min_25 筛是由 min_25 大佬使用后普遍推广的一种新型算法,这个算法能在 \(O({n^{3\over 4}\over log~ n})\) 的复杂度内解决所有的积性函数前缀和求解问题(个人感觉套上素数定理证明的复杂度的话应该要把下面的 log 改成 ln ,不过也差不多啦~) 其实 min_25 筛的入门TXC 大佬的 blog 已经写的非常棒了QVQ 所以搬博客的话鉴于博主太懒了就不干了...直接帮 TXC 大佬安利博客完事 这篇博客主要的目的是证明网上大多没有的 min_25 筛

[LOJ#572]Misaka Network 与求和(莫比乌斯反演,杜教筛,min_25筛) 题面 LOJ \[ans=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n f(gcd(i,j))^k\] 其中\(f(x)\)表示\(x\)的次大质因子. 题解 这个数据范围不是杜教筛就是\(min\_25\)筛了吧... 看到次大质因子显然要\(min\_25\)筛了吧... 莫比乌斯反演的部分比较简单,懒得写过程了. \[ans=\sum_{T=1}^n [\frac{n}{T}]^2\sum_

[51NOD 1847]奇怪的数学题(莫比乌斯反演,杜教筛,min_25筛,第二类斯特林数) 题面 51NOD \[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nsgcd(i,j)^k\] 其中\(sgcd\)表示次大公约数. 题解 明摆着\(sgcd\)就是在\(gcd\)的基础上除掉\(gcd\)的最小因数. 所以直接枚举\(gcd\). \[\begin{aligned} ans&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n sgcd(i,j)^k\\ &=\sum_{i=1

传送门 思路 (以下令\(F(n)=f(n)^k\)) 首先肯定要莫比乌斯反演,那么可以推出: \[ ans=\sum_{T=1}^n \lfloor\frac n T\rfloor^2\sum_{d|T}F(d)\mu(T/d) \] 可以整除分块,但后面的东西怎么办呢? 令\(G(T)=F*\mu\),那么就有 \[ ans=\sum_{T=1}^n \lfloor\frac n T\rfloor^2G(T) \] 看到\(\mu\)函数有点烦,考虑用杜教筛的式子消去它. \[ g(1)S(

目录 1.什么是min_25筛 2.前置知识 2.1.数论函数 2.2.埃拉托色尼筛 2.3.欧拉筛 3.min_25筛 3.1.计算质数贡献 3.2.计算总贡献 3.3.实现 4.例题 4.1.[LOJ]区间素数个数 4.2.[LG P4213]杜教筛 1.什么是min_25筛          min_25 筛和洲阁筛.杜教筛一样,是一种低于线性的用于求积性函数前缀和的筛法.常用 min_25 筛的时间复杂度为\(O(\frac{n^{\frac34}}{\log n})\),而经过优化可以

洲阁筛 给定一个积性函数$F(n)$,求$\sum_{i = 1}^{n}F(n)$.并且$F(n)$满足在素数和素数次幂的时候易于计算. 显然有: $\sum_{i = 1}^{n} F(n) = \sum_{i = 1}^{\sqrt{n}}F(i) \left(\sum_{\sqrt{n} < p\leqslant n/i, p\ is\ a\ prime} F(p) \right) + \sum_{i = 1, i\ has\ no\ prime\ factor\ greater\ th

问题描述 洲阁筛解决的问题主要是\(n\)范围较大的积性函数前缀和. ​ 已知一积性函数\(f(i)\),求\(\sum_{i=1}^nf(i)\). \(n\leq10^{12}\). 求解方法 如果\(f(i)\)在质数处的取值比较简单,那么可以运用洲阁筛来求解. ​ 我们需要两个辅助数组. \(g_{i,j}\) 定义如下: \[ \begin{aligned} g_{i,j}&=\sum_{k=2}^i[k与p_1,p_2,...,p_j互质或就是其中某个质数]\; s(k)\\ &

问题描述 快速求素数处点值比较好求的积性函数前缀和 大致过程 Step1.求出一定范围内的素数处点值之和(\(g\)) Step2.利用上面的\(g\)求出一个\(f\)然后用\(f\)求出前缀和 具体过程 (这里约定一下,在下面的内容中用\(p\)表示一个素数,用\(P_i\)表示素数列表中的第\(i\)项) 这里以求\(\sum \phi(i)\)为例 首先对于素数\(p\)来说,\(\phi(p)=p-1\)的,因此我们可以快速求出素数处点值的和\(\sum \phi(p)=\sum p

题目大意 有 \(n\) 个整数 \(a_1,a_2,\ldots,a_n\),每个数的范围是 \([1,m]\).还有 \(k\) 个限制,每个限制 \(x_i,y_i\) 表示 \(a_{x_i}\leq a_{y_i}\). 问有多少种不同的情况,以及所有情况中 \({\sigma_0(\gcd(a_1,a_2,\ldots,a_n))}^3\) 的和. \(n\leq 20,m\leq {10}^{10}\) 题解 记 \(f(x)\) 为当 \(m=x\) 时第一问的答案. 记 \(g

Part 1:杜教筛进阶在了解了杜教筛基本应用,如$\sum_{i=1}^n\varphi(i)$的求法后,我们看一些杜教筛较难的应用.求$\sum_{i=1}^n\varphi(i)*i$考虑把它与$id$函数狄利克雷卷积后的前缀和.$$\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}\varphi(d)*d*\frac id=\sum_{i=1}^ni^2$$枚举$T=\frac id$,原式化为$$\sum_{T=1}^nT\sum_{d=1}^{\lfloor\frac nT\rfloor}

