Latex中定义.定理.引理.证明 设置方法总结 在LaTex中需要有关定理.公理.命题.引理.定义等时,常用如下命令 \newtheorem{定理环境名}{标题}[主计数器名] \newtheorem{theorem}{Theorem}[Chapter] 意思就是定义一个以Theorem为标题的theorem环境,计数以章节数为主. \begin{theorem}[均值不等式] 设$A,B$是两个实数, 则$2AB\leq 2 A^2+B^2$. \end{theorem} 如果需要输出中文,

摘要:RRCF是亚马逊发表的一篇异常检测算法,是对周志华孤立森林的改进.但是相比孤立森林,具有更为扎实的理论基础.文章的理论论证相对较为晦涩,且没给出详细的证明过程.本文不对该算法进行详尽的描述,仅对其中的关键定理或引理进行证明. Theorem 1: 对于点集S构成的树RCF(S),假设S的bounding box的边长为P(S),一次切分分离x1和x2的概率为. 注意到,切分后,任意一边的bounding box的边长的减少量的期望值为,该期望值满足如下不等式: 因此,每一次切分导致的新子集

克拉默法则: 先说一下为什么要写这个,作为一个大一新生,必须要学的就包括了线性代数,而且线性代数等数学知识对计算机专业也有很大帮助.但是在学习过程中遇到一个讲解的不清楚的知识点(Cramer's Rule),于是上网查询,但是出乎意料的是网上的证明方法都复杂且大多数都是用验证法,这对于数学的学习是及其没有帮助的,我作为一个数学爱好者就开始探索了.我坚信所有成立的公式都可以有一个显式的解读,不能读出来总是你打开的方式不对. 一.引理(行列式的性质)(参考书籍:Introduction to Lin

Burnside引理: 参考自 某大佬对Burnside引理和Polya定理的讲解 相关概念 群:在数学中,群表示一个拥有满足封闭性.满足结合律.有单位元.有逆元的二元运算的代数结构. 置换群:由有限集合各元素的置换所构成的群. 一个置换的形式类似于 然后是Burnside引理: (1)玄学描述 在一个置换群G={a1,a2,a3……ak}中,把每个置换都写成不相交循环的乘积. 设C1(ak)是在置换ak的作用下不动点的个数,也就是长度为1的循环的个数. 通过上述置换的变换操作后可以相等的元素属

LTE (Lifting The Exponent Lemma)引理是一个解指数型不定方程的强力工具.它在Olympiad folklore非常知名,虽然它的起源已经无从查找了.它和Hensel’s lemma关系密切,无论命题还是证明.本文证明它并给出它的一些应用.我们可以用本引理解决大量的指数型不定方程问题.尤其是我们可以找到某些质因子的时候.有时LTE引理甚至能秒杀一道题.这个引理告诉我们如何求一个奇素数p在a^n-b^n中的次数.这个引理的证明是完全初等的而且对一般竞赛生不难理解. 我们

本文将介绍密码学中的PRF.PRP等相关概念,并介绍 PRP/PRF 转换引理及其证明,希望读完本文后,你能对现代密码学中这几个基础概念有所了解. 在开始本文前,希望你有如下预备知识: 现代密码学是怎样的一门学科? "Security Through Obscurity" 是什么意思? 集合.极限.函数.随机变量.采样等数学概念是什么? 概述 在之前的一篇博客中提到,伪随机性是现代密码学的根基,每一个密码算法都需要有这样的伪随机性来源.而伪随机数发生器只是一个承载伪随机性的初等原语,其

[问题2014S05] 解答  (本解答由谷嵘同学提供) 首先, 由 \(\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)\) 可得 \(a=0\), 或者由 Cauchy-Binet 公式知 \(|AB|=0\), 从而可得 \(a=0\). 其次, 我们来证明一个一般的结论. 引理  设 \(A\) 为 \(n\times m\) 矩阵, \(B\) 为 \(m\times n\) 矩阵, 则对任意的非零常数 \(\lambda_0\) 均有 \[m-\mathrm{rank}

[问题2014S10]  解答 先证明一个简单的引理. 引理  设 \(\lambda_0\) 是 \(n\) 阶方阵 \(A\) 的特征值, 则对任意的正整数 \(k\), Jordan 块 \(J_k(\lambda_0)\) 在 \(A\) 的 Jordan 标准型 \(J\) 中出现的个数为 \[\mathrm{rank}\big((A-\lambda_0I_n)^{k-1}\big)+\mathrm{rank}\big((A-\lambda_0I_n)^{k+1}\big)-2\,\m

[问题2014S12]  解答 先证明一个简单的引理. 引理  设 \(B\) 为 \(n\) 阶半正定 Hermite 阵, \(\alpha\) 为 \(n\) 维复列向量, 若 \(\overline{\alpha}^TB\alpha=0\), 则 \(B\alpha=0\). 引理的证明  由假设存在 \(n\) 阶复方阵 \(C\), 使得 \(B=\overline{C}^TC\), 从而 \[0=\overline{\alpha}^TB\alpha=\overline{\alpha

