题目大意 Codeforces 841C Leha and Function. 令\(F(n,k)\)为在集合\(\{x|x \in [1,n]\}\)中选择一个大小为k的子集,最小元素的期望值. 给定数组\(a_i,b_i\),满足\(\forall_{i,j}a_i \geqslant b_j\).求出\(a_i\)的一个排列\(a'_i\),使得\(\sum_{i} F(a_i,b_i)\)最大. 朱世杰恒等式 在这里介绍一个非常有用的关于组合数求和的公式--朱世杰恒等式(i.e. Hoc

这道题目数据有坑,白浪费一个小时! 题意:求\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n{|i-j|+k \choose k}\) 知识点: 朱世杰恒等式,\(\sum_{i=r}^n{i \choose r}={n+1 \choose r+1},r<n\) 题解:首先去除式子中的绝对值,考虑对称性还有i=j时的重复,原式可转化为\(2\sum_{i=1}^n\sum_{j=i}^n{j-i+k \choose k}-n\) 对式子内部循环调用一遍朱世杰恒等式\(\sum_{j=i}^n

欧几里得算法的自然语言描述 计算两个非负整数p和q的最大公约数: 若q是0,则最大公约数为p.否则将p除以q得到余数r,p和q的最大公约数即为q和r的最大公约数. 数学归纳法证明 基础步骤: 若q = 0,则 gcd(p, q) = gcd(p, 0) = p. 归纳步骤: 令 p = a * q + r, 其中 p.a.q.r 均为非负整数. 设 d 整除 p 和 q, 则 d 可以整除 p - a * q = r,即 p / d = a*q / d + r / d . 此时, d 为 p,q

写在前面 由于上一篇总结的版面限制,特开此文来记录 \(OI\) 中多项式类数学相关的问题. 该文启发于Miskcoo的博客,甚至一些地方直接引用,在此特别说明:若文章中出现错误,烦请告知. 感谢你的造访. 前置技能 多项式相关 形同 \(P(X)=a_0+a_1X+a_2X^2+\cdots+a_nX^n\) 的形式幂级数 \(P(X)\) 称为多项式.其中 \(\{a_i|i\in[0,n]\}\) 为多项式的系数: \(n\) 表示多项式的次数. 多项式的系数表示 对于 \(n\) 次多项

0x01 布尔代数(Boolean algebra) 大名鼎鼎鼎的stephen wolfram在2015年的时候写了一篇介绍George Boole的文章:George Boole: A 200-Year View. 怎样用数学公理重新表达经典逻辑?George Boole在19世纪的时候开始思考这件事,在他的书<The Mathematical Analysis of Logic>里面George Boole首次展示了使用符号加运算符的方式表示逻辑,例如"And"是&q

布尔不等式(Boole's inequality)也叫(union bound),即并集的上界,描述的是至少一个事件发生的概率(P(⋃iAi)" role="presentation">P(⋃iAi)P(⋃iAi))不大于单独事件(事件之间未必独立)发生的概率之和(∑iP(Ai)" role="presentation">∑iP(Ai)∑iP(Ai)). 即: P(⋃iAi)≤∑iP(Ai)" role="pres

解答:这里数学归纳法证明时指出关键的变形. 评:撇开琴生不等式自身的应用和意义外,单单就这个证明也是一道非常不错的练习数学归纳法的经典题目.

目录 写在前面 前置技能 多项式相关 多项式的系数表示 多项式的点值表示 复数相关 复数的意义 复数的基本运算 单位根 代码相关 多项式乘法 快速傅里叶变换 DFT IDFT 算法实现 递归实现 迭代实现 快速数论变换 原根 算法实现 模数任意的解决方案 应用 快速卷积 多项式求逆 基本概念 求解方法 算法实现 求第二类斯特林数 第二类斯特林数 \(\text{NTT}\) 优化 快速沃尔什变换 \(xor\) 卷积 结论(三种卷积求法) 正向 \(\text{tf}\) 逆向 \(\text{

题目传送门 题目大意: 给出2^k大小的白色矩形,q次操作,每次将一行或者一列颜色反转,问总体矩阵的价值,矩阵的价值定义是,如果整个矩阵颜色相同,价值为1,否则就把这个矩阵切成四份,价值为四个小矩阵的总价值加一. 思路: 结论是,ans=不同色的子矩阵数*4+1,用数学归纳法证明.具体看 大佬的博客 .然后用线段树维护这些,但是这个猜结论和线段树都很牛逼,都是看大佬的博客学习的,我的代码里加了一些注释,很神奇的题目. #include<bits/stdc++.h> #define CLR(a,

