3871. GCD Extreme Problem code: GCDEX Given the value of N, you will have to find the value of G. The meaning of G is given in the following code G=0; for(k=i;k< N;k++) for(j=i+1;j<=N;j++) { G+=gcd(k,j); } /*Here gcd() is a function that finds the g

埃拉托色尼筛法 朴素算法 1 vis[1]=1; 2 for (int i=2;i<=n;i++) 3 if (!vis[i]) 4 { 5 pri[++tot]=i; 6 for (int j=i*2;j<=n;j+=i) 7 vis[j]=1; 8 } 欧拉筛法 朴素算法 vis[]=; ;i<=n;i++) { if (!vis[i]) pri[++tot]=i; ;j<=tot;j++) { if (i*pri[j]>n) break; vis[i*pri[j]]=;

题目链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6265 题目大意:首先T是测试组数,n代表当前这个数的因子的种类,然后接下来的p和q,代表当前这个数的因子中含有p的q次方.然后让你求题目第一行给你的信息. 首先理一下思路. 第一步,我们需要算题目中要求的公式(第一行),首先,他是一个积性函数,所以我们先将题目中的第一行的式子命名为F(n).对于F(n),我们可以分着求他的每一个因子的解,然后最终将这一写乘起来就可以了. F(n) = F(p1^q1

题目: Longge is good at mathematics and he likes to think about hard mathematical problems which will be solved by some graceful algorithms. Now a problem comes: Given an integer N(1 < N < 2^31),you are to calculate ∑gcd(i, N) 1<=i <=N. "Oh

题意:求∑gcd(i,n),1<=i<=n思路:f(n)=∑gcd(i,n),1<=i<=n可以知道,其实f(n)=sum(p*φ(n/p)),其中p是n的因子.为什么呢?原因如下:1到n中有m个数字和n拥有公共的最大因子p,那么就需要把m*p加入答案中.问题是如何计算m的个数.因为假设某个数i与n的最大公约数为p,那么gcd(i,n) = p,可以得到gcd(i/p,n/p)=1.也就是说,有多少个i,就有多少个i/p与n/p互质.那么显然m即为n/p的欧拉函数φ(n/p). 知

Deciphering Password Time Limit: 5000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)Total Submission(s): 2357    Accepted Submission(s): 670 Problem Description Xiaoming has just come up with a new way for encryption, by calculati

只会搬运YL巨巨的博客 积性函数 定义 积性函数:对于任意互质的整数a和b有性质f(ab)=f(a)f(b)的数论函数. 完全积性函数:对于任意整数a和b有性质f(ab)=f(a)f(b)的数论函数 性质 两个积性函数的狄利克雷卷积仍为积性函数. 若积性函数满足 \(f(n^p)=f^p(n)\)则它一定是完全积性函数.因为一个数可以唯一分解,则它一定可以表示成质数相乘的形式:因为他时积性函数所以,\(f(\prod_{i=1}^{n}p_i)=\prod _{i=1}^{n}f(p_i)\),

1040 最大公约数之和 给出一个n,求1-n这n个数,同n的最大公约数的和.比如:n = 6时,1,2,3,4,5,6 同6的最大公约数分别为1,2,3,2,1,6,加在一起 = 15 看起来很简单对吧,但是n<=1e9,所以暴力是不行的,所以要把公式进行推导. 引用51nod1040最大公约数之和(欧拉函数) 这个自己上手推一下也很好推的,不过没推过公式的可能不太懂. #include<cstdio> #include<cmath> typedef long long l

updata on 2020.4.3 添加了欧拉\(\varphi\)函数为积性函数的证明和它的计算方式 1.积性函数 设\(f(n)\)为定义在正整数上的函数,若\(f(1)=1\),且对于任意正整数\(a,b\),若a,b互质就有: \[f(ab)=f(a)f(b) \] 则\(f(n)\)为积性函数 若不要求a,b互质,则\(f(n)\)为完全积性函数 2.计算 求出n的分解式 \(n=\prod_{i=1}^m {p_i}^{k_i}\),则有: \(f(n)=\prod_{i=1}^k

题意: 求f(n)=∑gcd(i, N) 1<=i <=N. 分析: f(n)是积性的数论上有证明(f(n)=sigma{1<=i<=N} gcd(i,N) = sigma{d | n}phi(n / d) * d ,后者是积性函数),能够这么解释:当d是n的因子时,设1至n内有a1,a2,..ak满足gcd(n,ai)==d,那么d这个因子贡献是d*k,接下来证明k=phi(n/d):设gcd(x,n)==d,那么gcd(x/d,n/d)==1,所以满足条件的x/d数目为phi(

Divisor counting 题目大意:定义f(n)表示整数n的约数个数.给出正整数n,求f(1)+f(2)+...+f(n)的值. 注释:1<=n<=1000,000 想法:我们再次有两种做法:文...武......想讲武的......我们其实这次更博只是为了介绍一种知识点——线性筛法筛积性函数.这里,给出线性筛的万能筛法. 1.初值:显然,初值是必要的. 2.我们类比欧拉筛,用k(n)举例.当n是素数时的情况使我们必须的,这相当于初值一样重要. 3.又因为,我们主要筛积性函数,显然函数

