欧几里得(Euclid)与拓展的欧几里得算法 欧几里得(Euclid)与拓展的欧几里得算法 欧几里得算法 原理 实现 拓展的欧几里得算法 原理 递归求解 迭代求解 欧几里得算法 原理 欧几里得算法是一种快速计算最大公约数的算法,对于任意的两个数\((a,b)\),其最大公约数表示为\(gcd(a,b)\),根据欧几里得算法,\(gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)\).证明如下: 如果\(b>a\),显然成立:因此只需考虑\(b<a\)的情况.根据初等数学知识,可知\(a,b\)的关系可表

题目链接: BZOJ: https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1477 POJ: https://cn.vjudge.net/problem/POJ-1061 题目描述: Description 两只青蛙在网上相识了,它们聊得很开心,于是觉得很有必要见一面.它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上,于是它们约定各自朝西跳,直到碰面为止.可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情,既没有问清楚对方的特征,也没有约定见面的具体位置.不过青蛙们都是

学习链接:http://www.cnblogs.com/frog112111/archive/2012/08/19/2646012.html 先来学习一下什么是欧几里得算法: 欧几里得原理是:两个整数a ,b的公约数等于b ,a%b这两个数的公约数.即gcd(a,b)=gcd(b,a%b),他们的任何公约数都是相同的,所以他们的最大公约数也是相同的. 那么结合任何数和0的最大公约数都是他自己,就可以得出最大公约数的求解算法了. int gcd(int a, int b) { ) return a

斐蜀定理 内容 斐蜀定理又叫贝祖定理,它的内容是这样的: 若$a,bin N$,那么对于任意x,y,方程$ax+by=gcd(a,b)*k(kin N)$一定有解,且一定有一组解使$ax+by=gcd(a,b)$ 推论 a,b互素的充要条件是方程$ax+by=1$有整数解. 证明 令$d=gcd(a,b)$,则$d|a,d|b$ 那么就能得到$d|(ax+by)$ 于是我们设s为$ax+by$能得到的最小正整数值,则$d|s$. 令$q=adiv s$(此处为整除),$r=amod s$,则$a

欧几里得& 拓展欧几里得(Euclid & Extend-Euclid) 欧几里得算法(Euclid) 背景: 欧几里德算法又称辗转相除法.用于计算两个正整数a.b的最大公约数. --百度百科 代码: 递推的代码是相当的简洁: int gcd(int a,int b) { return b == 0 ? a : gcd(b, a % b); } 分析: 方法说了是辗转相除法,自然没有什么好介绍的了. . Fresh肯定会认为这样递归下去会不会爆栈?实际上在这里是不会爆栈的,由于递归的层数是

欧几里德算法又称辗转相除法,用于计算两个整数a,b的最大公约数. 基本算法:设a=qb+r,其中a,b,q,r都是整数,则gcd(a,b)=gcd(b,r),即gcd(a,b)=gcd(b,a%b). 递归版算法: int gcd(int a,int b) { ) return a; return gcd(b,a%b); } 递归优化版: int gcd(int a,int b) { return b ? gcd(b,a%b) : a; } 迭代版: int Gcd(int a, int b)

欧几里得算法 又称辗转相除法 迭代求两数 gcd 的做法 由 (a,b) = (a,ka+b) 的性质:gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) int gcd(int a,int b){ if(b==) return a; return gcd(b,a%b); } O(logn) 裴蜀定理: 设 (a,b) = d,则对任意整数 x,y,有 d|(ax+by) 成立: 特别地,一定存在 x,y 满足 ax+by = d 等价的表述:不定方程 ax+by = c(a,b,c 为整数)

A/B Time Limit: 1000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)Total Submission(s): 2390    Accepted Submission(s): 1731 Problem Description 要求(A/B)%9973,但由于A很大,我们只给出n(n=A%9973)(我们给定的A必能被B整除,且gcd(B,9973) = 1).   Input 数据的第一行是一

void resetNumA(string numAStr); //使用string重置numB void resetNumB(string numBStr); //将数组转换为字符串,用于输出 string getNumString(int* num); //判断两个数字哪个大 int compare(string numAStr, string numBStr); //加法 string sum(string numAStr, string numBStr); //减法 string sub

1141. RSA Attack Time limit: 1.0 secondMemory limit: 64 MB The RSA problem is the following: given a positive integer n that is a product of two distinct odd primes p and q, a positive integer e such that gcd(e, (p-1)*(q-1)) = 1, and an integer c, fi

相信大家对欧几里得算法,即辗转相除法不陌生吧. 代码如下: int gcd(int a, int b){ return !b ? gcd(b, a % b) : a; } 而扩展欧几里得算法,顾名思义就是对欧几里得算法的扩展. 切入正题: 首先我们来看一个问题: 求整数x, y使得ax + by = 1, 如果gcd(a, b) != 1, 我们很容易发现原方程是无解的.则方程ax + by = 1有正整数对解(x, y)的必要条件是gcd(a, b) = 1,即a, b 互质. 此时正整数对解

