在线性代数中, LU分解(LU Decomposition)是矩阵分解的一种,可以将一个矩阵分解为一个单位下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积(有时是它们和一个置换矩阵的乘积).LU分解主要应用在数值分析中,用来解线性方程.求反矩阵或计算行列式. 什么是LU分解 如果有一个矩阵A,将A表示成下三角矩阵L和上三角矩阵U的乘积,称为A的LU分解. 更进一步,我们希望下三角矩阵的对角元素都为1: 一旦完成了LU分解,解线性方程组就会容易得多. LU分解的步骤 上一章讲到,对于满秩矩阵A来说,通过左乘一个消

一:矩阵LU分解 矩阵的LU分解目的是将一个非奇异矩阵\(A\)分解成\(A=LU\)的形式,其中\(L\)是一个主对角线为\(1\)的下三角矩阵:\(U\)是一个上三角矩阵. 比如\(A= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 3 & 7 & 2 \\ 2 & 3 & 3 \\ \end{bmatrix}\),我们最终要分解成如下形式: \[A=L\cdot U = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \

本文主要描述实现LU分解算法过程中遇到的问题及解决方案,并给出了全部源代码. 1. 什么是LU分解? 矩阵的LU分解源于线性方程组的高斯消元过程.对于一个含有N个变量的N个线性方程组,总可以用高斯消去法,把左边的系数矩阵分解为一个单位下三角矩阵和一个上三角矩阵相乘的形式.这样,求解这个线性方程组就转化为求解两个三角矩阵的方程组.具体的算法细节这里不做过多的描述,有很多的教材和资源可以参考.这里推荐的参考读物如下: Numerical recipes C++,还有包括MIT的线性代数公开课. 2.

n=4;%确定需要LU分解的矩阵维数 %A=zeros(n,n); L=eye(n,n);P=eye(n,n);U=zeros(n,n);%初始化矩阵 tempU=zeros(1,n);tempP=zeros(1,n);%初始化中间变量矩阵 A=[1 2 -3 4;4 8 12 -8;2 3 2 1;-3 -1 1 -4];%需要LU分解矩阵赋值 for p=1:n %将A矩阵赋值给U for q=1:n U(p,q)=A(p,q); end end jt=1;kt=0; for i=1:n-1

有如下方程组 ,当矩阵 A 各列向量互不相关时, 方程组有位移解,可以使用消元法求解,具体如下: 使用消元矩阵将 A 变成上三角矩阵 , , 使用消元矩阵作用于向量 b,得到向量 c,, , Ax=b 消元后变为 ,即 , 由于  为上三角矩阵, 使用回带法即可求解方程组. 对矩阵  做如下运算 .在消元过程中,已知 ,如何求解  呢? 表示将矩阵A的第二行乘以 1 再加上矩阵A的第三行得到矩阵B的第三行,矩阵B的第一二行于矩阵A的第一二行保持一致.根据语义, 表示将矩阵B的第二行乘以 -1 再

#include <iostream> #include <cstdio> #include <algorithm> #include <cstdlib> using namespace std; #define N 20 double A[N][N],L[N][N],U[N][N],b[N],Y[N],X[N]; /// --------------------------------------------------------------------

作者:凯鲁嘎吉 - 博客园http://www.cnblogs.com/kailugaji/ 三.实验程序 五.解答(按如下顺序提交电子版) 1.(程序) (1)LU分解源程序: function [l,u]=lu12(a,n) for k=1:n-1 for i=k+1:n a(i,k)=a(i,k)/a(k,k); for j=k+1:n a(i,j)=a(i,j)-a(i,k)*a(k,j); end end end l=eye(n); u=zeros(n,n); for k=1:n fo

相关概念: 正交矩阵:若一个方阵其行与列皆为正交的单位向量,则该矩阵为正交矩阵,且该矩阵的转置和其逆相等.两个向量正交的意思是两个向量的内积为 0 正定矩阵:如果对于所有的非零实系数向量x ,都有 x'Ax>0,则称矩阵A 是正定的.正定矩阵的行列式必然大于 0, 所有特征值也必然 > 0.相对应的,半正定矩阵的行列式必然 ≥ 0.   QR分解 矩阵的正交分解又称为QR分解,是将矩阵分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵的乘积的形式. 任意实数方阵A,都能被分解为A=QR.这里的Q为正交单位阵

一.A的LU分解:A=LU 我们之前探讨过矩阵消元,当时我们通过EA=U将A消元得到了U,这一节,我们从另一个角度分析A与U的关系 假设A是非奇异矩阵且消元过程中没有行交换,我们便可以将矩阵消元的EA=U形式改写成A=LU形式,其中E与L互为逆矩阵,且L是下三角矩阵 这么写有什么好处? 当我们使用EA=U时,E是由E1E2...En相乘得到的,我们发现E的每一行中都包含有前面操作的副操作,举个例子,将2个第一行加到第二行得到新的第二行,再将2个第二行加到第三行得到新的第三行,此时第三行中包含有4

