本学期的高等代数每周一题活动计划从第2教学周开始,到第15教学周结束,每周的周末公布一道思考题(共14道,思考题一般与下周授课内容密切相关),供大家思考和解答.每周一题将通过“高等代数官方博客”(以博文的形式)和“高等代数在线课程19级课群”(以课群话题的形式)这两个渠道同时发布.有兴趣的同学可以将每周一题的解答写在纸上.拍成图片,并上传到每周一题对应的课群话题中.本人会定期对每周一题的解答进行批改和评价,并将优秀解答标记出来推荐给全班同学. [问题2019A01]  请用教材第1章“行列式”中

16 级高代 II 思考题十  设 $V$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 维线性空间, $\varphi$ 是 $V$ 上的线性变换, 证明: $\varphi$ 的极小多项式 $m(\lambda)$ 在 $\mathbb{K}$ 上无重因式的充要条件是对 $V$ 的任一 $\varphi$-不变子空间 $U$, 均存在 $\varphi$-不变子空间 $W$, 使得 $V=U\oplus W$. 本题是复旦高代教材复习题七的第 24 题或高代白皮书的例 7.15 从复数域

16 级高代 II 思考题九  设 $V$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 维线性空间, $\varphi$ 是 $V$ 上的线性变换, $f(\lambda),m(\lambda)$ 分别是 $\varphi$ 的特征多项式和极小多项式. 设 $f(\lambda)=m(\lambda)=P_1(\lambda)^{r_1}P_2(\lambda)^{r_2}\cdots P_k(\lambda)^{r_k}$, 其中 $P_1(\lambda),P_2(\lambda),\c

六.(本题10分)   设 $A$ 为 $n$ 阶幂零阵 (即存在正整数 $k$, 使得 $A^k=0$), 证明: $e^A$ 与 $I_n+A$ 相似. 证明  由 $A$ 是幂零阵可知, $A$ 的特征值全为零. 设 $P$ 为非异阵, 使得 $$P^{-1}AP=J=\mathrm{diag}\{J_{r_1}(0),J_{r_2}(0),\cdots,J_{r_k}(0)\}$$ 为 Jordan 标准型. 下面通过三段论法来证明本题的结论. Step 1$-$对 Jordan 块 $

1.证明: 第三类分块初等变换是若干个第三类初等变换的复合. 特别地, 第三类分块初等变换不改变行列式的值. 2.设 $n\,(n\geq 2)$ 阶方阵 $A=(a_{ij}(x))$, 其中每个元素 $a_{ij}(x)$ 都是关于未定元 $x$ 的多项式. 若 $k$ 是正整数, 满足 $x^k$ 整除 $A$ 的所有代数余子式 $A_{ij}$, 证明: $x^{k+1}$ 整除 $A$ 的行列式 $|A|$. 提示  考虑 $A$ 的伴随矩阵 $A^*$ 的行列式. 另外, 本题还可以

[问题2015A01]  证明: 第三类分块初等变换是若干个第三类初等变换的复合. 特别地, 第三类分块初等变换不改变行列式的值. [问题2015A02]  设 $n\,(n\geq 2)$ 阶方阵 $A=(a_{ij}(x))$, 其中每个元素 $a_{ij}(x)$ 都是关于未定元 $x$ 的多项式. 若 $k$ 是正整数, 满足 $x^k$ 整除 $A$ 的所有代数余子式 $A_{ij}$, 证明: $x^{k+1}$ 整除 $A$ 的行列式 $|A|$. 提示  考虑 $A$ 的伴随矩阵

[问题2014A11]  解答 我们需要利用以下关于幂等阵判定的结论,它是复旦高代书第 142 页的例 3.6.4: 结论  设 \(A\) 为 \(n\) 阶方阵, 则 \(A^2=A\) 当且仅当 \(\mathrm{r}(A)+\mathrm{r}(I_n-A)=n\). 由题中两个条件和上述结论可得 \[n=\mathrm{r}(A+B)+\mathrm{r}(I_n-(A+B))=\mathrm{r}(A)+\mathrm{r}(B)+\mathrm{r}(I_n-A-B).\cdot

[问题2014A03]  解答 注意到 \((A^*)^*\) 的第 (1,1) 元素是 \(A^*\) 的第 (1,1) 元素的代数余子式, 即为 \[\begin{vmatrix} A_{22} & A_{32} & \cdots & A_{n2} \\ A_{23} & A_{33} & \cdots & A_{n3} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ A_{2n} & A_

[问题2014S03] 解答  设 \(A\) 的 \(n\) 个特征值分别为 \(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\), 由条件知它们都是不等于零的实数. 根据复旦高代白皮书第 181 页例 6.13 的结论可得 \[ \sum_{1\leq i_1<i_2<\cdots<i_r\leq n}\lambda_{i_1}\lambda_{i_2}\cdots\lambda_{i_r}=\sum_{1\leq i_1<i_2<\cdots

七.(本题10分)  设 \(V\) 为数域 \(\mathbb{K}\) 上的 \(n\) 维线性空间, \(S=\{v_1,v_2,\cdots,v_m\}\) 为 \(V\) 中的向量组, 定义集合 \(R_S=\{(a_1,a_2,\cdots,a_m)\in\mathbb{K}^m\,|\,a_1v_1+a_2v_2+\cdots+a_mv_m=0\}\). 再取 \(V\) 中的向量组 \(T=\{u_1,u_2,\cdots,u_m\}\). 证明: (1) \(R_S\) 是 \

