快速数论变换大整数乘法

2024-10-17

「算法笔记」快速数论变换（NTT）

一.简介前置知识:多项式乘法与 FFT. FFT 涉及大量 double 类型数据操作和 $\sin,\cos$ 运算,会产生误差.快速数论变换(Number Theoretic Transform,简称 NTT)在 FFT 的基础上,优化了常数及误差. NTT 其实就是把 FFT 中的单位根换成了原根. NTT 解决的是多项式乘法带模数的情况,可以说有些受模数的限制,多项式系数应为整数. 二.原根与 NTT 「算法笔记」基础数论 2 中提及了原根的部分内容. 对于质数 $p$,若

BZOJ2179: FFT快速傅立叶 & caioj1450:【快速傅里叶变换】大整数乘法

[传送门:BZOJ2179&caioj1450] 简要题意: 给出两个超级大的整数,求出a*b 题解: Rose_max出的一道FFT例题,卡掉高精度 = =(没想到BZOJ也有) 只要把a和b的每一位当作是多项式的系数,然后做FFT就好了然后将答案取下来,进行进位的操作,最后输出就好了参考代码: #include<cstdio> #include<cstring> #include<cstdlib> #include<algorithm> #i

Algorithm: 多项式乘法 Polynomial Multiplication: 快速傅里叶变换 FFT / 快速数论变换 NTT

Intro: 本篇博客将会从朴素乘法讲起,经过分治乘法,到达FFT和NTT 旨在能够让读者(也让自己)充分理解其思想模板题入口:洛谷 P3803 [模板]多项式乘法(FFT) 朴素乘法约定:两个多项式为$A(x)=\sum_{i=0}^{n}a_ix^i,B(x)=\sum_{i=0}^{m}b_ix^i$ Prerequisite knowledge: 初中数学知识(手动滑稽) 最简单的多项式方法就是逐项相乘再合并同类项,写成公式: 若$C(x)=A(x)B(x)$,那么\(C(x

快速傅里叶变换 & 快速数论变换

快速傅里叶变换 & 快速数论变换 [update 3.29.2017] 前言 2月10日初学,记得那时好像是正月十五放假那一天当时写了手写版的笔记过去近50天差不多忘光了,于是复习一下,具体请看手写版笔记参考文献:picks miskcoo menci 阮一峰 Fast Fourier Transform 单位复数根虚数复数 $i$,表示逆时针旋转90度 $a+bi$,对应复平面上的向量复数加法同向量复数乘法 "模长相乘,幅角相加",\((a+bi)*(

【算法】快速数论变换(NTT)初探

[简介] 快速傅里叶变换(FFT)运用了单位复根的性质减少了运算,但是每个复数系数的实部和虚部是一个余弦和正弦函数,因此系数都是浮点数,而浮点数的运算速度较慢且可能产生误差等精度问题,因此提出了以数论为基础的具有循环卷积性质的快速数论变换(NTT). 在FFT中,通过$n$次单位复根即$\omega^n=1$的$\omega$来运算,而对于NTT来说,则是运用了素数的原根来运算. [原根] [定义] 对于两个正整数$a,m$满足$gcd(a, m)=1$,由欧拉定理可知,存在正整数$d\leq

NTT 快速数论变换

NTT 先学习FFT 由于FFT是使用复数运算,精度并不好,而且也无法取模,所以有了NTT(快速数论变换). 建议先完全理解FFT后再学习NTT. 原根 NTT使用与单位根性质相似的原根来代替单位根. 定义:设$m$是正整数,$a$是整数,若$a$模$m$的阶等于$φ(m)$,则称$a$为模$m$的一个原根. 如果你不知道阶定义:对于$an≡1(modp)an≡1(modp)$最小的$n$,我们称之为$a$模$p$的阶,记做$δp(a)$ 如果你

poj2389-Bull Math(大整数乘法)

一,题意: 大整数乘法模板题二,思路: 1,模拟乘法(注意"逢十进一") 2,倒序输出(注意首位0不输出) 三,步骤: 如:555 x 35 = 19425 5 5 5 5 5 5 x 3 5 x 3 5 ----------- ==> ---------- 2 7 7 5 25 25 25 + 1 6 6 5 +15 15 15 ------------- ----------------- 1 9 4 2 5 15 40 40 2

POJ 1001 解题报告高精度大整数乘法模版

题目是POJ1001 Exponentiation 虽然是小数的幂最终还是转化为大整数的乘法这道题要考虑的边界情况比较多做这道题的时候,我分析了网上的两个解题报告,发现都有错误,说明OJ对于错误的判断还不够严厉. 对边界情况的讨论其实应该是思维严密的表现,当然这并不能表明我写的一点错误都没有,只是多多分析一下还是很有好处的. #include <iostream> #include <fstream> #include <string> #include &l

OpenJudge 2980 大整数乘法

链接地址:http://bailian.openjudge.cn/practice/2980/ 题目: 总时间限制: 1000ms 内存限制: 65536kB 描述求两个不超过200位的非负整数的积. 输入有两行,每行是一个不超过200位的非负整数,没有多余的前导0. 输出一行,即相乘后的结果.结果里不能有多余的前导0,即如果结果是342,那么就不能输出为0342. 样例输入 12345678900 98765432100 样例输出 1219326311126352690000 来源程序

大整数乘法python3实现

因为python具有无限精度的int类型,所以用python实现大整数乘法是没意义的,可是思想是一样的.利用的规律是:第一个数的第i位和第二个数大第j位相乘,一定累加到结果的第i+j位上,这里是从0位置開始算的.代码例如以下: import sys def list2str(li): while li[0]==0: del li[0] res='' for i in li: res+=str(i) return res def multi(stra,strb): aa=list(stra) bb