SVM和LASSO是机器学习里两个非常经典的模型,每个模型都有大量的文献进行研究.其中去年出版的这本书——<Regularization, Optimization, Kernels, and Support Vector Machines>的第一章证明了某些形式的SVM和LASSO其实是等价的,这里的“等价”是指给定一个SVM/LASSO的特例,可以将它们规约成一个LASSO/SVM的特例,归约前后的两个问题拥有相同的最优值,给定规约前问题的最优解,可以得到一个对应的规约后问题的最优解.因此

一些机器学习算法的简介 本节开始,介绍<Computer Science Theory for the Information Age>一书中第六章(这里先暂时跳过第三章),主要涉及学习以及学习的理论——VC理论.而本文主要是介绍一下什么是学习,以及一些常见的学习算法. (一)学习概念 首先,我们用一个例子来介绍什么是学习.假设我们想要用一个算法来识别不同类型的车,比如小汽车.卡车.拖拉机等.根据我们的思维以及对这个领域的知识可知道,我们可以用一系列特征来区分它们,比如我们可以用轮子的数量,发

高维空间中的正方体和Chernoff Bounds 本文将介绍高维空间中正方体的一些性质,以及一个非常常见也是非常有用的概率不等式——Chernoff Bounds. 考虑$d$维单位正方体$C=\{x|0\leq x_i\leq 1,i=1,\cdots,d\}$,其中心点为$(\frac{1}{2},\cdots,\frac{1}{2})$,体积为1.现在我们将其半径收缩到$1-\frac{c}{d}$,其体积为$(1-\frac{c}{d})^d\leq e^{-c}$,所以当$d$很大时

1. 证明满足 (6) 的范数可以由一个内积诱导出来. 这个结论属于 von Neumann. 证明: 以实线性空间为例, 取内积 $$\bex \sex{x,y}=\cfrac{1}{4}[\sen{x+y}^2-\sen{x-y}^2], \eex$$ 则 $\sex{x,y}$ 为内积, 且 $\sex{x,x}^\frac{1}{2}=\sen{x}$. 2. 证明内积连续地依赖于它的因子, 即若 $x_n\to x$, $y_n\to y$ (这意味着 $\sen{x_n-x}\to

考完驾照,回来填坑 /doge/doge 前两节分别介绍了tal算法中的合并函数和信道操作两个部分,我们将高斯信道的应用放在最后一节来介绍. 在之前的介绍中,我们一直在一个前提下进行讨论--即输入字符集是有限的. 但是,对于一个具有连续输出字符集的信道,如经典的二元高斯信道,它也可以是对称信道,但是它的输出是连续的,所以不能直接使用tal算法.为了将tal算法应用于改信道,我们就要对这个信道做一些近似. 总体思路类似微分思想,将连续输出分成若干个非常小的离散输出. 我们假设W为一个具有连续输出的

最近,研究了两天的Burnside引理和Polya定理之间的联系,百思不得其解,然后直到遇到下面的问题: 对颜色限制的染色 例:对正五边形的三个顶点着红色,对其余的两个顶点着蓝色,问有多少种非等价的着色? 其中置换的方法有旋转 \(0^{\circ}, 72^{\circ}, 144^{\circ}, 216^{\circ}, 288^{\circ}\), 穿过一个点做对称轴进行翻转. Burnside引理的证明 那么,在解决这个问题之间,我们首先要定义和证明一些东西: 在集合\(X\)的置换群

文件链接 Karp在1977年的论文,讲述了一种\(O(nm)\)的算法,用来求有向强连通图中最小平均权值回路(具体问题请参照这里) 本人翻译(有删改): 首先任取一个节点 \(s\) ,定义 \(F_k(v)\) 为从 \(s\) 到 \(v\) 恰好经过 \(k\) 条边的最短路(不存在则为 \(\infty\) ), \(\lambda^*\) 表示答案,则 Theorem 1 \[\tag{1}\label{theorem}\lambda^* = \min_{v \in V} \max_

KMP算法 KMP算法是一种字符串匹配算法,他可以在O(n+m)的时间内求出一个模式串在另一个模式串下出现的次数. KMP算法是利用next数组进行自匹配,然后来进行匹配的. Next数组 Next数组表示一个前缀的最长proper的长度. 简单地讲,$S[1 \sim next[i]] = S[next[i]+1 \sim i] $. 循环节 一个字符串\(S\),若是由字符串\(P\)重复\(k(k>1)\)次形成的,则称字符串\(P\)是\(S\)的一个循环节.使\(k\)最大的循环节被称

Minimum Palindromic Factorization(最少回文串分割) 以下内容大部分(可以说除了关于回文树的部分)来自论文A Subquadratic Algorithm for Minimum Palindromic Factorization. 问题描述 给出一个字符串\(S\),将\(S\)划分为\(k\)个连续的字符串,使得每一个都是回文串,问\(k\)的最小值. 简单做法 直接做法就是\(O(n^2)\)的\(dp\),设\(PL[i]\)表示\(S[1..i]\)划分

早在1990年,Leslie Lamport(即 LaTeX 中的"La",微软研究院科学家,获得2013年图灵奖)向ACM Transactions on Computer Systems (TOCS)提交了关于Paxos算法的论文The Part-Time Parliament.几位审阅人表示,虽然论文没什么特别的用处,但还是有点意思,只是要把Paxos相关的故事背景全部删掉.Leslie Lamport心高气傲,觉得审阅人没有丝毫的幽默感,于是撤回文章不再发表.直到1998年,用

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