(PS:本文会不断更新) $\newcommand\R{\operatorname{Res}}$ 如何计算$\zeta(2)=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots$? 这个问题是在1644年由意大利数学家蒙哥利(Pietro Mengoli)提出的,而大数学家欧拉于1735年第一次解决了这个问题.他得出著名的结果:\[\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}\] 解决这个问题的方法

巴塞尔问题(Basel problem)的多种解法——怎么计算\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots112+122+132+⋯ ? (PS:本文会不断更新) \newcommand\R{\operatorname{Res}} 如何计算\zeta(2)=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdotsζ(2)=112+122+132+⋯? 这个问题是在1644年由意大利数学家蒙哥利(Pietr

题目描述 明明这次又要出去旅游了,和上次不同的是,他这次要去宇宙探险!我们暂且不讨论他有多么NC,他又幻想了他应 该带一些什么东西.理所当然的,你当然要帮他计算携带N件物品的方案数.他这次又准备带一些受欢迎的食物, 如:蜜桃多啦,鸡块啦,承德汉堡等等当然,他又有一些稀奇古怪的限制:每种食物的限制如下: 承德汉堡:偶数个 可乐:0个或1个 鸡腿:0个,1个或2个 蜜桃多:奇数个 鸡块:4的倍数个 包子:0个,1个,2个或3个 土豆片炒肉:不超过一个. 面包:3的倍数个 注意,这里我们懒得考虑明明对

传送门 毒瘤出题人卡精度-- 思路 看到森林里加边删边,容易想到LCT. 然而LCT上似乎很难实现往一条链里代一个数进去求和,怎么办呢? 善良的出题人在下方给了提示:把奇怪的函数泰勒展开搞成多项式,就很好维护了. 注意到数都很小,精度问题不会太大(那你还被卡),可以直接在\(0\)处泰勒展开更为方便. 然后就做完啦~ 代码 要开O2才能过QwQ #include<bits/stdc++.h> namespace my_std{ using namespace std; #define pii

传送门 题意:现在有nnn个位置,每个位置上有一个值aia_iai​. 要求支持如下两种操作: 区间乘vvv 求区间的(1−ai)(1-a_i)(1−ai​)之积 思路: 考虑转换式子: Ans=∏i=lr(1−ai)=e∑i=lrln(1−ai)Ans=\prod_{i=l}^r(1-a_i)=e^{\sum_{i=l}^rln(1-a_i)}Ans=∏i=lr​(1−ai​)=e∑i=lr​ln(1−ai​) 于是只需维护∑i=lrln(1−ai)\sum_{i=l}^rln(1-a_i)∑

题目大意: 有c种不同的巧克力,每种无限个,意味着取出每种的几率每次为1/c.现在你需要取n次.然后将统计每种取出来的巧克力的数量.若为偶数则舍去,否则留下一个.问最后留下m个的概率是多少. 题目分析: 由于取出每种巧克力的概率始终相同,.不妨假设取出奇数个的巧克力正好是1~m,m+1则取出偶数次,然后求出这种情况的次数.最后答案乘以C(c,m)再除以c^n即可.由于可以取出相同的巧克力,所以采用指数型生成函数. 对于前m种,构造g(x)=x/1!+x^3/3!+x^5/5!.....=sinh

题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=5020 https://www.luogu.org/problemnew/show/P4546 如果保证 x=1 ,则可以用 LCT 维护每个点的函数值.不然的话就用 LCT 拿出那条链,dfs 一下 splay 现算.可以得 60 分. #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include&

题面 传送门 思路 本文中所有$m$是原题目中的$k$ 首先,这个一看就是$d=1,2,3$数据分治 d=1 不说了,很简单,$m^n$ d=2 先上个$dp$试试 设$dp[i][j]$表示前$i$个复读机用掉了$j$个机会,注意这个东西最后求出来的是分配方案,还要乘以一个$n!$ $dp[i][j]=\sum_{k=0}^j [d|k]\binom{n-j+k}{k}dp[i-1][j-k]$ $dp[i][j]=\sum_{k=0}^j [d|k]\frac{(n-j+k)!}{(n-j)

题面 LOJ传送门 思路 这里很重要 它提示我们,把给定的三个函数泰勒展开,并用LCT维护每一项泰勒展开式的值,维护十几项就满足了题目的精度要求 我们考虑一个函数在0位置的泰勒展开 $f(x)=\sum_{i=0}^{\infty} \frac{x^i f^{(i)}(0)}{i!}$ 发现后面式子里面的$\frac{x^i}{x!}$可以留到询问时候处理,我们只需要维护$\sum_{i=0}^{\infty} f^{(i)}(0)$即可 对于$f(x)=sin(ax+b)$,其导函数如下: $

参考:https://www.cnblogs.com/CQzhangyu/p/7500328.html --其实理解了泰勒展开之后就是水题呢可是我还是用了两天时间来搞懂啊 泰勒展开是到正无穷的,但是因为精度问题,所以一般展开十几项就可以(这里展开了17项).以下是公式: \[ e^x=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^i}{i!} \] \[ sin(x)=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{(-1)^ix^{2i+1}}{(2i+1)!} \] 然后用二项式定

[BZOJ5020][THUWC 2017]在美妙的数学王国中畅游 Description 数字和数学规律主宰着这个世界. 机器的运转, 生命的消长, 宇宙的进程, 这些神秘而又美妙的过程无不可以用数学的语言展现出来. 这印证了一句古老的名言: “学好数理化,走遍天下都不怕.” 学渣小R被大学的数学课程虐得生活不能自理,微积分的成绩曾是他在教室里上的课的最低分.然而他的某位陈姓室友却能轻松地在数学考试中得到满分.为了提升自己的数学课成绩,有一天晚上(在他睡觉的时候),他来到了数学王国. 数学王国

