一.前置概念 接下来的这些定义摘自 置换群 - OI Wiki. 1. 群 若集合 \(s\neq \varnothing\) 和 \(S\) 上的运算 \(\cdot\) 构成的代数结构 \((S,\cdot)\) 满足一下性质: 封闭性:\(\forall a,b\in S,a\cdot b\in S\). 结合律:\(\forall a,b,c\in S,(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)\). 单位元:\(\exists e\in S,\forall

http://www.cnblogs.com/wenruo/p/5304698.html 先看 Polya定理,Burnside引理回忆一下基础知识.总结的很棒. 一个置换就是集合到自身的一个双射,置换群就是元素为置换的群. 再看 Polya入门  涨涨姿势. Burnside定理,在每一种置换群也就是等价群中的数量和除以置换群的数量,即非等价的着色数等于在置换群中的置换作用下保持不变的着色平均数. Polya定理:设 是n个对象的一个置换群, 用m种颜色染图这n个对象,则不同的染色方案数为:

描述 "Let it Bead" company is located upstairs at 700 Cannery Row in Monterey, CA. As you can deduce from the company name, their business is beads. Their PR department found out that customers are interested in buying colored bracelets. However,

polya的精髓就在与对循环节的寻找,其中常遇到的问题就是项链染色类问题. 当项链旋转时有n种置换,循环节的个数分别是gcd(n, i); 当项链翻转时有n种置换,其中当项链珠子数位奇数时,循环节的个数是n/2+1 当项链珠子数是偶数个时,当翻转线穿过珠子时,循环节个数为n/2+1,否则为n/2; 1.poj 1286: 题目大意:用三种颜色对珠子数不超过24的项链染色,问有多少种染色情况. 这道题是最基本的polya定理考察,只要带入公式即可 #include<iostream> #incl

参考了http://blog.csdn.net/ACM_cxlove?viewmode=contents           by---cxlove 的模板 对于每一种染色,都有一个等价群,例如旋转,翻转等.我们将每一种变换转换成一个置换群,通过置换群得到的都是等价的染色方案 最终我们要求的是非等价的染色方案数. 在Burnside定理中给出,在每一种置换群也就是等价群中的数量和除以置换群的数量,即非等价的着色数等于在置换群中的置换作用下保持不变的着色平均数. 我们以POJ 2409 Let i

题意 如果一张无向完全图(完全图就是任意两个不同的顶点之间有且仅有一条边相连)的每条边都被染成了一种颜色,我们就称这种图为有色图. 如果两张有色图有相同数量的顶点,而且经过某种顶点编号的重排,能够使得两张图对应的边的颜色是一样的,我们就称这两张有色图是同构的. 对于计算所有顶点数为 \(n\) ,颜色种类不超过 \(m\) 的图,最多有几张是两两不同构的图. 数据范围 \(n \le 53, 1 \le m \le 1000\) 题解 神仙题qwq 我们考虑对于点置换与其对应的边置换的关系: 对

最近,研究了两天的Burnside引理和Polya定理之间的联系,百思不得其解,然后直到遇到下面的问题: 对颜色限制的染色 例:对正五边形的三个顶点着红色,对其余的两个顶点着蓝色,问有多少种非等价的着色? 其中置换的方法有旋转 \(0^{\circ}, 72^{\circ}, 144^{\circ}, 216^{\circ}, 288^{\circ}\), 穿过一个点做对称轴进行翻转. Burnside引理的证明 那么,在解决这个问题之间,我们首先要定义和证明一些东西: 在集合\(X\)的置换群

题目描述 小春现在很清闲,面对书桌上的N张牌,他决定给每张染色,目前小春只有3种颜色:红色,蓝色,绿色.他询问Sun有多少种染色方案,Sun很快就给出了答案.进一步,小春要求染出Sr张红色,Sb张蓝色,Sg张绝色.他又询问有多少种方案,Sun想了一下,又给出了正确答案. 最后小春发明了M种不同的洗牌法,这里他又问Sun有多少种不同的染色方案.两种染色方法相同当且仅当其中一种可以通过任意的洗牌法(即可以使用多种洗牌法,而每种方法可以使用多次)洗成另一种.Sun发现这个问题有点难度,决定交给你,答案

题目描述 给你一个字符串\(s\),问你有多少个串是最小表示串且字典序\(\leq s\) \(|s|\leq 1000\) 题解 先把\(s\)变成比\(s\)小的最大的最小表示串.方法是从后枚举每一个字符,如果这个字符不是'a',就把这个字符变成这个字符的前驱,并把后面所有字符字符变成'z',然后判断是不是最小表示串. 可以用kmp去判断.如果\(\exists i,s_{i+1}>s_{fail_i+1}\),那么这个串就不是最小表示串. 运用polya定理,把问题转化为求有多少个长度为\

参考:刘汝佳<算法竞赛入门经典训练指南> 感觉是非常远古的东西了,几乎从来没有看到过需要用这个的题,还是学一发以防翻车. 置换:排列的一一映射.置换乘法相当于函数复合.满足结合律,不满足交换律. 置换的循环分解:即将置换看成一张有向图,分解成若干循环.循环的数量称为循环节. 以置换集合来描述等价关系.如果存在一个置换将一个方案映射到另一个方案,则这两个方案等价.置换集合应当构成置换群. 不动点:方案s经过置换f不变,则s为f的不动点. Burnside引理:等价类数量=所有置换的不动点数量的平

