连续函数  然后多项式函数是稠密的 多项式子空间是无穷维的 多项式空间就是在全体连续函数的线性空间中稠密 有限维子空间是闭的 多项式空间也不是有限维 2的地方说 有限维真子空间必不稠密 那是对的啊 有限维真子空间本身是闭的 闭包是他本身 是真子空间 不稠密  多项式子空间稠密:他的闭包等于全空间 多项式子空间是稠密的 但他不是闭 Riez引理是把d(x,M)=||x||弱化为d(x,M)>(1-ε)||x|| 我误以为不是开集就是闭集 ,以为真子空间就是闭空间,还有半开半闭的 1.Riez引理是

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1. (a) 证明 (6) 定义了范数. (b) 证明它们在 (5) 式意义下是等价的. 证明: $$\bex |(z,u)|'\leq |(z,u)|\leq 2|(z,u)|',\quad |(z,u)|''\leq |(z,u)|\leq \sqrt{2}|(z,u)|''. \eex$$ 2. 证明定理 2. 证明: 对 $y_1,y_2\in \bar Y$, $$\bex \exists\ Y\ni y_{1n}\to y_1,\quad Y\ni y_{2n}\to y_2, \e

1. 了解SVM 1. Logistic regression 与SVM超平面 给定一些数据点,它们分别属于两个不同的类,现在要找到一个线性分类器把这些数据分成两类.如果用x表示数据点,用y表示类别(y可以取或者-1,分别代表两个不同的类),一个线性分类器的学习目标便是要在n维的数据空间中找到一个超平面(hyper plane),这个超平面的方程可以表示为( $W^T$中的T代表转置): $W^Tx+b=0$ 这个可以说是我们熟悉的logistic regression的变形. Logistic

支持向量机(Support Vector Machine, SVM)是一种二分类模型.给定训练集D = {(x1,y1), (x2,y2), ..., (xm,ym)},分类学习的最基本的想法即是找到一个超平面S:,从而将训练集D的样本空间中不同类别的样本区分开. SVM的模型,由简至繁地,包括:线性可分支持向量机(linear SVM in linearly separable case).线性支持向量机(linear SVM)以及非线性支持向量机(non-linear SVM). 当训练数据

开发库: libsvm, liblinear      GitHub地址 SVM难点:核函数选择 一.基本问题 找到约束参数ω和b,支持向量到(分隔)超平面的距离最大:此时的分隔超平面称为“最优超平面” 距离表示为, 问题表示为, #支持向量机名字的由来:由支持向量得到的分类器  二.问题的求解 上述问题为一个凸二次优化问题,可以由现成的优化计算包求解 高效方法:用拉格朗日乘子法求解其对偶问题,得到问题的解—— SMO算法:在参数初始化后, SMO算法之所以高效,由于在固定其他参数后,仅优化两个

从基础开始讲起,没有这些东西看支持向量机真的很难!   1.拉格朗日乘子(Lagrangemultiplier)   假设需要求极值的目标函数(objectivefunction)为f(x,y),限制条件为φ(x,y)=M 设  定义一个新函数  则用偏导数方法列出方程: . .  求出x,y,λ的值,代入即可得到目标函数的极值. 扩展为多个变量的式子为: F(x1,x2,...,xn,λ)=f(x1,x2,...,xn)-λg(x1,x2,...,xn) 则求极值点的方程为:∂F/∂xi=0(

1. 了解SVM 1. Logistic regression回顾 Logistic regression目的是从特征中学习出一个0/1二分类模型,而这个模型是将特性的线性组合作为自变量,由于自变量的取值范围是负无穷到正无穷.因此,使用logistic function(或称作sigmoid function)将自变量映射到(0,1)上,映射后的值被认为是属于y=1的概率. 假设函数  其中$x$是$n$维特征向量,函数$g$就是logistic function.     而的图像是   可以

支持向量机的目的是寻找一个能讲两类样本正确分类的超平面,很多时候这些样本并不是线性分布的. 由此,可以将原始特征空间映射到更高维的特征空间,使其线性可分.而且,如果原始空间是有限维,即属性数量有限, 那么一定存在一个高维特征空间使样本可分. k(.,.)就是核函数.整理后 定理证明:只要一个对称函数所对应的核矩阵半正定,它就能作为核函数使用. 此外,还可以组合函数得到新的核函数,比如假设K1和K2都是核函数,线性组合:r1K1+r2K2也是核函数,还有: 软间隔: 在分类问题中,我们很难完全将数

希尔伯特空间是老希在解决无穷维线性方程组时提出的概念, 原来的线性代数理论都是基于有限维欧几里得空间的, 无法适用, 这迫使老希去思考无穷维欧几里得空间, 也就是无穷序列空间的性质. 大家知道, 在一个欧几里得空间R^n上,所有的点可以写成为:X=(x1,x2, x3,....xn).  那么类似的, 在一个无穷维欧几里得空间上点就是:X=(x1, x2, x3,....xn,.....), 一个点的序列. 欧氏空间上有两个重要的性质,一是每个点都有一个范数(绝对值,或者说是一个点到原点的距离)

1 VC维的定义 VC维其实就是第一个break point的之前的样本容量.标准定义是:对一个假设空间,如果存在N个样本能够被假设空间中的h按所有可能的2的N次方种形式分开,则称该假设空间能够把N个样本打散:假设空间的VC维就是它能打散的最大样本数目N.若对任意数目的样本都有函数能将它们打散,则函数集的VC维是无穷大: 几种假设空间的VC维如下: 2 感知机的VC维 d维感知机的vc维是d+1.(证明略) 3 VC维的物理意义 VC维表示的是做二分类时假设空间的自由度,是把数据集打散的能力.