第一次写泰勒展开:本地和CC差距好大 题目大意 大厨住的城市里办了一场美食节.一条街上开设了$N$个摊位,编号为$1∼N$.这天开始时,第$i$个摊位的食物会导致食物中毒的概率是$P_i$.在这一天中,大厨发现某些摊位可能会根据顾客的反馈提供没那么有毒的食物.你需要处理$Q$个询问,询问有以下两类: 0 L R:求出:如果要吃遍$[L,R]$内所有摊位的食物,那么不会食物中毒的概率是多少:1 L R T:$[L,R]$中的所有摊位的食物会导致食物中毒的概率变为了原来的$T$倍.$T$是一个小于$

咕咕咕?咕咕咕! 题意: Description 数字和数学规律主宰着这个世界. 机器的运转, 生命的消长, 宇宙的进程, 这些神秘而又美妙的过程无不可以用数学的语言展现出来. 这印证了一句古老的名言: “学好数理化,走遍天下都不怕.” 学渣小R被大学的数学课程虐得生活不能自理,微积分的成绩曾是他在教室里上的课的最低分.然而他的某位陈姓室友却能轻松地在数学考试中得到满分.为了提升自己的数学课成绩,有一天晚上(在他睡觉的时候),他来到了数学王国. 数学王国中,每个人的智商可以用一个属于 [0,1]

题目链接: https://jzoj.net/senior/#main/show/6087 题目: 题解: 只需要统计$\prod_{i=l}^r (1-\frac{a_i}{x})$ =$exp(\sum_{i=l}^r ln(1-\frac{a_i}{x}))(x>a_i)$ 我们可以把$ln(1-x)|x<1|$泰勒展开,得到$-\sum_{i=1}^{∞}\frac{x^i}{i}=0-\frac{x}{1}-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}-...$ 那么里面化

Description 数字和数学规律主宰着这个世界.   机器的运转,   生命的消长,   宇宙的进程,   这些神秘而又美妙的过程无不可以用数学的语言展现出来.   这印证了一句古老的名言:   “学好数理化,走遍天下都不怕.”   学渣小R被大学的数学课程虐得生活不能自理,微积分的成绩曾是他在教室里上的课的最低分.然而他的某位陈姓室友却能轻松地在数学考试中得到满分.为了提升自己的数学课成绩,有一天晚上(在他睡觉的时候),他来到了数学王国.   数学王国中,每个人的智商可以用一个属于 [0

题目传送门 https://lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=5020 https://loj.ac/problem/2289 题解 这个 appear 和 disappear 操作显然是强行加上去用力啊增加代码长度的. 所以相当于就是什么东西套个 LCT 就行了. 所以考虑怎么快速求出一堆东西的分值和. \(sin, exp\),一次函数之间的加法似乎并没有什么优美的性质,所以我们考虑泰勒展开. \[ e^v = \sum_{i=0}^{\infty}

分析 又有毒瘤出题人把数学题出在树上了. 根据泰勒展开,有: \[e^x=1+\frac{1}{1!}x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+...\] \[sin(x)=x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5-...\] 然而题目里\(x\)的位置是一个\(ax+b\)怎么办啊?直接根据二项式定理暴力展开就好了. 题目中要求支持加边删边,可以想到肯定是LCT.维护一下链上所有结点各次项系数和,查询时直接利用整条链的信息计算答案即可. 计算

LINK:多项式 exp 做多项式的题 简直在嗑药. 前置只是 泰勒展开 这个东西用于 对于一个函数f(x) 我们不好得到 其在x处的取值. 所以另外设一个函数g(x) 来在x点处无限逼近f(x). 具体的 \(f(x) ≈ g(x)=g(0)+\frac{f^1(0)}{1!}x+\frac{f^2(0)}{2!}x^2+...+\frac{f^n(0)}{n!}x^n\) 牛顿迭代: 常用来求一个函数的零点:假设我们已经求得一个近似值x0 那么我们只需要过(x0,f(x0))这个点做函数图像

题目大意: 传送门 给一个动态树,每个节点上维护一个函数为$f(x)=sin(ax+b)$.$f(x)=e^{ax+b}$.$f(x)=ax+b$中的一个. 支持删边连边,修改节点上函数的操作. 每次询问$u$到$v$路径上所有函数带入$x$值的和. 题解: 给了个泰勒公式 (粘贴自百度) 不过……要是会导数这题也应该知道……不会导数给了也是白给……不知道出题人怎么想的…… 话说直接给麦克劳林展开+导数不好吗…… 因为$f(x)=e^x$的导数$f'(x)=e^x$所有当取$x_0=0$时就有其

题目大意 给你一棵树,每个点有一个函数\(f(x)\) 正弦函数 \(\sin(ax+b) (a\in[0,1],b\in[0,\pi],a+b\in[0,\pi])\) 指数函数 \(e^{ax+b} (a\in[−1,1],b\in[−2,0],a+b\in[−2,0])\) 一次函数 \(ax+b (a\in[−1,1],b\in[0,1],a+b\in[0,1])\) 还有一些操作: 操作1:连接两个点(保证连接完后还是森林) 操作2:断开两个点之间的边 操作3:修改某一个点的函数 操作