FFT求卷积(多项式乘法) 卷积 如果有两个无限序列a和b,那么它们卷积的结果是:\(y_n=\sum_{i=-\infty}^\infty a_ib_{n-i}\).如果a和b是有限序列,a最低的项为a0,最高的项为an,b同理,我们可以把a和b超出范围的项都设置成0.那么可以得出:y0=a0b0,y1=a1b0+a0b1,y2=a0b2+a1b1+a2b0--,y(n+m)=a(n)b(m). 构造两个多项式A(x)和B(x): \(A=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_{n-1}

卷积 给定向量:, 向量和: 数量积(内积.点积): 卷积:,其中 例如: 卷积的最典型的应用就是多项式乘法(多项式乘法就是求卷积).以下就用多项式乘法来描述.举例卷积与DFT. 关于多项式 对于多项式,系数为,设最高非零系数为,则其次数就是,记作.任何大于的整数都是的次数界. 多项式的系数表达方式:(次数界为). 则多项式的系数向量即为. 多项式的点值表达方式:,其中各不相同,. 离散傅里叶变换(DFT) 离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform,DFT).在信号处

------------------------------------------本文只探讨多项式乘法(FFT)在信息学中的应用如有错误或不明欢迎指出或提问,在此不胜感激 多项式 1.系数表示法     一般应用最广泛的表示方式     用A(x)表示一个x-1次多项式,a[i]为$ x^i$的系数,则A(x)=$ \sum_0^{n-1}$ a[i] * $ x^i$ 仅利用这种方式求多项式乘法复杂度为O($ n^2$),不够优秀2.点值表示法     将n个互不相同的值$ x_0$...$

一,两种不同的求幂运算 求解x^n(x 的 n 次方) ①使用递归,代码如下: private static long pow(int x, int n){ if(n == 0) return 1; if(n == 1) return x; if(n % 2 == 0) return pow(x * x, n / 2); else return pow(x * x, n / 2) * x; } 分析: 每次递归,使得问题的规模减半.2到6行操作的复杂度为O(1),第7行pow函数里面的x*x操作

多项式 代码 const int nsz=(int)4e5+50; const ll nmod=998244353,g=3,ginv=332748118ll; //basic math ll qp(ll a,ll b){ ll res=1; for(;b;a=a*a%nmod,b>>=1)if(b&1)res=res*a%nmod; return res; } ll inv(ll n){ return qp(n,nmod-2); } //polynomial operations //

BZOJ3527 推出卷积公式FFT求值 传送门:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3527 题意: \(F_{j}=\sum_{i<j} \frac{q_{i} q_{j}}{(i-j)^{2}}-\sum_{i>j} \frac{q_{i} q_{j}}{(i-j)^{2}}\) 求\(E_i=F_i/q_i\) 题解: 推公式: \[ E_i=F_i/q_i\\ E_i=\sum_{j=i}^{n}\frac{q_j}{(i

多项式: 多项式?不会 多项式加法: 同类项系数相加: 多项式乘法: A*B=C $A=a_0x^0+a_1x^1+a_2x^2+...+a_ix^i+...+a_{n-1}x^{n-1}$ $B=b_0x^0+b_1x^1+b_2x^2+...b_ix^i+...+b_{m-1}x^{m-1}$ 则 $C=c_0x^0+c_1x^1+c_2x^2+...c_ix^i+...+c_{m+n-2}x^{m+n-2}$ 其中 $$c_k=\sum_{i+j=k}^{i<n,j<m}a[i]b[j]

目录 @0 - 参考资料@ @1 - 一些概念@ @2 - 傅里叶正变换@ @3 - 傅里叶逆变换@ @4 - 迭代实现 FFT@ @5 - 参考代码实现@ @6 - 快速数论变换 NTT@ @7 - 任意模数 NTT@ @三模数 NTT@ @拆系数 fft (mtt)@ @8 - 例题与应用@ @分治 FFT@ @多维卷积@ @循环卷积@ @多项式求逆,除法与取模@ @多点求值与快速插值@ @多项式开方,对数,指数,三角与幂函数@ @0 - 参考资料@ Miskcoo's Space 的讲解

Intro: 本篇博客将会从朴素乘法讲起,经过分治乘法,到达FFT和NTT 旨在能够让读者(也让自己)充分理解其思想 模板题入口:洛谷 P3803 [模板]多项式乘法(FFT) 朴素乘法 约定:两个多项式为\(A(x)=\sum_{i=0}^{n}a_ix^i,B(x)=\sum_{i=0}^{m}b_ix^i\) Prerequisite knowledge: 初中数学知识(手动滑稽) 最简单的多项式方法就是逐项相乘再合并同类项,写成公式: 若\(C(x)=A(x)B(x)\),那么\(C(x

[模板]多项式乘法(FFT) 题目链接:luogu P3803 题目大意 给你两个多项式,要你求这两个多项式乘起来得到的多项式.(卷积) 思路 系数表示法 就是我们一般来表示一个多项式的方法: \(A(x)=a_1x^k+a_2x^{k-1}+...+a_k\) 或者可以这样表示: \(A(x)=\sum\limits_{i=1}^{k}a_i\times x_i\) 那你很容易看到,用来做这道题用系数表示法来做是 \(O(n^2)\) 的. 点值表示法 假设我们已经知道了这个多项式,那我们把

