Given a connected undirected graph, tell if its minimum spanning tree is unique. Definition 1 (Spanning Tree): Consider a connected, undirected graph G = (V, E). A spanning tree of G is a subgraph of G, say T = (V', E'), with the following properties

天才钱vs学霸周 Time Limit: 1000 MS     Memory Limit: 256 MB Submit Status 有一天,天才钱和学霸周闲的无聊玩起了游戏,游戏内容是这样的,现在有nn个城堡 mm个不同的桥,每一个桥连接着两个不同的城堡,并且已知这mm个桥可以使nn个城堡连通,此外每一个桥都有重量vv.两位大爷需要给出选择桥的方案使得所有城堡被连通,注意两位大爷的方案不能完全相同(至少存在一个桥不相同),已知周大爷优先给出方案(因此钱大爷的方案必须不同于周大爷).规则很诡异

最小生成树的唯一性,部分参考了oi-wiki 如果一条不在最小生成树边集内的边,它可以替换一条在最小生成树边集内,且权值相等的边,那么最小生成树不是唯一的 同过kruskal来判断 考虑权值相等的边,记录有几条边是目前可以被选入的,和实际选入了几条边,如果不相同,则最小生成树不唯一 原因是如果出现这两个值不相等的情况,则一定出现了环,且这个环内至少有两条边权值相同 具体实现,用一个\(\text{tail}\)指针指向当前权值的最后一条边,当\(\text{i}>\text{tail}\)(也就

Slim Span Time Limit: 5000MS   Memory Limit: 65536K Total Submissions: 7594   Accepted: 4029 Description Given an undirected weighted graph G, you should find one of spanning trees specified as follows. The graph G is an ordered pair (V, E), where V 

Sol 考了好几次曼哈顿最小生成树,然而一直不会打...这次终于打出来了...神tm调试了2h...好蛋疼... 首先曼哈顿最小生成树有个结论就是讲它每45度分出一个象限,对于每个点,只与每个象限中离他最近的点连线,做最小生成树,就是他们的曼哈顿最小生成树. 关于证明,先让我想想再来补. 我们的问题两个方面:为什么将平面分成8块;为什么只需要连接每块中距离最小的点. 不过好像没人稀罕说第一个问题...我自己yy了一下,感觉挺科学的...将平面分成8块的原因就是两个点计算距离的时候去掉绝对值后有8

描述:假设N=(V,{E})是一个连通网,U是顶点集V的一个非空子集.若(u,v)是一条具有最小权值(代价)的边,其中u∈U,v∈V-U,则必存在一棵包含边(u,v)的最小生成树. 证明: 假设网N的任何一棵最小生成树都不包含(u,v).设T是连通网上的一棵最小生成树,当边(u,v)加入到T中时,由生成树的定义,T中必存在一天包含(u,v)的回路.另一方面,由于T是生成树,则在T上必存在另一条边(u’,v’),其中u’∈U,v’∈V-U,且u和u’之间,v和v’之间均有路径相通.删去边(u’,v

最小生成树 首先,生成树是建立在无向图中的,对于有向图,则没有生成树的概念,所以接下来讨论的图均默认为无向图.对于一个有n个点的图,最少需要n-1条边使得这n个点联通,由这n-1条边组成的子图则称为原图的生成树.一般来说,一个图的生成树并不是唯一的(除非原图本身就是一棵树). 现在考虑带权图G,即图的边带权,则最小生成树就是在G中权值和最小的一颗生成树,显然最小生成树也不是唯一的,但是其权值唯一.有很多应用需要用到最小生成树的概念,比较直观的一个应用就是:有n个村庄,现在要在这些村庄之间修一些路

今天写一篇关于最小生成树的番外篇,以前写最小生成树总是用的prim,关于kruskal只是知道一些原理,一直也没有时间去学,今天偶然看了一些并查集,才想起了这个算法 会想起刚刚(预)学过的数据结构,来解释一下它的原理: 先构造一个只含 n 个顶点.而边集为空的子图,把子图中各个顶点看成各棵树上的根结点,之后,从网的边集 E 中选取一条权值最小的边,若该条边的两个顶点分属不同的树,则将其加入子图,即把两棵树合成一棵树,反之,若该条边的两个顶点已落在同一棵树上,则不可取,而应该取下一条权值最小的边再

https://ac.nowcoder.com/acm/contest/3007/I 题中给定的图必定是一棵树 容易发现,如果将输入的N(N-1)个距离看做N(N-1)条无向边的话,那么如果数据合法,原树就是这张新图的最小生成树. 证明:由于边权是非负的,可以考虑Kruskal算法的过程,每一次引入的边都是尽可能短的,所以一定是树中的边,通过简单的归纳即证.   #include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll;

[原] E.J.Hoffman; J.C.Loessi; R.C.Moore The Johns Hopkins University Applied Physics Laboratory *[译]* EXP 2017-12-29 注意 由于原文使用了"m皇后"进行描述,所以本文从现在开始也使用"m皇后"进行描述. 我这里就不调整为大多数人习惯的"n皇后"了,避免某些数学公式参数混淆. *[写在前面]* 这是现在网上流传的一套关于M皇后问题的构造

Lyndon Word 定义:对于字符串\(s\),若\(s\)的最小后缀为其本身,那么称\(s\)为Lyndon串 等价性:\(s\)为Lyndon串等价于\(s\)本身是其循环移位中最小的一个 性质 任意字符串\(s\)都可以分解为\(s = s_1 s_2 \dots s_k\),其中\(\forall s_i\)为Lyndon串且\(s_i \geqslant s_{i +1}\).且这种分解方法是唯一的 存在性 引理1:若\(u, v\)为Lyndon串,且\(u < v\),那么\(

