[学习笔记]快速傅里叶变换 学习之前先看懂这个 浅谈范德蒙德(Vandermonde)方阵的逆矩阵的求法以及快速傅里叶变换(FFT)中IDFT的原理--gzy hhh开个玩笑. 讲一下\(FFT\) 的流程,我也不准备长篇大论地分析\(FFT...\) 将系数表示法转换为点值表示法 \(O(n \log n)​\) 对于点值表示法直接进行操作 \(O(n)\) 将点值表示法转换为系数表示法 \(O(n \log n)​\) 这样的流程,最终复杂度是\(O(n \log n)\) 的,现在我们从最

原文链接https://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/Fast-Fourier-Transform.html 多项式 之 快速傅里叶变换(FFT)/数论变换(NTT)/例题与常用套路[入门] 前置技能 对复数以及复平面有一定的了解 对数论要求了解:逆元,原根,中国剩余定理 对分治有充足的认识 对多项式有一定的认识,并会写 $O(n^2)$ 的高精度乘法 本文概要 多项式定义及基本卷积形式 $Karatsuba$ 乘法 多项式的系数表示与点值表示,以及拉格朗日插值法

Intro: 本篇博客将会从朴素乘法讲起,经过分治乘法,到达FFT和NTT 旨在能够让读者(也让自己)充分理解其思想 模板题入口:洛谷 P3803 [模板]多项式乘法(FFT) 朴素乘法 约定:两个多项式为\(A(x)=\sum_{i=0}^{n}a_ix^i,B(x)=\sum_{i=0}^{m}b_ix^i\) Prerequisite knowledge: 初中数学知识(手动滑稽) 最简单的多项式方法就是逐项相乘再合并同类项,写成公式: 若\(C(x)=A(x)B(x)\),那么\(C(x

引入 可能有不少OIer都知道FFT这个神奇的算法, 通过一系列玄学的变化就可以在 $O(nlog(n))$ 的总时间复杂度内计算出两个向量的卷积, 而代码量却非常小. 博主一年半前曾经因COGS的一道叫做"神秘的常数 $\pi$"的题目而去学习过FFT, 但是基本就是照着板子打打完并不知道自己在写些什么鬼畜的东西OwO 不过...博主这几天突然照着算法导论自己看了一遍发现自己似乎突然意识到了什么OwO然后就打了一道板子题还1A了OwO再加上午考试差点AK以及日更频率即将不保于是就有了

题意: 给你一个数组a1~an,对于k=0~n,求出有多少个数组上的区间满足:区间内恰好有k个数比x小.x为一个给定的数.n<=10^5.值域没有意义. 分析: 大神们都说这道题是一个套路题,真是长见识%%%. 首先我们可以将题面转化,因为x是预先给出的,所以我们可以对其进行预处理,将数列中小于x的数都设为1,其他都为0,然后求一个前缀和,另前缀和数组为s[i]我们开一个数组v[i],记录在前缀和数组中数值i出现的次数. 然后我们可以得到这样一个式子 (据说看到这个式子就是套路了) 然后我们对这

题目链接:http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1028 题目大意就是求两个大数的乘法. 但是用普通的大数乘法,这个长度的大数肯定不行. 大数可以表示点值表示法,然后卷积乘法就能用FFT加速运算了. 这道题是来存模板的. 代码: #include <iostream> #include <cstdio> #include <cstdlib> #include <cmath>

本文只讨论FFT在信息学奥赛中的应用 文中内容均为个人理解,如有错误请指出,不胜感激 前言 先解释几个比较容易混淆的缩写吧 DFT:离散傅里叶变换—>$O(n^2)$计算多项式乘法 FFT:快速傅里叶变换—>$O(n*\log(n)$计算多项式乘法 FNTT/NTT:快速傅里叶变换的优化版—>优化常数及误差 FWT:快速沃尔什变换—>利用类似FFT的东西解决一类卷积问题 MTT:毛爷爷的FFT—>非常nb/任意模数 FMT 快速莫比乌斯变化—>感谢stump提供 多项式