设 $V$ 是复数域 $\mathbb{C}$ 上的 $n$ 维线性空间, $\varphi$ 是 $V$ 上的线性变换, $A\in M_n(\mathbb{C})$ 是 $\varphi$ 在某组基下的表示矩阵, 则有线性变换或矩阵的 Jordan 标准型理论. 具体的, 设 $\varphi$ 或 $A$ 的初等因子组为 $(\lambda-\lambda_1)^{r_1}$, $(\lambda-\lambda_2)^{r_2}$, $\cdots$, $(\lambda-\lambda

一.期末考试成绩90分以上的同学(共21人) 周烁星(99).封清(99).叶雨阳(97).周子翔(96).王捷翔(96).张思哲(95).丁思成(94).陈宇杰(94).谢永乐(93).张哲维(93).陈钦品(93).邹年轶(92).顾天翊(91).吴润华(91).黄泽松(91).刘羽(91).范辰健(90).金维涵(90).黄永晟(90).张俊杰(90).时天宇(90) 二.总成绩计算方法 平时成绩根据交作业的次数决定,本学期共交作业13次(因调休安排,2018年11月12日和2018年11

七.(本题10分)  设 $V$ 为 $n$ 维线性空间, $\varphi,\psi$ 是 $V$ 上的线性变换, 满足 $\varphi\psi=\varphi$. 证明: $\mathrm{Ker}\varphi\cap\mathrm{Im}\psi=0$ 的充要条件是 $r(\varphi)=r(\psi)$. 证明  我们给出六种不同的证法, 括号内是证明思想的关键词. 几何证法1 (和空间与直和)  由 $\varphi(I_V-\psi)=0$ 可知, 对任意的 $\alpha\i

[问题2018A01]  计算下列 $n+1$ 阶行列式的值: $$|A|=\begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & a_1 & a_2 & \cdots & a_n \\ -2 & a_1^2 & a_2^2 & \cdots & a_n^2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ (

本学期将继续进行高等代数每周一题的活动.计划从第一教学周开始,到第十六教学周为止(根据法定节假日安排,中间个别周会适当地停止),每周的周末将公布1道思考题(共16道),供大家思考和解答.每周一题通过“谢启鸿高等代数官方博客(以博文的形式)”和“高等代数在线课程17级课群(以课群话题的形式)”这两个渠道同时发布,并通过17级高等代数微信群及时通知大家.有兴趣的同学可以将每周一题的解答写在纸上,并拍成图片上传到该每周一题对应的课群话题中.谢启鸿老师或研究生助教会对每周一题的解答进行批改和评价,并将优

[问题2015S01]  设 \(M_n(\mathbb{R})\) 是 \(n\) 阶实方阵全体构成的实线性空间, \(\varphi\) 是 \(M_n(\mathbb{R})\) 上的线性变换, 使得对于给定的 \(A,B\in M_n(\mathbb{R})\), 或者 \(\varphi(AB)=\varphi(A)\varphi(B)\) 成立, 或者 \(\varphi(AB)=\varphi(B)\varphi(A)\) 成立. 证明: 或者 \(\varphi(AB)=\var

[问题2015S13]  设 \(A=(a_{ij})\) 为 \(n\) 阶实矩阵, 定义函数 \[f(A)=\sum_{i,j=1}^na_{ij}^2.\] 设 \(P\) 为 \(n\) 阶非异实矩阵, 满足: 对任意的 \(A\in M_n(\mathbb{R})\), 成立 \[f(PAP^{-1})=f(A).\] 证明: 存在非零实数 \(c\), 使得 \(PP'=cI_n\). 注  这是 [问题2014S08] 实数域上的版本,当时我们用的是基础矩阵的方法来证明的.现在,我

[问题2014A01]  试求下列 \(n\) 阶行列式的值: \[ |A|=\begin{vmatrix} 1 & x_1(x_1-a) & x_1^2(x_1-a) & \cdots & x_1^{n-1}(x_1-a) \\ 1 & x_2(x_2-a) & x_2^2(x_2-a) & \cdots & x_2^{n-1}(x_2-a) \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots

[问题2014A12]  设 \(A,B\) 是 \(n\) 阶方阵且满足 \(AB=BA=0\), \(\mathrm{r}(A)=\mathrm{r}(A^2)\), 证明: \[\mathrm{r}(A+B)=\mathrm{r}(A)+\mathrm{r}(B).\] 提示  利用复旦高代书第 208 页复习题 37, 把代数问题转化为几何问题来考虑.

[问题2014S07]  设 \(A\in M_n(\mathbb{K})\) 在数域 \(\mathbb{K}\) 上的初等因子组为 \(P_1(\lambda)^{e_1},P_2(\lambda)^{e_2},\cdots,P_k(\lambda)^{e_k}\), 其中 \(P_i(\lambda)\) 是 \(\mathbb{K}\) 上的不可约多项式, \(e_i>0,\,i=1,2,\cdots,k\). 设 \(F(P_i(\lambda)^{e_i})\) 为相伴于多项式 \(