设参与运算的多项式最高次数是n,那么多项式的加法,减法显然可以在O(n)时间内计算. 所以我们关心的是两个多项式的乘积.朴素的方法需要O(n^2)时间,并不够优秀. 考虑优化. 多项式乘积 方案一:分治乘法. 对于多项式X,Y,假设各有2m项,(即最高次数是2m-1) X,Y分别可以用两个含m项的多项式来表示,即: 则 由此可见,为了计算XY,只需计算出AC, (A+B)(C+D), BD,然后用多项式加减法求得XY即可. 设含有m项的多项式相乘的时间为T(m) 则 于是容易算出时间复杂度是,约

------------------------------------------本文只探讨多项式乘法(FFT)在信息学中的应用如有错误或不明欢迎指出或提问,在此不胜感激 多项式 1.系数表示法     一般应用最广泛的表示方式     用A(x)表示一个x-1次多项式,a[i]为$ x^i$的系数,则A(x)=$ \sum_0^{n-1}$ a[i] * $ x^i$ 仅利用这种方式求多项式乘法复杂度为O($ n^2$),不够优秀2.点值表示法     将n个互不相同的值$ x_0$...$

[吐槽] 以前一直觉得这个东西十分高端完全不会qwq 但是向lyy.yxq.yww.dtz等dalao们学习之后发现这个东西的代码实现其实极其简洁 于是趁着还没有忘记赶紧来写一篇博 (说起来这篇东西的文字好像有点多呀qwq啊话痨是真的qwq) [正题] 一些预备知识(有了解的就可以直接跳啦,mainly from 算导) fft的话,用来解决与多项式乘法有关的问题 关于多项式 一个以x为变量的多项式定义在一个代数域$F$上,将函数$A(x)$表示为形式和: $A(x) = \sum\limits

题目链接:洛谷.LOJ. FFT相关:快速傅里叶变换(FFT)详解.FFT总结.从多项式乘法到快速傅里叶变换. 5.4 又看了一遍,这个也不错. 2019.3.7 叕看了一遍,推荐这个. #include <cmath> #include <cctype> #include <cstdio> #include <algorithm> #define gc() getchar() const int N=1e6+5; const double PI=acos(

目录 @0 - 参考资料@ @1 - 一些概念@ @2 - 傅里叶正变换@ @3 - 傅里叶逆变换@ @4 - 迭代实现 FFT@ @5 - 参考代码实现@ @6 - 快速数论变换 NTT@ @7 - 任意模数 NTT@ @三模数 NTT@ @拆系数 fft (mtt)@ @8 - 例题与应用@ @分治 FFT@ @多维卷积@ @循环卷积@ @多项式求逆,除法与取模@ @多点求值与快速插值@ @多项式开方,对数,指数,三角与幂函数@ @0 - 参考资料@ Miskcoo's Space 的讲解

新技能--FFT. 可在 \(O(nlogn)\) 时间内完成多项式在系数表达与点值表达之间的转换. 其中最关键的一点便为单位复数根,有神奇的折半性质. 多项式乘法(即为卷积)的常见形式: \[ C_n=\sum\limits_{i=0}^n A_iB_{n-i} \] 基本思路为先将系数表达 -> 点值表达 \(O(nlogn)\) 随后点值 \(O(n)\) 进行乘法运算 最后将点值表达 -> 系数表达 \(O(nlogn)\) 代码 #include<cstdio> #inc

这是一道模板题. 给你两个多项式,请输出乘起来后的多项式. 输入格式 第一行两个整数 nn 和 mm,分别表示两个多项式的次数. 第二行 n+1n+1 个整数,表示第一个多项式的 00 到 nn 次项系数. 第三行 m+1m+1 个整数,表示第二个多项式的 00 到 mm 次项系数. 输出格式 一行 n+m+1n+m+1 个整数,表示乘起来后的多项式的 00 到 n+mn+m 次项系数. 样例一 input 1 2 1 2 1 2 1 output 1 4 5 2 explanation (1+

题意:给定两个 \(n\) 元环,环上每个点有权值,分别为 \(x_i, y_i\).定义两个环的差值为 \[\sum_{i=0}^{n-1}{(x_i-y_i)^2}\] 可以旋转其中的一个环,或者将其中一个环的每种权值加上一个数.求最小化的差值. Solution: 加数只需要加在一个上面即可(假设可以为负),那么差值可以写成 \[\sum_{i=0}^{n-1}{(x_i-y_{i+k}+c)^2}\] 我们可以将差值定义为旋转位数\(k\)与加数\(c\)的函数,即 \(f(k,c)\)

题目戳我 一道模板题 自己尝试证明了大部分... 剩下的还是没太证出来... 所以就是一个模板放在这里 以后再来补东西吧.... #include<iostream> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<cmath> #include<complex> #include<algorithm> using namespace std; #

题目描述 给定一个n次多项式F(x),和一个m次多项式G(x). 请求出F(x)和G(x)的卷积. 输入输出格式 输入格式: 第一行2个正整数n,m. 接下来一行n+1个数字,从低到高表示F(x)的系数. 接下来一行m+1个数字,从低到高表示G(x))的系数. 输出格式: 一行n+m+1个数字,从低到高表示F(x)∗G(x)的系数. #include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int MAXN=3000100; const double

