复习一下数学, 找一下回忆. 先是从二项式平方开始: 其实展开是这样的: 再看立方: 通过排列组合的方式标记, 于是: 通过数学归纳法可以拓展: 使用求和简写可得: e 级数 数学常数 e (The Constant e – NDE/NDT Resource Center) 的定义爲下列极限值: 使用二项式定理能得出 第 k 项之总和为 因为 n → ∞,右边的表达式趋近1. 因此 由于序列的极限可以相加, 所以 e 可以表示为: 计算情况: e = 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1

\(Catalan\) 数相关证明 Mushroom 2021-5-14 \(Catalan\)数的定义 给定一个凸\(n + 1\)边形, 通过在内部不相交的对角线,把它划分成为三角形的组合,不同的划分方案的个数称为\(Catalan\)数,记作\(h_n\) 比如说正对于五边形的\(Catalan\)数\(h_4\),可以可视化为下面的形式. 递推定义 分析 \(Catalan\)数的定义是描述一个凸多边形被不相交的直线分割为三角形的方案数,记这样一件事为\(A\) graph LR id1

断断续续的学习数论已经有一段时间了,学得也很杂,现在进行一些简单的回顾和总结. 学过的东西不能忘啊... 1.本原勾股数: 概念:一个三元组(a,b,c),其中a,b,c没有公因数而且满足:a^2+b^2=c^2 首先,这种本原勾股数的个数是无限的,而且构造的条件满足: a=s*t,b=(s^2-t^2)/2,c=(s^2+t^2)/2 其中s>t>=1是任意没有公因数的奇数! 由以上概念就可以导出任意一个本原勾股数组. 2.素数计数(素数定理) 令π(x)为1到x中素数的个数 19世纪最高的

ACM数论总结 http://blog.csdn.net/xieshimao/article/details/6425099 断断续续的学习数论已经有一段时间了,学得也很杂,现在进行一些简单的回顾和总结. 学过的东西不能忘啊... 1.本原勾股数: 概念:一个三元组(a,b,c),其中a,b,c没有公因数而且满足:a^2+b^2=c^2 首先,这种本原勾股数的个数是无限的,而且构造的条件满足: a=s*t,b=(s^2-t^2)/2,c=(s^2+t^2)/2 其中s>t>=1是任意没有公因数

问题:如何快速把$cos^4xsin^3x$表示成正弦,余弦的线性组合? 分析:利用牛顿二项式展开以下表达式: 再利用欧拉公式$e^{i\theta}=cos\theta+isin\theta$ 比如: 解答: 评:这样的变换,表示成线性组合在求积分的时候就显得很有用,大学自主招生迟早会考察以上变换.

首先 \[h_n=\sum_{i}h_ih_{n-i-1}\] 写出 \(h\) 的母函数 \(H(x)\) 那么 \[H(x)=H^2(x)x+1,H(x)=\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}\] (解二元一次方程取符号时候要看是否收敛) 引入牛顿二项式 \[(x+y)^{\alpha}=\sum_{k=0}^{\infty}\binom{\alpha}{k}x^{\alpha-k}y^{k}\] 其中 \[\binom{\alpha}{k}=\prod_{i=1}^{k}\fr

ylbtech-杂项:WWW WWW是环球信息网的缩写,(亦作“Web”.“WWW”.“'W3'”,英文全称为“World Wide Web”),中文名字为“万维网”,"环球网"等,常简称为Web. 分为Web客户端和Web服务器程序. WWW可以让Web客户端(常用浏览器)访问浏览Web服务器上的页面. 是一个由许多互相链接的超文本组成的系统,通过互联网访问.在这个系统中,每个有用的事物,称为一样“资源”:并且由一个全局“统一资源标识符”(URI)标识:这些资源通过超文本传输协议(H

这道题...好像是第一道我自己切出来的黑题... 先说一句,牛顿二项式蒟蒻并不会,可以说是直接套结论. 求诸位老爷轻喷. 这道题用卡特兰数搞. 卡特兰数这玩意从普及组初赛一路考到省选,十分有用. 如果不清楚这个概念的话可以看一下这里. 卡特兰数是有两种计算方法: 1) 用递推算. 2) 用排列组合. 用它解题的流程一般是先说明所求的问题可以归到第一类中,然后再用第二类来计算具体的值. 像这道题就可以用卡特兰数水过. 我们假设\(f_i\)表示节点数为i的二叉树有多少种. 那么可以发现存在这样的关

前言 之前周会技术分享,一位同事讲解了HashMap的源码,涉及到一些常量设计的目的,本文将谈谈这些常量为何这样设计,希望大家有所收获. HashMap默认初始化大小为什么是1 << 4(16) /** * The default initial capacity - MUST be a power of two. */ static final int DEFAULT_INITIAL_CAPACITY = 1 << 4; HashMap默认初始化大小为什么是16,这里分两个维度分