FFTFFT·Fast  Fourier  TransformationFast  Fourier  Transformation快速傅立叶变换 P3803 [模板]多项式乘法(FFT) 参考上文 首先介绍, 欧拉公式: 公式描述:公式中e是自然对数的底,i是虚数单位. 快速傅里叶变换(FFT)详解 前言: DFT:离散傅里叶变换—>O(n2)计算多项式乘法 FFT:快速傅里叶变换—>O(n∗log(n)O(n∗log⁡(n)计算多项式乘法 FNTT/NTT:快速傅里叶变换的优化版—>优

转: 学习笔记 - 快速傅里叶变换 / 大数A * B的另一种解法 文章目录 前言 ~~Fast Fast TLE~~ 一.FFT是什么? 二.FFT可以干什么? 1.多项式乘法 2.大数乘法 三.FFT怎么做? 1. 系数表示法和点值表示法 3.如何巧妙地进行DFT? - FFT的高明之处 4. *单位复根* - FFT的高明之处(二) 5. Inverse Fast Fourier Transform - 从点值表示法回到系数表示法 四.FFT的递归实现 五.大数乘法的实现(FFT版) 后话

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1402 快速傅里叶变换优化的高精度乘法. https://blog.csdn.net/ggn_2015/article/details/68922404 这个写的很详细了. #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<cmath> #include<iostream> #incl

相关知识 时间域上的函数f(t)经过傅里叶变换(Fourier Transform)变成频率域上的F(w),也就是用一些不同频率正弦曲线的加 权叠加得到时间域上的信号. \[ F(\omega)=\mathcal{F}[f(t)]=\int\limits_{-\infty}^\infty f(t)e^{-iwt}dt \] 傅里叶逆变换是将频率域上的F(w)变成时间域上的函数f(t),一般称\(f(t)\)为原函数,称\(F(w)\)为象函数.原函数和象函数构成一个傅里叶变换对. \[ f(t)

打开51Nod全部问题页面,在右边题目分类中找到快速傅里叶变换,然后按分值排序,就是本文的题目顺序. 1.大数乘法问题 这个……板子就算了吧. 2.美妙的序列问题 长度为n的排列,且满足从中间任意位置划分为两个非空数列后,左边的最大值>右边的最小值.问这样的排列有多少个%998244353. 多组询问,n,T<=100000. 题解:经过分析可知,不合法的排列一定存在这样一种划分: 我们考虑答案=f[i]=i!-不合法排列个数. 形如 2 1 3 4 6 5 这种排列,会有三种划分方式不合法(

最近认真研究了一下算法导论里面的多项式乘法的快速计算问题,主要是用到了FFT,自己也实现了一下,总结如下. 1.多项式乘法 两个多项式相乘即为多项式乘法,例如:3*x^7+4*x^5+1*x^2+5与8*x^6+7*x^4+6*x^3+9两个式子相乘,会得到一个最高次数项为13的多项式.一般来说,普通的计算方法是:把A多项式中的每一项与B中多项式中的每一项相乘,得到n个多项式,再把每个多项式相加到一起,得到最终的结果,不妨假设A,B的最高次项都为n-1,长度都为n,那么计算最终的结果需要o(n^

前言 啊摸鱼真爽哈哈哈哈哈哈 这个假期努力多更几篇( 理解本算法需对一些< 常 用 >数学概念比较清楚,如复数.虚数.三角函数等(不会的自己查去(其实就是懒得写了(￢︿̫̿￢☆) 整理了一点点资料(确信 本文仅为作者的总结与完善和本人的理解与观点,有任何误导性错误请多多指出 [WARNING]文笔极差,文章极度啰嗦且可能有些迷惑hhh,尽力了_(:з)∠)_ 概述(可略过 离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform,缩写为 DFT),是傅里叶变换在时域和频域上都呈离散