【老鸟学算法】大整数乘法——算法思想及java实现

算法课有这么一节,专门介绍分治法的,上机实验课就是要代码实现大整数乘法.想当年比较混,没做出来,颇感遗憾,今天就把这债还了吧! 大整数乘法,就是乘法的两个乘数比较大,最后结果超过了整型甚至长整型的最大范围,此时如果需要得到精确结果,就不能常规的使用乘号直接计算了.没错,就需要采用分治的思想,将乘数“分割”,将大整数计算转换为小整数计算. 在这之前,让我们回忆一下小学学习乘法的场景吧.个位数乘法,是背诵乘法口诀表度过的,不提也罢:两位数乘法是怎么做的呢?现在就来一起回忆下12*34吧: 3

[大整数乘法] java代码实现

上一篇写的“[大整数乘法]分治算法的时间复杂度研究”,这一篇是基于上一篇思想的代码实现,以下是该文章的连接: http://www.cnblogs.com/McQueen1987/p/3348426.html 代码主要实现大整数乘法,过程中也涉及到[大整数加法] 和 [大整数减法] 的计算,代码如下: 类1 ———————————————————————————————————————————————————————————— package bigIntNum; public class Nu

大整数乘法（Comba 乘法（Comba Multiplication）原理）

Comba 乘法以(在密码学方面)不太出名的 Paul G. Comba 得名.上面的笔算乘法,虽然比较简单, 但是有个很大的问题:在 O(n^2) 的复杂度上进行计算和向上传递进位,看看前面的那个竖式,每计算一次单精度乘法都要计算和传递进位,这样的话就使得嵌套循环的顺序性很强,难以并行展开和实现.Comba 乘法则无需进行嵌套进位来计算乘法,所以虽然其时间复杂度和基线乘法一样,但是速度会快很多.还是以计算 123 * 456 为例: 1 2 3 x

HDU2303（数论）大整数求余+素数筛选

Sample Input 143 10 143 20 667 20 667 30 2573 30 2573 40 0 0 Sample Output GOOD BAD 11 GOOD BAD 23 GOOD BAD 31 给你两个数a ,b: 让你求a 的最小素因子是否小于b 枚举小于b 的素数对a进行大整数求余即可. 按照这个栈爆了,看别人对大整数部分进行了处理(感觉对得莫名其妙,稍微改点点就不过╯▽╰/) #include <iostream> #include <cstdi

JS实现大整数乘法（性能优化、正负整数）

本方法的思路为: 一:检查了输入的合法性(非空,无非法字符) 二:检查输入是否可以进行简单计算(一个数为 0,1,+1,-1) 三:去掉输入最前面可能有的正负符号,并判断输出的正负四:将输入的值分成4位一截(分的长度太短,性能太差,长度太长,精度容易降低) 五:遍历相乘得到最终数组(这里用了递归) 六:遍历最终数组,拼接最终的数(不建议用join,因为数组中的元素可能小于四位,拼接时会丢失0) 七:将正负符号与最终的数拼接输出代码如下: <!DOCTYPE html> <html&g

算法笔记_034:大整数乘法（Java）

目录 1 问题描述 2 解决方案 2.1 蛮力法 1 问题描述计算两个大整数相乘的结果. 2 解决方案 2.1 蛮力法 package com.liuzhen.chapter5; import java.math.BigInteger; public class BigNumber { /* * 参数A:进行乘法运算的大整数A,用字符串形式表示 * 参数B:进行乘法运算的另一个大整数B,用字符串形式表示 * 函数功能:以字符串形式返回A*B的结果 */ public String getM

大整数乘法（c++）【转载】

摘自<c++数据结构原理与经典问题求解> #include #include #include using namespace std; //返回位数为size1+size2 int* multi(int* num1,int size1,int* num2,int size2) { int size=size1+size2; int* ret=new int[size]; memset(ret,0,sizeof(int)*size); for(int i=0;i { int k=i; for(

Java实现大整数乘法

1 问题描述计算两个大整数相乘的结果. 2 解决方案 2.1 蛮力法 package com.liuzhen.chapter5; import java.math.BigInteger; public class BigNumber { /* * 参数A:进行乘法运算的大整数A,用字符串形式表示 * 参数B:进行乘法运算的另一个大整数B,用字符串形式表示 * 函数功能:以字符串形式返回A*B的结果 */ public String getMultiBigNumber(String A,Stri

多项式乘法（FFT）模板 && 快速数论变换（NTT）

具体步骤: 1.补0:在两个多项式最前面补0,得到两个 $2n$ 次多项式,设系数向量分别为 $v_1$ 和 $v_2$. 2.求值:用FFT计算 $f_1 = DFT(v_1)$ 和 $f_2=DFT(v_2)$.这里得到的 $f_1$ 和 $f_2$ 分别是两个输入多项式在 $2n$ 次单位根处的各个取值(即点值表示) 3.乘法:把两个向量 $f_1$ 和 $f_2$ 的每一维对应相乘,得到向量 $f$.它对应输入多项式乘积的点值表示. 4.插值:用FFT计算 $v=IDFT(f)$,其实

BZOJ 3992: [SDOI2015]序列统计 [快速数论变换生成函数离散对数]

3992: [SDOI2015]序列统计 Time Limit: 30 Sec Memory Limit: 128 MBSubmit: 1017 Solved: 466[Submit][Status][Discuss] Description 小C有一个集合S,里面的元素都是小于M的非负整数.他用程序编写了一个数列生成器,可以生成一个长度为N的数列,数列中的每个数都属于集合S. 小C用这个生成器生成了许多这样的数列.但是小C有一个问题需要你的帮助:给定整数x,求所有可以生成出的,且满足数列中

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