写诗或者写程序的时候,我们经常要跟欧几里得算法打交道.然而有没要考虑到为什么欧几里得算法是有效且高效的,一些偏激(好吧,请允许我用这个带有浓重个人情感色彩的词汇)的计算机科学家认为,除非程序的正确性在数学上得到了完全严格的证实,否则我们不能认为程序是正确的.既然存在即合理,因此下面我就详细得解说一下欧几里得算法,它为什么是正确的算法(算法过程就不给出了,有了思想,无论是迭代还是循环实现应该都不成问题),为什么有那么好的时间复杂性. 首先还是证明上述命题:注意到证明了该命题就证明了欧几里得算法的正

一.欧几里得算法 名字非常高大上的不一定难,比如欧几里得算法...其实就是求两个正整数a, b的最大公约数(即gcd),亦称辗转相除法 需要先知道一个定理: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b) (其中a mod b != 0)  或  b (其中a mod b == 0) 证明: 后半部分呢...是废话,于是只要证明前半部分即可. 不妨设g = gcd(a, b),于是有 a = g * A, b = g * B 且 (A, B) = 1 故gcd(b, a mod b) =

先感谢参考文献:http://www.cnblogs.com/frog112111/archive/2012/08/19/2646012.html 注:以下讨论的数均为整数 一.欧几里得算法(重点是证明,对后续知识有用) 欧几里得算法,也叫辗转相除,简称 gcd,用于计算两个整数的最大公约数 定义 gcd(a,b) 为整数 a 与 b 的最大公约数 引理:gcd(a,b)=gcd(b,a%b) 证明: 设 r=a%b , c=gcd(a,b) 则 a=xc , b=yc , 其中x , y互质

求最小公约数,最easy想到的是欧几里得算法,这个算法也是比較easy理解的,效率也是非常不错的. 也叫做辗转相除法. 对随意两个数a.b(a>b).d=gcd(a.b),假设b不为零.那么gcd(a,b)=gcd(b.a%b) 证明: 令 r=a%b,即存在k,使得 a=b*k+r,那么r=a-b*k:显然r>=0,  r%d=((a%d)-(b*k)%d)%d.由于a%d=b%d=0,所以r%d=0: 因此求gcd(a,b)能够转移到求gcd(b,a%b).那么这就是个递归过程了.那什么时

1009:数论 扩展欧几里得算法 其实自己对扩展欧几里得算法一直很不熟悉...应该是因为之前不太理解的缘故吧这次再次思考,回看了某位大神的推导以及某位大神的模板应该算是有所领悟了 首先根据题意:L1=x+mt; L2=y+nt; 可知当两人相遇: L1-L2=k*l; 即 :(m-n)t-(y-x)=kL 根据整除取余的方法:[ a/b=c...d --> a-d=c*b;] 可得到:(m-n)t mod l=y-x; 得到线性同余方程 此方程有解当且仅当 y-x 能被 m-n 和l的最大公约数

关于欧几里得算法求最大公约数算法, 代码如下: int gcd( int a , int b ) { if( b == 0 ) return a ; else gcd( b , a % b ) ; } 证明: 对于a,b,有a = kb + r  (a , k , b , r 均为整数),其中r = a mod b . 令d为a和b的一个公约数,则d|a,d|b(即a.b都被d整除), 那么 r =a - kb ,两边同时除以d 得 r/d = a/d - kb/d = m (m为整数,因为r也

greatest common divisor(最大公约数) 1.欧几里得算法 欧几里德算法又称辗转相除法,用于计算两个正整数a,b的最大公约数. 其计算原理依赖于下面的定理: 两个整数的最大公约数等于其中较小的那个数和两数相除余数的最大公约数. 最大公约数(greatest common divisor)缩写为gcd. gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) (不妨设a>b 且r=a mod b ,r不为0),以此辗转相除得到最终结果.   证明: a可以表示成a = kb + r

求a,b的最大公约数我们经常用欧几里得算法解决,也称辗转相除法, 代码很简短, int gcd(int a,int b){ return (b==0)?a:gcd(b,a%b); } 但其中的道理却很深刻,完全理解不简单,以前都只是记一下代码,今天研究了很久,才差不多理解了其中的原因 从代码可以看出,gcd(a,b)=gcd(b,a%b),关键就在于证明这个等式 证明如下, 设c=gcd(a,b),则a=kc,b=nc(n,c为正整数), 设r=a%b,可得r=a-mb(m为a/b向下取整),

在讲解扩展欧几里得之前我们先回顾下辗转相除法: \(gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)\)当a%b==0的时候b即为所求最大公约数 好了切入正题: 简单地来说exgcd函数求解的是\(ax+by=gcd(a,b)\)的最小正整数解.根据数论的相关知识,一定存在一组解\(x,y\)使得\(ax+by=gcd(a,b)\).那就来谈谈具体如何来求解吧. 根据辗转相除法的内容\(gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)\)我们可以得到:\[ax_1+by_1=gcd(a,b)=gcd(b,a\%