引入: 组合数C(m,n)表示在m个不同的元素中取出n个元素(不要求有序),产生的方案数.定义式:C(m,n)=m!/(n!*(m-n)!)(并不会使用LaTex QAQ). 根据题目中对组合数的需要,有不同的计算方法. (1)在模k的意义下求出C(i,j)(1≤j≤i≤n)共n2 (数量级)个组合数: 运用一个数学上的组合恒等式(OI中称之为杨辉三角):C(m,n)=C(m-1,n-1)+C(m-1,n). 证明: 1.直接将组合数化为定义式暴力通分再合并.过程略. 2.运用组合数的含义:设m

哇,这道题真的好好,让我这个菜鸡充分体会到卢卡斯和欧拉函数的强大! 先把题意抽象出来!就是计算这个东西. p=999911659是素数,p-1=2*3*4679*35617 所以:这样只要求出然后再快速乘法就行了. 那好,怎么做呢? 有模运算的性质得到  然后就是卢卡斯原理. 先把卢卡斯原理放这里: void init(int mod){ //对mod取余后,一定小于mod,因此把mod的阶乘存起来就够用 f[] = ; ; i <= mod; i++){ f[i] = f[i - ] * i

卢卡斯定理 把n写成p进制a[n]a[n-1][n-2]…a[0],把m写成p进制b[n]b[n-1][n-2]…b[0],则C(n,m)与C(a[n],b[n])*C(a[n-1],b[n-1])*C(a[n-2],b[n-2])*…*C(a[0],b[0])模p同余 #include<iostream> #include<cstring> #include<cstdio> using namespace std; #define int long long int

扩展卢卡斯定理用于求如下式子(其中\(p\)不一定是质数): \[C_n^m\ mod\ p\] 我们将这个问题由总体到局部地分为三个层次解决. 层次一:原问题 首先对\(p\)进行质因数分解: \[p=\prod_i p_i^{k_i} \] 显然\(p_i^{k_i}\)是两两互质的,所以如果分别求出\(C_n^m\ mod\ p_i^{k_i}\),就可以构造出若干个形如\(C_n^m=a_i\ mod\ p_i^{k_i}\)的方程,然后用中国剩余定理即可求解. 层次二:组合数模质数幂

题解大部分都是递归实现的,给出一种非递归的形式 话说上课老师讲的时候没给代码,然后自己些就写成了这样 对于质数\(p\)给出卢卡斯定理: \[\tbinom{n}{m}=\tbinom{n \bmod p}{m \bmod p}\tbinom{\lfloor \frac{n}{p}\rfloor}{\lfloor \frac{m}{p} \rfloor}\pmod p \] 其实它还有另一种形式,虽然本质上没啥区别: \[\tbinom{n}{m}=\prod_{i=1}^k \tbinom{a

卢卡斯定理(模数较小,且是质数) 式子C(m,n)=C(m/p,n/p)*C(m%p,n%p)%p 至于证明(我也不会QAQ,只要记住公式也该就好了). 同时卢卡斯定理一般用于组合数取模上 1.首先当组合数取得模较大时,我们可以使用卢卡斯,也可以直接求 (只要数据范围不是很大,还能开得起数组,我们可以直接预处理出阶乘,逆元,需要时O(1)求,当然要是质数,不然只能现求). 2.当组合数的模很小时,我们只能用卢卡斯, 我们可以发现假如我们照旧求的话,可能有的阶乘直接被消成0了 这个时候直接用阶乘会

WLW是写博客的利器,支持离线.格式排版等,而且拥有众多的插件.博客园推荐了代码插入插件,但是没有提供WLW的公式编译插件.目前我的一般做法是:先在Word下使用MathType编辑好公式,然后将公式复制到WLW的本文中,总感觉有点麻烦. 简单学习了WLW插件的开发,决定自己开发一个WLW代码插入插件.比较简单,按照以下步骤,大家可以开发属于自己的公式插入插件. 首先,开发公式插入插件涉及两方面内容.一方面是公式的编辑,一般采用Latex数学排版,为了解析LaTex函数,我们需要Latex解析链

