特兰的名字来命名: 2.计算公式 (1)递推公式 c[n]=Σ(0≤k<n)c[k]c[n-k-1],边界条件为c[0]=1; 其递推解为c[n]=C(2n,n)/(n+1),即卡特兰数的通项公式,其中C表示数的组合: 根据组合公式我们可以化简得c[n]=2n(2n-1).....(n+2)/n!; (2)另类递推式 c[n]=c[n-1](4n-2)

[NOIP2003]栈 Description 宁宁考虑的是这样一个问题:一个操作数序列,从1,2,一直到n(图示为1到3的情况),栈A的深度大于n. 现在可以进行两种操作: 1.将一个数,从操作数序列的头端移到栈的头端(对应数据结构栈的push操作) 2.将一个数,从栈的头端移到输出序列的尾端(对应数据结构栈的pop操作) 使用这两种操作,由一个操作数序列就可以得到一系列的输出序列; 你的程序将对给定的n,计算并输出由操作数序列1,2,-,n经过操作可能得到的输出序列的总数. Solution

[题目链接] http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6084 [题目大意] 对于一个串S,当它同时满足如下条件时,它就是一个01偏串: 1.只由0和1两种符组成: 2.在S的每一个前缀中,0的个数不超过1的个数: 3.S中0的个数和1的个数相等. 现在给定01偏串S,请计算一下S在所有长度为n的01偏串中作为子串出现的次数的总和. 由于结果比较大,结果对1e9+7取余后输出. [题解] 我们发现01偏串实际上等价于合法括号序列, 在合法括号序列中取出

一.三个简单的问题 1.给定一串长为2n的01序列,其中0和1的数量相等,满足任意前缀中0的个数不少于1的个数,求序列的个数 2.给出一串长为n的序列,按顺序将他们进栈,随意出栈,求最后进出栈的方案 3.给定一个n个节点的二叉树,求二叉树有多少种(这里定义不同指树的形态不同) 这三个问题都有关catalan数 事实上关于Catalan的性质有关问题很多,这里只是比较针对的列出了几种. 二.求解问题1 稍微想一想及可以知道,问题1,2同构,问题3却好像不一样. 我们以问题1为例,推出卡特兰数的计算

Brackets Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65536/65536 K (Java/Others)Total Submission(s): 659    Accepted Submission(s): 170 Problem Description We give the following inductive definition of a “regular brackets” sequence: ● the

火车进出栈类问题详讲 & 卡特兰数应用 引题:火车进出栈问题 [题目大意] 给定 \(1\)~\(N\) 这\(N\)个整数和一个大小无限的栈,每个数都要进栈并出栈一次.如果进栈的顺序为 \(1,2,3,...,N\),那么可能的出栈序列有多少种? [关键词] 栈的思想 算法优化 卡特兰数 (Catalan number) [题解] \(\mathfrak{Chapter1}\) -- 暴力出奇迹 首先,从状态的角度出发思考,每一层解答树都有两个分支: 把下一个数进栈. 把当前栈顶的数出栈(如果

出处:http://blog.sina.com.cn/s/blog_6aefe4250101asv5.html 什么是Catalan数 说到Catalan数,就不得不提及Catalan序列,Catalan序列是一个整数序列,其通项公式是我们从中取出的就叫做第n个Catalan数,前几个Catalan数是:1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 3535767

题意:求n个1,m个-1组成的所有序列中,最大前缀之和. 首先引出这样一个问题:使用n个左括号和m个右括号,组成的合法的括号匹配(每个右括号都有对应的左括号和它匹配)的数目是多少? 1.当n=m时,显然答案为卡特兰数$C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n+1}$ 2.当n<m时,无论如何都不合法,答案为0 3.当n>m时,答案为$C_{n+m}^{n}-C_{n+m}^{n+1}$,这是一个推论,证明过程有点抽象,方法是把不合法的方案数等价于从(0,-2)移动到(n+m,n-m)的方案数,

卡特兰数的公式 递推公式1:$f(n)=\sum \limits_{i=0}^{n-1}f(i)*f(n-i-1)$ 递推公式2:$f(n)=\frac{f(n-1)*(4*n-2)}{n+1}$ 组合公式1:$f(n)=\frac{C_{2n}^{n}}{n+1}$ 组合公式2:$f(n)=C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1}$ 关于卡特兰数的题目 1. 有限制的网格方案数   eg网格 利用组合数的思想: 对于长N宽M的网格(下图2),方案数为 $C_{n+m}^{m}-C_{n+