题目链接 \(\Huge\text{无图,慎入}\) \(FFT\)即快速傅里叶变换,用于加速多项式乘法. 如果暴力做卷积的话就是一个多项式的每个单项式去乘另一个多项式然后加起来,时间复杂度为\(O(n^2)\). \(FFT\)算法基本思想是把系数表达式转换成点值表达式,求出卷积的点值表达式,再转换回系数表达式. 何为点值表达式? 把多项式看成一个函数,比如\(n\)次多项式\(F\)可以看成一个\(n\)次函数\(F(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots +a_nx^n\) 众

具体步骤: 1.补0:在两个多项式最前面补0,得到两个 $2n$ 次多项式,设系数向量分别为 $v_1$ 和 $v_2$. 2.求值:用FFT计算 $f_1 = DFT(v_1)$ 和 $f_2=DFT(v_2)$.这里得到的 $f_1$ 和 $f_2$ 分别是两个输入多项式在 $2n$ 次单位根处的各个取值(即点值表示) 3.乘法:把两个向量 $f_1$ 和 $f_2$ 的每一维对应相乘,得到向量 $f$.它对应输入多项式乘积的点值表示. 4.插值:用FFT计算 $v=IDFT(f)$,其实

题目链接:P3803 [模板]多项式乘法(FFT) 题意 给定一个 \(n\) 次多项式 \(F(x)\) 和一个 \(m\) 次多项式 \(G(x)\),求 \(F(x)\) 和 \(G(x)\) 的卷积. 思路 FFT 又是一道 \(FFT\) 的模板题,不过用递归的 \(FFT\) 会超时. 代码 #include <bits/stdc++.h> using namespace std; const double PI = acos(-1); typedef complex<dou

[Uoj34]多项式乘法(NTT,FFT) 题面 uoj 题解 首先多项式乘法用\(FFT\)是一个很久很久以前就写过的东西 直接贴一下代码吧.. #include<iostream> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<cmath> #include<algorithm> #include<set> #include<map&g

[吐槽] 以前一直觉得这个东西十分高端完全不会qwq 但是向lyy.yxq.yww.dtz等dalao们学习之后发现这个东西的代码实现其实极其简洁 于是趁着还没有忘记赶紧来写一篇博 (说起来这篇东西的文字好像有点多呀qwq啊话痨是真的qwq) [正题] 一些预备知识(有了解的就可以直接跳啦,mainly from 算导) fft的话,用来解决与多项式乘法有关的问题 关于多项式 一个以x为变量的多项式定义在一个代数域$F$上,将函数$A(x)$表示为形式和: $A(x) = \sum\limits

前言 众所周知,这两个东西都是用来算多项式乘法的. 对于这种常人思维难以理解的东西,就少些理解,多背板子吧! 因此只总结一下思路和代码,什么概念和推式子就靠巨佬们吧 推荐自为风月马前卒巨佬的概念和定理都非常到位的总结 推荐ppl巨佬的简明易懂的总结 FFT 多项式乘法的蹊径--点值表示法 一般我们把两个长度为\(n\)的多项式乘起来,就类似于做竖式乘法,一位一位地乘再加到对应位上,是\(O(n^2)\)的 如何优化?直接看是没有思路的,只好另辟蹊径了. 多项式除了我们常用的系数表示法\(y=a_

http://uoj.ac/problem/34 (题目链接) 题意 求两个多项式的乘积 Solution 挂个FFT板子. 细节 FFT因为要满足$n$是$2$的幂,所以注意数组大小. 代码 // uoj34 #include<algorithm> #include<iostream> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<complex> #include<cstdio> #in

题目传送门 多项式乘法 题目描述 给定一个n次多项式F(x),和一个m次多项式G(x). 请求出F(x)和G(x)的卷积. 输入输出格式 输入格式: 第一行2个正整数n,m. 接下来一行n+1个数字,从低到高表示F(x)的系数. 接下来一行m+1个数字,从低到高表示G(x))的系数. 输出格式: 一行n+m+1个数字,从低到高表示F(x)∗G(x)的系数. 输入输出样例 输入样例#1: 1 2 1 2 1 2 1 输出样例#1: 1 4 5 2 说明 保证输入中的系数大于等于 0 且小于等于9.

P3803 [模板]多项式乘法(FFT) 题目背景 这是一道FFT模板题 题目描述 给定一个n次多项式F(x),和一个m次多项式G(x). 请求出F(x)和G(x)的卷积. 输入输出格式 输入格式: 第一行2个正整数n,m. 接下来一行n+1个数字,从低到高表示F(x)的系数. 接下来一行m+1个数字,从低到高表示G(x))的系数. 输出格式: 一行n+m+1个数字,从低到高表示F(x)∗G(x)的系数. 输入输出样例 输入样例#1: 复制 1 2 1 2 1 2 1 输出样例#1: 复制 1

目录 题意理解 解题思路 多项式加法 多项式乘法 完整代码 题意理解 题目: 设计函数分别求两个一元多项式的乘积与和. 输入格式: 输入分2行,每行分别先给出多项式非零项的个数,再以指数递降方式输入一个多项式非零项系数和指数(绝对值均为不超过1000的整数).数字间以空格分隔. 输出格式: 输出分2行,分别以指数递降方式输出乘积多项式以及和多项式非零项的系数和指数.数字间以空格分隔,但结尾不能有多余空格.零多项式应输出0 0. 例子: \[ \text{已知两个多项式:} \\ \begin{a