快速排序的最优时间复杂度是 \(O(nlogn)\),最差时间复杂度是 \(O(n^2)\),期望时间复杂度是 \(O(nlogn)\). 这里我们证明一下快排的期望时间复杂度. 设 \(T(n)\) 为对长度为 \(n\) 的序列进行快速排序所需要的期望时间.我们有: \[T(0) = 0\] 以及: \[T(n) = n + \frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}(T(i) + T(n - i - 1))\] 我们可以通过放缩来获得对 \(T(n)\) 上界的一个估计. \[

我觉得这篇文章和什么都能扯上点关系,比如编程. 很多人已经讨论过数学与编程的关系了,这里不想过多探讨,只是简单提一下:有些人把数学贬低地一文不值,认为做一般的应用软件用不到数学:而有些人则把数学拔高到一个很高的位置,认为一些比较上层的领域像机器学习,包括其父.子类人工智能和深度学习都需要用到些相对晦涩的数学知识.我的看法是:尽自己的能力学习更多的数学知识总是没有坏处的.当然,辨证的来看,过度学习偏废了机器本身也就不说什么了(仁者仁智者智吧,王垠也写过一篇文章,我想附在这里:数学与编程,希望勿喷,

A 斐波那契 数竞生:这不是送分的常识吗? 这里引入一个叫卡西尼恒等式的玩意. 公式表达就是 设$fib[i]$为斐波那契数列的第$i$项$(i>0,i \in N_+)$ 则有 $fib[i+1]fib[i-1]-fib[i]^2=(-1)^i$,其中$(i>1,i \in N_+ )$ 因为数据说明了$i>=2$,所以我们可以用数学归纳法证明这个结论. 首先看边界条件, $fib[1]=fib[2]=1,fib[3]=2$ $fib[3]*fib[1]-fib[2]^2=2*1-1^

1. 什么是红黑树 (1) 简介     上一篇我们介绍了基本动态集合操作时间复杂度均为O(h)的二叉搜索树.但遗憾的是,只有当二叉搜索树高度较低时,这些集合操作才会较快:即当树的高度较高(甚至一种极端情况是树变成了1条链)时,这些集合操作并不比在链表上执行的快.     于是我们需要构建出一种"平衡"的二叉搜索树.     红黑树(red-black tree)正是其中的一种.它可以保证在最坏的情况下,基本集合操作的时间复杂度是O(lgn). (2) 性质     与普通二叉搜索树不

相对1150题来说,这道题的N可能超过10,所以需要进行排重,即相同状态的魔板不要重复压倒队列里,这里我用map储存操作过的状态,也可以用康托编码来储存状态,这样时间缩短为0.03秒.关于康托展开可以参考,其可用数学归纳法证明:http://www.cnblogs.com/1-2-3/archive/2011/04/25/generate-permutation-part2.html #include <bits/stdc++.h> using namespace std; map<in

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AVL树的介绍 平衡二叉树,又称AVL(Adelson-Velskii和Landis)树,是带有平衡条件的二叉查找树.这个平衡条件必须要容易保持,而且它必须保证树的深度是 O(log N).一棵AVL树是其每个节点的左子树和右子树的高度最多差1的二叉查找树( 空树的高度定义为 -1 ).查找.插入和删除在平均和最坏情况下都是 O(log n).增加和删除可能需要通过一次或多次树旋转来重新平衡这个树.可以证明,大致上讲,一个AVL树的高度最多为 1.44log( N  + 2 ) - 1.328,

Sol 首先,考虑这个要怎么搞...让总和最大的方法就是选出当前集合中最大的两个数相加放入集合中就可以了,证明非常简单,当前集合的和为x,它的和只会一直往后增加,所以只需要找到最大的两个数的和加入便是最佳答案.知道了这个以后,手动递推一下就是一个斐波拉契数列. 然后斐波拉契数列数列自然可以矩乘,但是矩阵乘法不能解决负数斐波拉契问题.而且,一正一负就不是斐波拉契数列的递推了.递推应该是这个样子. \(F_2=F_1+F_0,F_3=F_2+F_1=F_1+F_1+F_0...F_n=F_1*(n-

题目:传送门. 有一堆个数为n(n>=2)的石子,游戏双方轮流取石子,规则如下: 1)先手不能在第一次把所有的石子取完,至少取1颗: 2)之后每次可以取的石子数至少为1,至多为对手刚取的石子数的2倍. 约定取走最后一个石子的人为赢家,求必败态. 结论:当n为Fibonacci数的时候,必败. f[i]:1,2,3,5,8,13,21,34,55,89…… 用第二数学归纳法证明: 为了方便,我们将n记为f[i]. 1.当i=2时,先手只能取1颗,显然必败,结论成立. 2.假设当i<=k时,结论成

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C. Lieges of Legendre time limit per test 2 seconds memory limit per test 256 megabytes input standard input output standard output Kevin and Nicky Sun have invented a new game called Lieges of Legendre. In this game, two players take turns modifying