注意:版权所有,转载请注明出处 向word输入LaTeX公式,插件有很多,前面在使用的是一个叫做Aurora的插件,结果不是免费的,用了一段时间就要收费是,所以就不用了,从网上找到别人的介绍,可以使用TeXsword,下载使用了一下,还不错. (1) TeXsword是一个word的宏包,不用安装,解压好如下图所示: 然后把texsword.dot这个文件拷贝到C:\Users\你的用户名\AppData\Roaming\Microsoft\Word\STARTUP,这个文件夹下面,打开word

寻觅 最近的一个demo需要用到Latex公式在线编辑器,从搜索引擎一般会得到类似http://latex.codecogs.com/eqneditor/editor.php的结果,这个编辑器的问题在于使用成本高,并且界面不美观. 继续探寻,发现了wiris Editor: 支持mathml和latex: 那么就它了! 选型 首先,我们不会直接使用这个编辑器,只是在编辑公式的时候才使用,所以要选择合适的版本. 以前用过CKEditor,所以就这它了!选用java版本 我们的数据已经是latex的

[BZOJ4403]序列统计(组合数学,卢卡斯定理) 题面 Description 给定三个正整数N.L和R,统计长度在1到N之间,元素大小都在L到R之间的单调不降序列的数量.输出答案对10^6+3取模的结果. Input 输入第一行包含一个整数T,表示数据组数. 第2到第T+1行每行包含三个整数N.L和R,N.L和R的意义如题所述. 1≤N,L,R≤10^9,1≤T≤100,输入数据保证L≤R. Output 输出包含T行,每行有一个数字,表示你所求出的答案对10^6+3取模的结果. Samp

题目描述 给定\(n,m,p(1≤n,m,p≤10^5)\) 求 \(C_{n+m}^m mod p\) 保证\(P\)为\(prime\) \(C\)表示组合数. 一个测试点内包含多组数据. 输入输出格式 输入格式: 第一行一个整数\(T(T≤10)\),表示数据组数 第二行开始共\(T\)行,每行三个数\(n m p\),意义如上 输出格式: 共\(T\)行,每行一个整数表示答案. 输入输出样例 输入样例#1: 2 1 2 5 2 1 5 输出样例#1: 3 3 题解 卢卡斯定理模板题 卢卡

注意: 1 在博客中书写Latex公式时,需在公式两侧用$包括 2 大括号{ }在Latex有本身的含义,如果要输出为普通字符需要使用\{...\} 符号 公式 说明 $ \in $ \in 包含 $ \notin $ \notin 不包含 $ a^{i} $ a^{i}  上标 $ a_{i} $ a_{i}  下标 $ a_{m}^n $ a_{m}^n  上标和下标 $ a \qquad b $ a \qquad b 两个quad空格(两个m的宽度) $ a \quad b $ a \qu

做 PPT 用 Latex Beamer 毕竟还是太麻烦,Beamer 毕竟还是更适合学术性的,各种定义各种公式的那种,遇到要画各种图,插入各种图片,进行错综复杂的排版就比较棘手了. 最终还是 PowerPoint 更适合这类任务.然而它的公式编辑又太鸡肋,不美观倒在其次,编辑起来费劲才是最麻烦的.据说 Office 2016 已经支持 Latex 了,然而似乎不太好用. 于是试了一下一个叫 iguanaTex 的 PowerPoint 加载项,挺好用.但是用了一段时间后发现  \frac  这

最近需要在Cygwin平台下的Emacs Org mode中生成LaTeX数学公式的预览图片,从而得到图文并貌的笔记与任务管理文档.但当我执行org-toggle-latex-fragment命令后却出现了如下错误:  org-compile-file: File "/tmp/orgtex5473MjV.dvi" wasn’t produced. Please adjust ’dvipng’ part of ‘org-preview-latex-process-alist’. 根据提示