POJ1679 首先求出最小生成树,记录权值之和为MinST.然后枚举添加边(u,v),加上后必形成一个环,找到环上非(u,v)边的权值最大的边,把它删除,计算当前生成树的权值之和,取所有枚举加边后生成树权值之和的最小值 思路: 最小生成树唯一性判断,求次小生成树的val再与最小生成树比较.1.先用prim算法求出最小生成树.并在其过程中保存加入到MST中的Max[i][j]( i 到 j 路径中的最大边 ) 2.对未加入MST的边进行遍历:从MST中去掉i j路径中的最大边,加入未访问边G[i

题目大意:给定一张 N 个顶点的完全图,边有边权,求该完全图的一棵最小瓶颈树. 最小瓶颈树:一棵最大边权值在同一张图的所有生成树中最小,即:最大边权值最小的生成树,其值为该树的最大边权的权值. 引理1:最小生成树一定是一棵最小瓶颈树. 证明:若最小生成树不是最小瓶颈树,则意味着存在一条边的权值大于最小瓶颈树的最大边权值,那么将 MST 的该边去掉,则将一棵树变成了不连通的两棵树,再将最小瓶颈树的一条连接这两个联通块的边加入 MST,可以得到一棵权值更小的生成树,与 MST 性质矛盾,证毕. 引理

最短路和最小生成树应该是很早学的,大家一般都打得烂熟,总结一下几个问题 一  dijkstra  O((V+E)lgV) //V节点数 E边数 dijkstra不能用来求最长路,因为此时局部最优解已经不是全局最优解了(已知单源最短路的A点集在扩张的过程中依然满足最短路,而换成最长路则不满足). 1.算法实现 dijkstra就是建立一个已知单源最短路的点集A,然后不断扩张这个点集.扩张的方法就是在未知最短路径的点集B中维护一个以目前的dis[x]排名(这个dis[x]是当前更新的最短路,不一定是

前置知识 最小生成树及证明 做法 每个不同权值没影响,仅需判断该次询问每种权值是否在"小于该权值的所有边加完"之后,可以全部加进来 离线:询问的所有边全堆到一起,按权值排序,然后同种权值的同种查询完再撤销 在线:预处理每条边在小于等于该权值的边加完之后所处联通块,然后查询时单独判断每种权值即可

写在前面 最小生成树的引出 假设要在n个城市之间建立通信联络网,则连通n个城市需要n-1条线路.在这种情况下,我们自然需要考虑一个问题,如何在最节省经费的条件下建立这个网络? 很自然地我们会想到,将各个城市之间的线路开销转化为权重,要想找到最节省经费的方案,就需要找到能够连通所有城市且权重最小的连通线路. 因此,我们需要选择一颗生成树,使得该生成树总耗费最小,也就是用最小的代价构建这条连通网.我们称这样的网络为:最小代价生成树(简称:最小生成树). 本文结构 本文从MST性质的定义和证明方面为读

The Unique MST Time Limit: 1000MS   Memory Limit: 10000K Total Submissions: 27141   Accepted: 9712 Description Given a connected undirected graph, tell if its minimum spanning tree is unique. Definition 1 (Spanning Tree): Consider a connected, undire

题目链接: http://poj.org/problem?id=2349 题目大意: 有n个警戒部队,现在要把这n个警戒部队编入一个通信网络, 有两种方式链接警戒部队:1,用卫星信道可以链接无穷远的部队. 2,用信号收发器可以链接周围d米以内的部队. 现在有s个卫星信道,问d最小是多少时能连接全部的警戒部队? 解题思路: 我是用求最小生成树,记录路径长度,对路径长度排序后,第k长的边就是答案, 但是队友是用最小k度限制生成树,因为我的方法它证明不了,也推翻不了~~~~, 最后我下去仔细想了想反证

Prime算法的思路:从任何一个顶点开始,将这个顶点作为最小生成树的子树,通过逐步为该子树添加边直到所有的顶点都在树中为止.其中添加边的策略是每次选择外界到该子树的最短的边添加到树中(前提是无回路). Prime算法的正确性证明: 引理1:对于连通图中的顶点vi,与它相连的所有边中的最短边一定是属于最小生成树的. 引理2: 证明: 假设最小生成树已经建成:(vi, vj)是连接到顶点vi的最短边,在最小生成树中取出vi,断开连接到vi的边,则生成树被拆分成 1.顶点vi 2.顶点vj所在的连通分

PTA 7-4 最小生成树的唯一性 (35分) 给定一个带权无向图,如果是连通图,则至少存在一棵最小生成树,有时最小生成树并不唯一.本题就要求你计算最小生成树的总权重,并且判断其是否唯一. 输入格式: 首先第一行给出两个整数:无向图中顶点数 N(≤500)和边数 M.随后 M 行,每行给出一条边的两个端点和权重,格式为"顶点1 顶点2 权重",其中顶点从 1 到N 编号,权重为正整数.题目保证最小生成树的总权重不会超过 2^30 输出格式: 如果存在最小生成树,首先在第一行输出其总权重

<题目链接> 题目大意: 给定一张无向图,判断其最小生成树是否唯一. 解题分析: 对图中每条边,扫描其它边,如果存在相同权值的边,则标记该边:用kruskal求出MST. 如果MST中无标记的边,则该MST唯一:否则,在MST中依次去掉标记的边,再求MST,若求得MST权值和原来的MST 权值相同,则MST不唯一. #include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> using namespac