线性代数中的一个核心思想就是矩阵分解,既将一个复杂的矩阵分解为更简单的矩阵的乘积.常见的有如下分解: LU分解:A=LU,A是m×n矩阵,L是m×m下三角矩阵,U是m×n阶梯形矩阵 QR分解: 秩分解:A=CD  ,  A是m×n矩阵,C是m×4矩阵,D是4×n矩阵. 奇异值分解:A=UDVT 谱分解: 在求解线性方程组中,一个核心的问题就是矩阵的LU分解,我们将一个矩阵A分解为两个更加简单的矩阵的复合LU,其中L是下三角矩阵,U是阶梯形矩阵.下三角矩阵和上三角矩阵具有非常良好的性质:Lx=y

///A 为矩阵,这里写成一维数组,如 [1],[1,2,3,4] function GetLU(a) { var n = a.length;//矩阵的总数据数目 var s = Math.sqrt(n);//矩阵的阶数 var L = new Array(n); var U = new Array(n); if (GetDet(a) != 0) { var allOrderNotEqulesZero = true; for (var i = 0; i < s; i++) { if (GetDe

接着上次LU分解的讲解,这次给出使用不同的计算LU分解的方法,这种方法称为基于GaxPy的计算方法.这里需要了解lapapck中的一些函数.lapack中有一个函数名为gaxpy,所对应的矩阵计算公式是:x = Gx + y; 对应的Matlab代码如下: function[L, U] =zgaxpylu(A) %calculate LU decomposition based on Gaxpy operation %the same way as zlu.m but differnt appr

1/6 LU 分解          LU 分解可以写成A = LU,这里的L代表下三角矩阵,U代表上三角矩阵.对应的matlab代码如下: function[L, U] =zlu(A) % ZLU - LU decomposition for matrix A % work as gauss elimination   [m, n] = size(A); if m ~= n      error('Error, current time only support square matrix')

朴素高斯消去法: function x = GauElim(n, A, b) if nargin < 2 for i = 1 : 1 : n for j = 1 : 1 : n A(i, j) = 1 / (i + j - 1); end b(i, 1) = 1; end end for j = 1 : n - 1 if abs(A(j, j)) < eps; error('zero pivot encountered'); end for i = j + 1 : n mult = A(i,

python 判断矩阵中每行非零个数的方法: # -*- coding: utf-8 -*- # @Time : 2018/5/17 15:05 # @Author : Sizer # @Site : # @File : test.py # @Software: PyCharm import time import numpy as np # data = np.array([ # [5.0, 3.0, 4.0, 4.0, 0.0], # [3.0, 1.0, 2.0, 3.0, 3.0], #

1. A = LU 之前在消元的过程中,我们看到可以将矩阵 \(A\) 变成一个上三角矩阵 \(U\),\(U\) 的对角线上就是主元.下面我们将这个过程反过来,通一个下三角矩阵 \(L\) 我们可以从 \(U\) 得到 \(A\), \(L\) 中的元素也就是乘数 \(l_{ij}\). 如果有一个 3*3 的矩阵,假设不需要进行行交换,那我们需要三个消元矩阵 \(E_{21}, E_{31}, E_{32}\) 来分别使矩阵 \(A\) 的 (2, 1).(3, 1) 和 (3, 2) 位置

1 orthonormal 向量与 Orthogonal 矩阵 orthonormal 向量定义为 ,任意向量  相互垂直,且模长为1: 如果将  orthonormal 向量按列组织成矩阵,矩阵为 Orthogonal 矩阵,满足如下性质: : 当 为方阵时,为其逆矩阵:当  为长方形矩阵时,为其左逆: 当矩阵 Q 为正交矩阵时,对向量变换变换前后点积不发生改变,,证明如下: ,当 x = y 时,有  . 对任意向量 b ,可以分解为一组正交向量的线性组合,,要求解系数x,可先写成矩阵形式:

摘自 推荐系统 https://www.cnblogs.com/lzllovesyl/p/5243370.html 一.SVD奇异值分解 1.SVD简介 SVD(singular value decomposition).其作用就是将一个复杂的矩阵分解成3个小的矩阵. 用一张图片表示SVD的结构 2.SVD计算 (1)特征值和特征向量 如果A为方阵则 一般我们会把W的这nn个特征向量标准化,此时W的nn个特征向量为标准正交基 这样我们的特征分解表达式可以写成 (2)当A是一般矩阵的时候 这样V和

对象:NumPy数组或矩阵,eg. data的元素为True和False numpy.sum(data) #统计data中True的个数numpy.count_nonzero(data) #统计data中True的个数 对象:NumPy数组或矩阵,eg. data的元素为数值 numpy.sum(data==0.2) #统计data中数值为0.2的个数numpy.count_nonzero(data==0.2) #统计data中数值为0.2的个数 numpy.sum(data<0.2) #统计d

1.特征值分解 主要还是调包: from numpy.linalg import eig 特征值分解:  A = P*B*PT  当然也可以写成 A = QT*B*Q  其中B为对角元为A的特征值的对角矩阵,P=QT, 首先A得对称正定,然后才能在实数域上分解, >>> A = np.random.randint(-10,10,(4,4)) >>> A array([[ 6, 9, -10, -1], [ 5, 9, 5, -5], [ -8, 7, -4, 4], [