两个n次多项式的相加最直接的方法所需要的时间是O(n),而实现两个n次多项式的乘法的直接方法则需要O(n^2),本章讨论的快速傅里叶变换(FFT),将会将这一过程的时间复杂度降至O(nlogn).同时本章也会给出一些FFT现实应用. 多项式的两种表示形式: 通过上面的推导,我们简单总结一下得到的结论. 而接下来问题的核心是,如果优化求值和插值过程的时间复杂度,求值过程直观的来看,时间复杂度是O(n^2),而插值过程需要解线性方程组,需要的时间复杂度更高. 为了算法的优化,我们需要引入一些复变函数

问题: 已知A[], B[], 求C[],使: 定义C是A,B的卷积,例如多项式乘法等. 朴素做法是按照定义枚举i和j,但这样时间复杂度是O(n2). 能不能使时间复杂度降下来呢? 点值表示法: 我们把A,B,C看作表达式. 即: A(x)=a0 + a1* x + a2 * x2 +... 将A={(x1,A(x1)), (x2,A(x2)), (x3,A(x3))...}叫做A的点值表示法. 那么使用点值表示法做多项式乘法就很简单了:对应项相乘. 那么,如何将A和B转换成点值表示法,再将C转

多项式乘法 #include <cstdio> #include <cmath> #include <algorithm> #include <cstdlib> #include <cstring> #include <ctime> #include <deque> #include <queue> #include <vector> #include <map> #include &l

问题: 已知$A=a_{0..n-1}$, $B=b_{0..n-1}$, 求$C=c_{0..2n-2}$,使: $$c_i = \sum_{j=0}^ia_jb_{i-j}$$ 定义$C$是$A$,$B$的卷积,记作 $$C = A * B$$ 例如多项式乘法等. 朴素做法是按照定义枚举$i$和$j$,但这样时间复杂度是$O(n^2)$. 能不能使时间复杂度降下来呢? 点值表示法: 我们把$A$,$B$,$C$看作多项式. 即: $$A(x) = \sum_{i=0}^{n-1}a_ix^i

快速傅里叶变换 & 快速数论变换 [update 3.29.2017] 前言 2月10日初学,记得那时好像是正月十五放假那一天 当时写了手写版的笔记 过去近50天差不多忘光了,于是复习一下,具体请看手写版笔记 参考文献:picks miskcoo menci 阮一峰 Fast Fourier Transform 单位复数根 虚数 复数 \(i\),表示逆时针旋转90度 \(a+bi\),对应复平面上的向量 复数加法 同向量 复数乘法 "模长相乘,幅角相加",\((a+bi)*(

FFT即快速傅里叶变换,离散傅里叶变换及其逆变换的快速算法.在OI中用来优化多项式乘法. 本文主要目的是便于自己整理.复习 FFT的算法思路 已知两个多项式的系数表达式,要求其卷积的系数表达式. 先将两个多项式分别转化为点值表达式,完成点值表达式的乘法,然后转为系数表达式得到结果. 点值表达式的乘法.整体考虑:假设已知两个多项式$A(x)$和$B(x)$.如果已知当$x=x_0$时$A(x_0)$和$B(x_0)$,则其乘积一定有点值$A(x_0)*B(x_0)$.因此点值表达式的乘法复杂度$O

扯 去北京学习的时候才系统的学习了一下卷积,当时整理了这个笔记的大部分.后来就一直放着忘了写完.直到今天都腊月二十八了,才想起来还有个FFT的笔记没整完呢.整理完这个我就假装今年的任务全都over了吧. 更改了一些以前不大正确的地方,又添加了一些推导,证明实在不会. 有一些公式,但个人觉得还是比较好理解.可能还会有错误,希望大佬友情指出. 最后,祝各位看官新年快乐. 回家过寒假去咯(虽然就\(4\)天\(qwq\)) 多项式 一个次数界为\(n\)的多项式\(A(x) = \sum_{i = 0