先定义几个符号: []:若方括号内为一个值,则向下取整,否则为布尔判断 集合P:素数集合. 题目分析: 题目是一个积性函数.做法之一是洲阁筛,也可以采用Min_25筛. 对于一个可以进行Min_25筛法的积性函数,它需要满足与洲阁筛相同的条件,即: 对于$f(p), p \in P$,它可以多项式表出.对于$f(p^k),p \in P$可以被快速计算出. 这道题中$f(p) = p-1$再对$2$进行修正即可. 对于1的情况我们单独考虑,现在我们对答案进行一些变换. $$\sum_{i=2}^

前言 为什么叫学习小记呢?因为暂时除了模板题就没有做其他的东西了.(雾 这个东西折磨了我一整天,看得我身不如死,只好结合代码理解题解,差点死在机房.(话说半天综合半天竞赛真是害人不浅) 为了以后忘了再受荼毒,这里还是写一下,如果有人会看到的话,希望可以帮助到吧.(话说这个东西我已经拖了好久了啊!!!) (话说我怎么这么多话说啊?!!) Min_25 筛 这个东西是由聚聚\(\texttt{Min-25}\)发明了,所以我们称之为\(\texttt{Min-25}\)筛.(感觉有点民科了)那就不废

原文链接https://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/51Nod1222.html 题意 给定 $a,b$, 求 $$\sum_{n=a}^b \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^i [{\rm lcm } (i,j) = n]$$ $$a,b\leq 10^{11}$$ $${\rm Time \ Limit } = 6s$$ 题解 本题做法很多. Min_25 筛 先差分一下,转化成求前缀和. 先把原题的统计无序数对转化成统计有序数对,最终 $an

[复习]莫比乌斯反演,杜教筛,min_25筛 莫比乌斯反演 做题的时候的常用形式: \[\begin{aligned}g(n)&=\sum_{n|d}f(d)\\f(n)&=\sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n})g(d)\end{aligned}\] 实际上还有 \[\begin{aligned}g(n)&=\sum_{d|n}f(d)\\f(n)&=\sum_{d|n}\mu(\frac{n}{d})g(d)\end{aligned}\] 证明可以看看这里,

Min_25 筛 yyb好神仙啊 干什么用的 可以在\(O(\frac{n^{\frac 34}}{\log n})\)的时间内求积性函数\(f(x)\)的前缀和. 别问我为什么是这个复杂度 要求\(f(p)\)是一个关于\(p\)的简单多项式,\(f(p^c)\)可以快速计算. 怎么做啊 首先我们需要对每个\(x=\lfloor\frac ni\rfloor\)求出\(\sum_{i=1}^x[i是质数]f(i)\). 怎么求呢? 先线性筛出\(\sqrt n\)范围内的质数,设\(P_j\)

关于min_25筛的一些理解 如果想看如何筛个普通积性函数啥的,就别往下看了,下面没有的(QwQ). 下文中,所有的\(p\)都代表质数,\(P\)代表质数集合. 注意下文中定义的最小/最大质因子都是默认所有质因子本质不同. 即\(2*2*3*4*5*5\)的最小/次小质因子都是\(2\),最大/次大质因子都是\(5\). step1. 适用条件与思想 min_25筛用于求积性函数前缀和,即\(\sum_{i=1}^n f(i)\) . min_25筛相比于传统筛法来说(如莫比乌斯反演.杜教筛)

题意 求 \([L, R]\) 之间的素数之和 . \(L≤10^{10},2×10^{10} \le R \le 10^{11}\) 题解 一个有点裸的 min_25筛 ? 现在我只会筛素数的前缀和 , 合数的过几天再学吧 . 首先推荐一波 yyb大佬博客 这个人很强 , 别那么fake就好啦 令 \(F(x) = x\) 显然此处 \(F(x)\) 是完全积性函数 . 我们需要求的就是 \[\displaystyle \sum_{i=1}^{n} [i \in Prime] F(i)\] .

前言 本篇文章中使用的字母\(p\),指\(\text{任意的} p \in \text{素数集合}\) 应用场景 若函数\(f(x)\)满足, \(f(x)\)是积性函数 \(f(p)\)可以使用多项式表示. 已知\(f(p)\),要能在常数级的时间内计算\(f(p^x),x \in N^+\). Min_25筛可以在\(\Theta(\frac{n^{\frac{3}{4}}}{log_2n})\)的时间复杂度内计算\(f(x)\)的前缀和 或者说\(\Theta(n ^ {1 - \eps

LINK:Min_25筛 新版感觉有点鬼畜 而且旧版的也够用了至少. 这个并不算很简单也不算很困难的知识点 学起来还是很麻烦的. (误入了很多dalao的blog 说的云里雾里的 甚是懵逼 这里推荐几个blog一起看 能看出很多门道 网上资源辣么多 我自然也不会去写一个非常正常的学习笔记辣.. 只会写几个容易疑惑的地方. 注意 学会 和会写代码是两码事 因为代码中有一些细节需要细细揣摩. 关于g数组的求出 其转移静下心来理解还是可以看懂的这里不再赘述. 注意 为了方便\(f(1)\)最后考虑.

  赛上想写,Track Lost 了属于是. \(\mathscr{Intro}\)   Min_25 筛是用于求积性函数前缀和,同时顺带求出一些"有意思"的信息的筛法.   一些记号约定 \(\mathbb P\) 为素数集,对于以 \(p\) 为记号的数,有 \(p\in\mathbb P\). \(p_i\) 表示第 \(i\) 小的素数.特别地,\(p_0=1\). \(\newcommand{\lpf}[0]{\operatorname{lpf}} \lpf(n)\) 表示