本文转载自 火光摇曳 原文链接:VC维的来龙去脉 目录: 说说历史 Hoeffding不等式 Connection to Learning 学习可行的两个核心条件 Effective Number of Hypotheses Growth Function Break Point与Shatter VC Bound VC dimension 深度学习与VC维 小结 参考文献 VC维在机器学习领域是一个很基础的概念,它给诸多机器学习方法的可学习性提供了坚实的理论基础,但有时候,特别是对我们工程师而言

书籍:<微分几何>彭家贵 局部微分几何 第一章.欧式空间 1.1向量空间 (1)向量空间 a.向量空间是集合,集合中的元素需要定义加法和乘法运算.向量空间和n维数组空间R^n不是同一个概念. b.欧式向量空间是向量空间的子集,满足有限维,还需要定义内积.同理,n维欧式向量空间与n维内积空间R^n也不是同一个概念. 施密特正交化(Schmidt orthogonalization)(http://jingyan.baidu.com/article/c74d60007ab7500f6a595dcc

高维空间中的高斯分布和随机投影 (一)在高维球体表面产生均匀分布点的方法 我们来考虑一个采样问题,就是怎样在高维单位球体的表面上均匀的采样.首先,考虑二维的情况,就是在球形的周长上采样.我们考虑如下方法:第一,先在一个包含该圆形的外接正方形内均匀的采样:第二,将采样到的点投影到圆形上.具体地说就是,第一,先独立均匀的从区间$[-1,1]$(我们假设圆形跟正方形的中心点都在原点)内产生两个值组成一个二维的点$(x_1,x_2)$:第二,将该二维点投影到圆形上.例如,如下图所示,如果我们产生点是图中

前置知识   矩阵的逆 知识地图   首先我们将了解一种叫升维的方法,用已有特征构造更多的特征.接着通过对空间与投影建立一定的概念后,推导出最小二乘法. 当特征数量不足时   在上一篇<初识线性回归>中,我们假设要处理的问题有足够的样本数量和足够的特征数量.记得样本数量是用m表示,特征数量是用n表示.假如只有1个特征该如何构建模型呢?   假设现在有一个数据集,数据集中只包含一个地区房屋的面积信息和销售情况.即只有面积这一个特征,如何只用一个特征来预测房屋的销售情况呢?   可视化能帮助我们更

VC维的来龙去脉——转载自“火光摇曳” 在研究VC维的过程中,发现一篇写的很不错的VC维的来龙去脉的文章,以此转载进行学习. 原文链接,有兴趣的可以参考原文进行研究学习 目录: 说说历史 Hoeffding不等式 Connection to Learning 学习可行的两个核心条件 Effective Number of Hypotheses Growth Function Break Point与Shatter VC Bound VC dimension 深度学习与VC维 小结 参考文献 VC

本文转自VC维的来龙去脉 本文为直接复制原文内容,建议阅读原文,原文排版更清晰,且原网站有很多有意思的文章. 阅读总结: 文章几乎为台大林老师网课“机器学习可行性”部分串联总结,是一个很好的总结. Hoeffding不等式 -> 学习可行的两个核心条件 -> 有效假设 -> 成长函数 -> VC维 以下为原文: 目录: 说说历史 Hoeffding不等式 Connection to Learning 学习可行的两个核心条件 Effective Number of Hypothese

http://mathworld.wolfram.com/HilbertSpace.html A Hilbert space is a vector space  with an inner product  such that the norm defined by turns  into a complete metric space. If the metric defined by the norm is not complete, then  is instead known as a

欧氏空间 → 线性空间 + 内积 ⇒ 内积空间(元素的长度,元素的夹角和正交) 内积空间 + 完备性 ⇒ 希尔伯特空间 0. 欧几里得空间 欧氏空间是一个特别的度量空间,它使得我们能够对其的拓扑性质,在包含了欧氏几何和非欧几何的流形的定义上发挥了作用. 约在公元前300年,古希腊数学家欧几里得建立了角和空间中距离之间联系的法则,现称为欧几里得几何.欧几里得首先开发了处理平面上二维物体的"平面几何",他接着分析三维物体的"立体几何",所有欧几里得的公理已被编排到叫做二

1 VC维的定义 VC维其实就是第一个break point的之前的样本容量.标准定义是:对一个假设空间,如果存在N个样本能够被假设空间中的h按所有可能的2的N次方种形式分开,则称该假设空间能够把N个样本打散:假设空间的VC维就是它能打散的最大样本数目N.若对任意N,总存在一组样本使得假设空间能将它们打散,则函数集的VC维是无穷大: 几种假设空间的VC维如下: 2 推导d维感知机的VC维 这里将证明,d维感知机的vc维是d+1. 第一步,证明 dvc >= d + 1. 要证明 dvc >=