四元数和旋转(Quaternion & rotation) 本篇文章主要讲述3D空间中的旋转和四元数之间的关系.其中会涉及到矩阵.向量运算,旋转矩阵,四元数,旋转的四元数表示,四元数表示的旋转如何转化为旋转矩阵.层层铺垫,可能文章有点长.基础好的同学,可以直接跳到四元数表示旋转部分,见下文公式(18)和公式(21). 1 向量的点积和叉积 1.1 点积 给定两个n维向量\(\mathbf{P}, \mathbf{Q}\),则它们的点积(dot product,又称为内积)为: \[\mathbf

转:四元数(Quaternions) 好吧,我必须承认到目前为止我还没有完全理解四元数,我一度把四元数理解为轴.角表示的4维向量,也就在下午我才从和同事的争辩中理解了四元数不完全是角.轴这么简单,为此写点心得给那些同我一样搞了2年3D游戏的还不清楚四元数的朋友. 为什么使用四元数 为了回答这个问题,先来看看一般关于旋转(面向)的描述方法-欧拉描述法.它使用最简单的x,y,z值来分别表示在x,y,z轴上的旋转角度,其取值为0-360(或者0-2pi),一般使用roll,pitch,yaw来表示这些

问题是这样,如果我们知道两个向量v1和v2,计算从v1转到v2的旋转矩阵和四元数,由于旋转矩阵和四元数可以互转,所以我们先计算四元数. 我们可以认为v1绕着向量u旋转θ​角度到v2,u垂直于v1-v2平面. 四元数q可以表示为cos(θ/2)​+sin(θ/2)​u,即:q0​=cos(θ/2)​,q1​=sin(θ/2)​u.x,q2=sin(θ/2)​u.y,q3=sin(θ/2)​u.z 所以我们求出u和θ/2即可,u等于v1与v2的叉积,不要忘了单位化:θ/2用向量夹角公式就能求. ma

PluginSDK中的Quaternion4d类可能是感觉Microsoft.DirectX. Quaternion类不太实用或不够用,自己有重新写的. 四元数是英国数学家哈密顿(W.R.Hamilton)在1843年发现的,由于矩阵论的不断丰富和不断完善,人们更乐意采用矩阵来解决实际工程中的问题,这导致四元数在相当长的时间里没有被人们重视,更没有得到实际的应用.随着计算机图形学的发展,人们发现利用四元数可以很好地处理解决旋转运算等问题,这一理论又开始被人们重视,并在许多领域逐渐得到应用. 四元

技术背景 在前面一篇文章中我们介绍了欧拉角死锁问题的一些产生背景,还有基于四元数的求解方案.四元数这个概念虽然重要,但是很少会在通识教育课程中涉及到,更多的是一些图形学或者是工程学当中才会进行讲解.本文主要是面向四元数,相比上一篇文章更加详细的介绍和总结一下四元数的一些运算法则,还有基于四元数的插值法. 基本运算 说到四元数,很多人可能会觉得有点陌生,但是如果说复数,很多人就都有学习过.我们一般用\(z=x+iy\)这样的形式去定义一个复数(Complex Number),其中\(x\)是实部,

Technorati 标记: matlab,plot 相信大部分用过matlab的人都画过sin曲线,直接plot就可以了,不过呢,plot出来的曲线自然不那么好看,本着绳命在于折腾的原则,小弟学习了下sin曲线的高级画法,mark一下,还是先上图看看是如何华丽丽的完整转变的吧. 实现代码如下: x = -pi:0.1:pi;y = sin(x); axescenter fid1 = plot(x,y); ) ,-,],'LineWidth',0.1) xlabel('-\pi \leq \Th

在本系列第一篇介绍过鼠标按键的功能,如下. 左键拖拽 - 旋转魔方 右键拖拽 - 变换视角 滚轮 - 缩放魔方 今天研究一下如何实现后面两个功能,用到的技术主要是Arcball,Arcball是实现Model-View-Camera的重要技术,这里的旋转基于Quaternion(四元数)来实现,当然也可以通过欧拉角来实现,但是欧拉角的旋转不够平滑.先看一下Model-View-Camera的效果,如下,这个gif效果图是用LICEcap录制的,帧率有些慢,略有卡顿现象,大家可以下载文末的可执行文

图像配准是图像处理研究领域中的一个典型问题和技术难点,其目的在于比较或融合针对同一对象在不同条件下获取的图像,例如图像会来自不同的采集设备,取自不同的时间,不同的拍摄视角等等,有时也需要用到针对不同对象的图像配准问题.具体地说,对于一组图像数据集中的两幅图像,通过寻找一种空间变换把一幅图像映射到另一幅图像,使得两图中对应于空间同一位置的点一一对应起来,从而达到信息融合的目的. 一个经典的应用是场景的重建,比如说一张茶几上摆了很多杯具,用深度摄像机进行场景的扫描,通常不可能通过一次采集就将场景中的

3D数学复习 using System.Collections; using System.Collections.Generic; using UnityEngine; public class w07d1 : MonoBehaviour { public Quaternion result1; public Quaternion result2; public Quaternion result3; // 什么是单位四元数? // [0, 0, 0, 1] 表示无旋转 // [n.x * s

书籍推荐: 3D数学基础:图形与游戏开发——游戏软件开发专家系列(美)邓恩 Unity Shader入门精要 冯乐乐(92年) 数据结构(Python语言描述) 数据结构.算法与应用(C++语言描述) 算法导论 第3版 黑客与画家 程序员生存之道 流体力学:八叉数空间划分   四元数的几个概念: 四元数的模长:Mathf.Sqrt(x^2 + y^2 + z^2 + w^2) 标准四元数:模长为1的四元数叫标准四元数:在Unity中所有用来表示旋转的四元数都是标准四元数 单位四元数:[0,0,0