[BZOJ1488][HNOI2009]图的同构(Burside引理,Polya定理) 题面 BZOJ 洛谷 题解 求本质不同的方案数,很明显就是群论这套理论了. 置换一共有\(n!\)个,考虑如何对于任意一个置换求不动点数量. 首先边存在或者不存在太麻烦了,我们假装所有边都已经存在,出现过的边和不存在的边用两种不同的颜色染色即可.这样子我们就假装所有的边都出现了,也就是一个完全图. 显然循环是对于点而论的,但是这题同构是对于边而论的.那么我们对于一个点的循环,考虑它的两个顶点.这两个顶点只有两

burnside引理&polya定理 参考资料: <polya计数法的应用>--陈瑜希 黄学长 置换: 置换即是将n个元素的染色进行交换,产生一个新的染色方案. 群: 一个元素的集合G与一个二元运算(*)构成一个群.群满足以下性质: 封闭性:\(\forall a,b \in G,\exists c\in G ,c=a*b\) 结合律:\(\forall a,b,c,(a*b)*c=a*(b*c)\) 单位元:\(\exists e\in G,\forall a,a*e=e*a=a\)

Polya定理 L=1/|G|*(m^c(p1)+m^c(p2)+...+m^c(pk)) G为置换群大小 m为颜色数量 c(pi)表示第i个置换的循环节数 如置换(123)(45)(6)其循环节数为3 ------------------------------------------------------------------------------------------- POJ1286&POJ2409 都是简单的处理串珠子的问题. 题目中隐藏着3种不同的置换类别. 1.旋转 注意不

本文是一个笨比学习组合数学的学习笔记,因为是笨比,所以写的应该算是很通俗易懂了. 首先,我们考虑这么一个问题:你有无穷多的\(p\)种颜色的珠子,现在你想要的把他们中的\(n\)个以圆形的形状等间距的黏在一个可以旋转的圆盘上,求方案数. 然后,该问题的答案是 \(\frac{1}{n}\Sigma_{d|n}\phi(\frac{n}{d})p^d\) ,之中\(\phi()\)表示欧拉函数,下面解释一下为什么会出现这样一个数论函数. 首先,我们来复习一下polya定理:设一个序列上定义了一置换

笔者经多番周折终于看懂了\(\text{Burnside}\)定理和\(\text{Polya}\)定理,特来写一篇学习笔记来记录一下. 群定义 定义:群\((G,·)\)是一个集合与一个运算·所定义的群.它所需要满足的性质是: 结合律:对于任意\(a,b,c\in G,a·b·c=a·(b·c).\) 封闭性:对于任意\(a,b\in G,a·b\in G.\) 单位元:存在\(e\in G,a·e=a.\) 逆元:\(\forall a\in G,\exists a'\in G,a·a'=a

群 群的定义 我们定义,对于一个集合 \(G\) 以及二元运算 \(\times\),如果满足以下四种性质,那我们就称 \((G,\times)\) 为一个群. 1. 封闭性 对于 \(a\in G,b\in G\),那么有 \(a\times b\in G\) 2. 结合律 \(a\times (b\times c)=(a\times b)\times c\) 似乎这个东西没有什么用蛤? 3. 单位元 存在一个元素 \(e\in G\),使得任意 \(a\in G\) 有 \(a\times

洛谷题面传送门 首先很明显题目暗示我们先求出符合条件的戒指数量,再计算出由这些戒指能够构成的项链的个数,因此考虑分别计算它们.首先是计算符合条件的戒指数量,题目中"可以通过旋转重合的戒指视作相同"可以让我们联想到 Polya 定理,具体来说根据 Polya 那套理论,符合条件的戒指个数就是 \(C=\dfrac{1}{m}\sum\limits_{d\mid n}R^d\varphi(\dfrac{n}{d})\),\(\mathcal O(\sqrt{n})\) 地枚举因子并计算 \

转自:http://endlesscount.blog.163.com/blog/static/82119787201221324524202/ Polya定理 首先记Sn为有前n个正整数组成的集合,G为Sn的置换群,C为Sn的着色集.那么我们等于是要求C中有多少种着色方案是不等价的.定义两种着色等价的概念:如果对于在C中的两种着色c1.c2,存在置换f使得f*c1=c2,那么c1和c2就是等价的.要想求不等价着色的个数,我们要先证明一个定理,即:         Burnside定理:设G(c

对Polya定理的个人认识     我们先来看一道经典题目:     He's Circles(SGU 294)         有一个长度为N的环,上面写着“X”和“E”,问本质不同的环有多少个(不能旋转重复就称之为本质不同) 输入样例:4 输出样例:6 那么要怎么办呢?暴力显然暴不出来…… 我们可以考虑使用置换群. 我们有两种算法: ①Burnside引理: 答案直接为1/|G|*(D(a1)+D(a2)+D(a3)+……+D(as)) 其中D(ak)为在进行置换群置换操作ak下不变的元素的

小可可在课余的时候受美术老师的委派从事一项漆绘瓷砖的任务.首先把n(n+1)/2块正六边形瓷砖拼成三角形的形状,右图给出了n=3时拼成的“瓷砖三角形”.然后把每一块瓷砖漆成纯白色或者纯黑色,而且每块瓷砖的正.反两面都必须漆成同样的颜色. 有一天小可可突发奇想,觉得有必要试试看这些瓷砖究竟能够漆成多少种本质不同的图案.所谓两种图案本质不同就是其中的一种图案无论如何旋转.或者翻转.或者同时旋转和翻转都不能得到另外一种图案. 旋转是将瓷砖三角形整体顺时针旋转120度或240度. 翻转是将瓷砖三角形整体

Invoker Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 122768/62768 K (Java/Others)Total Submission(s): 907    Accepted Submission(s): 364 Problem Description On of Vance's favourite hero is Invoker, Kael. As many people knows Kael can contr