链接:https://ac.nowcoder.com/acm/contest/392/C来源:牛客网 题目描述 华华刚刚帮月月完成了作业.为了展示自己的学习水平之高超,华华还给月月出了一道类似的题: Ans=⊕Ni=1(iNmod(109+7))Ans=⊕i=1N(iNmod(109+7)) ⊕⊕符号表示异或和,详见样例解释. 虽然月月写了个程序暴力的算出了答案,但是为了确保自己的答案没有错,希望你写个程序帮她验证一下. 输入描述: 输入一个正整数N. 输出描述: 输出答案Ans. 示例1 输入

2749: [HAOI2012]外星人 Description Input Output 输出test行,每行一个整数,表示答案. Sample Input 1 2 2 2 3 1 Sample Output 3 HINT Test<=50 Pi<=10^5,1<=Q1<=10^9 Source [分析] 额,一开始还看不懂题目..phi的x表示phi的x阶函数,即phi[phi[phi[...phi[N]]]]],x个phi... 然后不会做... 我们先来熟悉一下欧拉函数 2-

题目来源:id=2480" style="color:rgb(106,57,6); text-decoration:none">POJ 2480 Longge's problem 题意:求i从1到n的gcd(n, i)的和 思路:首先假设m, n 互质 gcd(i, n*m) = gcd(i, n)*gcd(i, m) 这是一个积性函数积性函数的和还是积性函数 由欧拉函数知识得 phi(p^a) = p^a - p^(a-1) p是素数 a是正整数 得到终于答案f(n)

题目链接 http://acm.hdu.edu.cn/downloads/CCPC2018-Hangzhou-ProblemSet.pdf B题 数论题      h(n)=∑ d|n φ(d) × n /d   求一个数的h值   我们只要意识到他是一个积性函数就解决了  这个函数看起来很像狄利克雷卷积 我们构造一个函数f(n)=n;h(n)=∑ d|n φ(d) × f(n /d) 欧拉函数φ是积性函数 构造的f是完全积性函数 所以他们的狄利克雷卷积h也是积性函数  然后推导一下答案就是 ∑

Happy 2004 题意:s为2004^x的因子和,求s%29.     (题于文末) 知识点: 素因子分解:n = p1 ^ e1 * p2 ^ e2 *..........*pn ^ en 因子和:    Sum=(p1^0+p1^1-.p1^e1)*(p2^0+p2^1-p2^e2)--(pn^0+-pn^en) =; 积性函数:s(xy)=s(x)*s(y)    (比如:幂函数,因子和,欧拉函数,莫比乌斯函数) 对于正整数n的一个算术函数 f(n),若f(1)=1,且当a,b互质时f

积性函数 数论函数指的是定义在正整数集上的实或复函数. 积性函数指的是当 \((a,b)=1\) 时, 满足 \(f(a*b)=f(a)*f(b)\) 的数论函数. 完全积性函数指的是在任何情况下, 满足 \(f(a*b)=f(a)*f(b)\) 的数论函数. 常见的积性函数 copy&modified from 积性函数 - 维基百科,自由的百科全书 φ(n) -欧拉函数 μ(n) -莫比乌斯函数,关于非平方数的质因子数目 gcd(n,k) -最大公因子,当k一定 d(n) -n的正因子数目

SUM 题意:f(n)是n可以拆成多少组n=a*b,a和b都是不包含平方因子的方案数目,对于a!=b,n=a*b和n=b*a算两种方案,求∑i=1nf(i) 首先我们可以知道,n=1时f(1)=1, 然后我们继续分析,当n为素数p时,只能拆成n=1*p和n=p*1这两种,所以f(p)=2, 而当n=两个质数的乘积时,对于n=左*右,p1跟p2可以任意分配在左和右,它们的方案是类乘的,所以f(p1*p2)=f(p1)*f(p2) 这里可以看出f(n)是个积性函数,那说明我们可以把它通过线性筛筛出来

HDU - 2879HeHe 题意:He[N]为[0,N−1]范围内有多少个数满足式子x2≡x (mod N),求HeHe[N]=He[1]×……×He[N] 我是通过打表发现的he[x]=2k,k为x是质因子个数,不过这是可以通过积性函数证明的. 关于积性函数的定义: 对于正整数n的一个算术函数 f(n),若f(1)=1,且当a,b互质时,f(ab)=f(a)f(b),在数论上就称它为积性函数.若对于某积性函数 f(n) ,就算a, b不互质,也有f(ab)=f(a)f(b),则称它为完全积性

最近重新系统地学了下这几个知识点,以前没发现他们的联系,这次总结一下. 莫比乌斯反演入门:https://blog.csdn.net/litble/article/details/72804050 线性筛筛常见积性函数及其代码:https://blog.masterliu.net/algorithm/sieve/ 积性函数与线性筛(包括普通线性函数):https://blog.csdn.net/weixin_42562050/article/details/87997582 bzoj2154/b