向量的叉乘: 数学运算:a(ax,ay,az) x b(bx,by,bz) = c(aybz-azby,azbx-axby,axby-aybx) 几何意义:得到一个新的向量,同时垂直于a向量和b向量,垂直于ab向量所组成的平面,c向量是ab平面的法向量 左手螺旋定则:四指指向a,握向b,大拇指指向c 作用 1.求顺指针,逆时针关系(y>0,y<0) 2.求平面的法向量   四元数(威廉·哈密顿): 万向节死锁(Gimbal Lock): https://v.qq.com/x/cover/e05

视觉SLAM中的数学基础 第一篇 3D空间的位置表示 前言 转眼间一个学期又将过去,距离我上次写<一起做RGBD SLAM>已经半年之久.<一起做>系列反响很不错,主要由于它为读者提供了一个可以一步步编码.运行的SLAM程序,为读者理解SLAM实现的细节作了详细的介绍.但是我也有很多对它不满意的地方.作为面向实现的介绍,它的代码不够稳定可靠,例如,甚至没有对匹配丢失的情况进行处理,因而只能用于教学.另一方面,对SLAM研究者来说,我只是介绍了编码方面如何调用一些常见的库函数,而没有

1.BA模型BA模型就是世界坐标到像素坐标的转换过程.这里多了一个去畸变.因为归一化平面坐标在转成像素坐标的过程中会出现畸变.这里只处理了径向畸变,径向畸变包括桶形失真和枕形失真,都是由于图像放大率随着与光轴之间的距离改变而增大或减小造成的.切向畸变是由于透镜与成像平面没有严格平行造成的.处理径向畸变就是拿归一化平面坐标比如uc,vc乘以(1+k1*rc*rc+k2*rc*rc*rc*rc)得到的,这里的k1,k2是外参,rc=sqrt(uc*uc+vc*vc).而切向畸变就是用到uc*vc了.

商域无疆 (http://blog.csdn.net/omni360/) 本文遵循"署名-非商业用途-保持一致"创作公用协议 转载请保留此句:商域无疆 -  本博客专注于 敏捷开发及移动和物联设备研究:数据可视化.GOLANG.Html5.WEBGL.THREE.JS,否则,出自本博客的文章拒绝转载或再转载,谢谢合作. 今天把math库中最大的对象Matrix4凝视完了,发现之前好多的凝视理解的不太正确,还有好多的凝视由于马虎,好多小错误.能改的都在github上更新了,只是大概意思,

提要 四元素是游戏开发中经常使用的用于处理旋转的数学工具,以下就用C++来实现一个四元素类.參考Unity中四元素的接口. 假设没有看之前的 彻底搞懂四元数. 建议先看一下. 代码清单 Quaternion.h #pragma once #include "Vector3.h" #include "Mathf.h" class Quaternion { public: Quaternion(float x, float y, float z, float w); Q

每一个小步骤的源码都放在了Github 的内容为插入注释,可以先跳过 前言 在阅读本篇博客之前,你必须对向量和矩阵有基本的认识,并且能熟练进行向量和矩阵的运算 我们已经知道了如何创建一个物体.着色.加入纹理,但它们都还是静态的物体 我们可以尝试着在每一帧改变物体的顶点并且重配置缓冲区从而使它们移动 但是这样的操作太过复杂,而且消耗性能也很大 我们现在有一个更好的解决方案,使用多个矩阵(Matrix)对象变换(Transform)一个物体 如果你具备了我说到的向量和矩阵的数学基础,接下来的操作都很

文献 Sun L , Yan Z , Mellado S M , et al. 3DOF Pedestrian Trajectory Prediction Learned from Long-Term Autonomous Mobile Robot Deployment Data[J]. 2017. 概览 文章所提出的模型基于LSTM框架,旨在预测行人的姿态信息(位置坐标和朝向).就模型本身而言,其结构基本与Vanilla LSTM保持一致,不具有共享LSTMs信息的池化层结构,但数据有所改变:

刚体就是 "刚性物体",它在运动过程中,内部各质点间的相对位置不会改变,也即 每两个质点间的距离 保持不变 假设刚体内任意两个质点,坐标分别为 $(x_1, y_1, z_1)$ 和 $(x_2, y_2, z_2)$,则在刚体运动过程中,这两个质点满足如下条件: $\quad \left( (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 + (z_1 - z_2)^2 \right) |_t = l^2$ 例如:影视剧<西游记>中的法宝金刚琢.玉净瓶是刚体:而

* { font-family: "Tibetan Machine Uni", "sans-serif", STFangSong; outline: none } 一.概述 旋转变换的核心思想 在不同坐标系下,虽然坐标不同,但是同一个向量还是一样的.这句话有点儿怪怪的,但是可以用数学公式表出:\(\beta_1^T\cdot\alpha_1=\beta_2^T\cdot\alpha_2\),其中\(\beta\)是不同坐标系的标准正交基(行分块),\(\alpha\

寒假有几项学习计划,其中有一些是为了一些任务而学,最主要的任务是我要在2021_v4的基础上编写2022_v1的大援代码,为此顺便学习一下机器人学的知识(下学期也有这方面的老黄的课程),看看能不能在结构和算法上对前一版本上有所突破. 本系列参考资料: <Robotics, Vision and Control> B站公开课:台湾交通大学机器人学公开课 老黄的<机器人技术基础>课程讲解及PPT N多有关机器人学的大佬的博客 讲道理机器人学之所以是机器人学,果然还是有点小难的,我看着这