[数论]卢卡斯定理模板 洛谷P3807 >>>>题目 [题目] https://www.luogu.org/problemnew/show/P3807 [输入格式] 第一行一个整数T(T\le 10T≤10),表示数据组数 第二行开始共T行,每行三个数n m p,意义如上 [输出格式] 共T行,每行一个整数表示答案. [输入样例] 21 2 52 1 5 [输出样例] 33 >>>>分析 emmmm模板题还是不用分析了吧 卢卡斯定理解决的就是组合数C(n,m

题目描述 在一个\(k\)维空间中,每个整点被黑白染色.对于一个坐标为\((x_1,x_2,\ldots,x_k)\)的点,他的颜色我们通过如下方式计算: 如果存在一维坐标是\(0\),则颜色是黑色. 如果这个点是\((1,1,\ldots,1)\)(每一维都是\(1\)),这个点的颜色是白色 如果这个点的\(k\)个前驱(任取一维坐标减\(1\))中的白点有奇数个,那么这个点的颜色就是白色,否则就是黑色 给出一个\(k\)维超矩形,求这个矩形内的白点个数. \(k\leq 9,1\leq l_

题目描述 给你一个长度为\(n\)的数列\(a\),求有多少个长度\(\geq 2\)的不上升子序列\(a_{b_1},a_{b_2},\ldots,a_{b_k}\)满足 \[ \prod_{i=2}^k\binom{a_{b_{i-1}}}{a_{b_i}}\mod 2>0 \] 答案对\({10}^9+7\)取模. \(n\leq211985,a_i\leq 233333\) \(\forall i\neq j,a_i\neq a_j\) 题解 水题. 先忽略长度\(\geq 2\)这个条

卢卡斯定理 求\(C_m^n~mod~p\) 设\(m={a_0}^{p_0}+{a_1}^{p_1}+\cdots+{a_k}^{p_k},n={b_0}^{p_0}+{b_1}^{p_1}+\cdots+{b_k}^{p_k}\) 则\(C_m^n\equiv\prod{C_{a_i}^{b_i}}(mod~p)\) 扩展卢卡斯定理 好像这也不是什么定理,只是一个计算方法 计算\(C_m^n~mod~p\),其中\(p={p_1}^{q_1}\times{p_2}^{q_2}\times\c

洛谷题目传送门 蒟蒻惊叹于一道小小的数论题竟能涉及这么多知识点!不过,掌握了这些知识点,拿下这道题也并非难事. 题意一行就能写下来: 给定\(N,G\),求\(G^{\sum \limits _{d|N}C(N,d)}(\mod999911659)\) 乍一看,指数这么大,要怎么处理好呢?上费马小定理. 平时用费马小定理求逆元用多了,\(a^{p-2}\equiv inv(a)(\mod p)\),搞得蒟蒻差点忘了它原本的样子\(a^{p-1}=1(\mod p)\),那原式的指数\(\sum

[UOJ#275]组合数问题(卢卡斯定理,动态规划) 题面 UOJ 题解 数据范围很大,并且涉及的是求值,没法用矩阵乘法考虑. 发现\(k\)的限制是,\(k\)是一个质数,那么在大组合数模小质数的情况下可以考虑使用卢卡斯定理. 卢卡斯定理写出来是\(Lucas(n,m)=Lucas(n/K,m/K)*Lucas(n\%K,m\%K)\) 显然只要有任何一个\(Lucas(n\%K,m\%K)=C_{n\%K}^{m\%K}\)是\(K\)的倍数那么当前数就会是\(K\)的倍数.因为\(K\)是

[BZOJ4903][UOJ#300]吉夫特(卢卡斯定理,动态规划) 题面 UOJ BZOJ:给的UOJ的链接...... 题解 首先模的质数更小了,直接给定了\(2\).当然是卢卡斯定理了啊. 考虑一个组合数在什么情况下会是一个奇数.\(Lucas(n,m)\equiv Lucas(n/2,m/2)*Lucas(n\%2,m\%2)\).后面这个东西一共只有\(4\)种取值,我们大力讨论一下:\(C_{0}^0=1,C_{0}^1=0,C_1^0=1,C_1^1=1\).既然是一个奇数,证明\