题目戳我 一道模板题 自己尝试证明了大部分... 剩下的还是没太证出来... 所以就是一个模板放在这里 以后再来补东西吧.... #include<iostream> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<cmath> #include<complex> #include<algorithm> using namespace std; #

https://www.luogu.org/problem/show?pid=3803 题目背景 这是一道模版题 题目描述 给定一个n次多项式F(x),和一个m次多项式G(x). 请求出F(x)和G(x)的卷积. 输入输出格式 输入格式: 第一行2个正整数n,m. 接下来一行n+1个数字,从低到高表示F(x)的系数. 接下来一行m+1个数字,从低到高表示G(x))的系数. 输出格式: 一行n+m+1个数字,从低到高表示F(x)∗G(x)的系数. 输入输出样例 输入样例#1: 1 2 1 2 1

Rt 注意len要为2的幂 #include <bits/stdc++.h> using namespace std; const double PI = acos(-1.0); inline int read() { char c=getchar();int x=0,f=1; while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();} while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=get

题意:有\(n\)个正整数,求随机选取一个3组合,能构成三角形的概率. Solution: 很容易想到构造权值序列,对其卷积得到任取两条边(可重复)总长度为某数时的方案数序列,我们希望将它转化为两条边不可重复,并去掉顺序.不妨设给定的 \(N\) 个正整数的集合为 \(S\),卷积后的权值序列为 \(\{c_i\}\) ,那么我们对每一个 \(x \in S\), 对 \(c_x\) 减去 \(1\) 即可. 不妨设选出的组合为 \((i,j,k)\),假设 \({x_i}\) 为已经排序的长度

题意:给定 \({q_i}\),求 \[E_i = \sum_{i<j}{\frac{q_j}{(j-i)^2}} - \sum_{i>j}{\frac{q_j}{(j-i)^2}}\] Solution: 我们令 \[p_i = \frac{1}{(j-i)^2}\] 那么很容易将\(E_i\)处理为卷积形式 \[E_i = \sum_{i<j}{p_{j-i}q_j} - \sum_{i>j}{p_{i-j}q_j}\] 可以暴力地把两边分开处理,不需要的区域直接置为\(0\)

二次联通门 : LibreOJ #108. 多项式乘法 /* LibreOJ #108. 多项式乘法 FFT板子题 不行啊...跑的还是慢 应该找个机会学一学由乃dalao的fft 或者是毛爷爷的fft,跑的真是快啊... */ #include <cstdio> #include <iostream> #include <cmath> ; char Buf[BUF], *buf = Buf; inline void read (int &now) { ; !i

卷积 给定向量:, 向量和: 数量积(内积.点积): 卷积:,其中 例如: 卷积的最典型的应用就是多项式乘法(多项式乘法就是求卷积).以下就用多项式乘法来描述.举例卷积与DFT. 关于多项式 对于多项式,系数为,设最高非零系数为,则其次数就是,记作.任何大于的整数都是的次数界. 多项式的系数表达方式:(次数界为). 则多项式的系数向量即为. 多项式的点值表达方式:,其中各不相同,. 离散傅里叶变换(DFT) 离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform,DFT).在信号处

简介: FFT主要运用于快速卷积,其中一个例子就是如何将两个多项式相乘,或者高精度乘高精度的操作. 显然暴搞是$O(n^2)$的复杂度,然而FFT可以将其将为$O(n lg n)$. 这看起来十分玄学,因为怎么看它们的相乘操作都逃不过$O(n^2)$,FFT是如何再减少复杂度的呢? 讲到FFT就不可避免地出现公式,但实际上它们都是比较容易理解的. 全局思路 设两个次数界均为$n$的多项式$\begin{aligned}A(x)&=a_0x^0+a_1x^1+a_2x^2+...+a_{n-1}x

FFT模板(多项式乘法) 标签: FFT 扯淡 一晚上都用来捣鼓这个东西了...... 这里贴一位神犇的博客,我认为讲的比较清楚了.(刚好适合我这种复数都没学的) http://blog.csdn.net/leo_h1104/article/details/51615710 题解 不写点什么也不好,我就简单的说一下吧. 我们首先得知道DFT(离散傅里叶变换)和IDFT(逆离散傅里叶变换). 一个多项式有很两种表示方法: 法一:\(f(x)=\sum_{i=0}^n A_i*x^i\) 法二:图像

前言 众所周知,这两个东西都是用来算多项式乘法的. 对于这种常人思维难以理解的东西,就少些理解,多背板子吧! 因此只总结一下思路和代码,什么概念和推式子就靠巨佬们吧 推荐自为风月马前卒巨佬的概念和定理都非常到位的总结 推荐ppl巨佬的简明易懂的总结 FFT 多项式乘法的蹊径--点值表示法 一般我们把两个长度为\(n\)的多项式乘起来,就类似于做竖式乘法,一位一位地乘再加到对应位上,是\(O(n^2)\)的 如何优化?直接看是没有思路的,只好另辟蹊径了. 多项式除了我们常用的系数表示法\(y=a_

题目链接 \(\Huge\text{无图,慎入}\) \(FFT\)即快速傅里叶变换,用于加速多项式乘法. 如果暴力做卷积的话就是一个多项式的每个单项式去乘另一个多项式然后加起来,时间复杂度为\(O(n^2)\). \(FFT\)算法基本思想是把系数表达式转换成点值表达式,求出卷积的点值表达式,再转换回系数表达式. 何为点值表达式? 把多项式看成一个函数,比如\(n\)次多项式\(F\)可以看成一个\(n\)次函数\(F(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots +a_nx^n\) 众