目录 常见的概率分布模型 一.离散概率分布函数 二.连续概率分布函数 三.联合分布函数 四.多项分布(Multinomial Distribution) 4.1 多项分布简介 4.2 多项分布公式解析 五.伯努利分布(Bernoulli Distribution) 5.1 伯努利分布简介 5.2 伯努利分布的期望值和方差 六.正态(高斯)分布(Normal(Gaussian) Distribution) 6.1 正态分布的概率密度函数图像 6.2 正态分布简介 6.3 中心极限定理与正态分布 七

题目描述 有形如:ax3+bx2+cx+d=0 这样的一个一元三次方程.给出该方程中各项的系数(a,b,c,d 均为实数),并约定该方程存在三个不同实根(根的范围在-100至100之间),且根与根之差的绝对值>=1.要求由小到大依次在同一行输出这三个实根(根与根之间留有空格),并精确到小数点后2位. 提示:记方程f(x)=0,若存在2个数x1和x2,且x1<x2,f(x1)*f(x2)<0,则在(x1,x2)之间一定有一个根. 输入输出格式 输入格式: 一行,4个实数A,B,C,D. 输

本博客已经迁往http://www.kemaswill.com/, 博客园这边也会继续更新, 欢迎关注~ 牛顿方法是一种求解等式的非常有效的数值分析方法. 1.  牛顿方法 假设\(x_0\)是等式的根\(r\)的一个比较好的近似, 且\(r=x_0+h\), 所以\(h\)衡量了近似值\(x_0\)和真实的根\(r\)之间的误差. 假定\(h\)很小, 根据泰勒展开式: $$0=f(r)=f(x_0+h)\approx f(x_0)+hf'(x_0)$$ 所以, 当\(f'(x_0)\)不接近

凸是一个很好的性质.如果已经证明了某个问题是凸的,那这个问题基本上算是解决了. 最近在解决一个多目标优化的问题.多目标的问题往往是非凸的.好在能够知道这个问题的近似解大概是多少.这样这个多目标优化的问题至少能够在局部运用凸优化的方法来解决了.解决凸优化的方法有很多,比如梯度下降法,内点法.在梯度下降法中,牛顿下降法是一种重要的方法,也容易实现.更好的是牛顿下降法的收敛速度是二次的,比通常的下降法的收敛速度要快很多. 牛顿算法 $ x(n+1) = x(n) - H(x(n))^{-1} grad

主讲人 网络上的尼采 (新浪微博: @Nietzsche_复杂网络机器学习) 网络上的尼采(813394698) 9:11:56 开始吧,先不要发言了,先讲PRML第二章Probability Distributions.今天的内容比较多,还是边思考边打字,会比较慢,大家不要着急,上午讲不完下午会接着讲. 顾名思义,PRML第二章Probability Distributions的主要内容有:伯努利分布. 二项式 –beta共轭分布.多项式分布 -狄利克雷共轭分布 .高斯分布 .频率派和贝叶斯派

VC定理的证明 本文讨论VC理论的证明,其主要内容就是证明VC理论的两个定理,所以内容非常的枯燥,但对于充实一下自己的理论知识也是有帮助的.另外,VC理论属于比较难也比较抽象的知识,所以我总结的这些证明难免会有一些错误,希望各位能够帮我指出. (一)简单版本的VC理论. 给定一个集合系统$(U,\mathcal{S})$,VC理论可以解决以下问题.对于一个在$U$上的分布$P$,那么至少需要选择多少个样本(根据分布$P$选择),才能使对每个$S\in\mathcal{S}$,用样本估计出来的值以

高中好友突然问我一道这样的问题,似乎是因为他们专业要做一个计算器,其中的一道习题是要求计算器实现这样的功能. 整理一下要求:解aX + e^X = b 方程.解方程精度要求0.01,给定方程只有一解,a>0,b>0,0<X<20. 当被第一次问及这样一个问题的时候,我脑海里反映的第一个方法就是「牛顿迭代法(NewtonMethod」.然而自己算法功底太差了,从来没有真正去了解过牛顿迭代法,反正早晚都是要学的,正好便借着这个机会学习了一个. 我一直认为牛顿迭代法的效率应该是几个近似求

0x01 布尔代数(Boolean algebra) 大名鼎鼎鼎的stephen wolfram在2015年的时候写了一篇介绍George Boole的文章:George Boole: A 200-Year View. 怎样用数学公理重新表达经典逻辑?George Boole在19世纪的时候开始思考这件事,在他的书<The Mathematical Analysis of Logic>里面George Boole首次展示了使用符号加运算符的方式表示逻辑,例如"And"是&q

//待更qwq 反演原理 二项式反演 若 \[g_i=\sum_{j=1}^i {\binom ij} f_j\] , 则有 \[ f_i=\sum_{j=1}^i (-1)^{i-j} {i \choose j} g_j \] 同时, 若 \[g_i=\sum_{j=1}^i (-1)^j {i \choose j} f_j\] , 则有 \[f_i=\sum_{j=1}^i (-1)^j {i \choose j} g_j\] 通过反演原理和组合数的性质不难证明. 0/1? todo Sti

传送门 其实标签只是搞笑的. 没那么难. 二项式反演只是杀鸡用牛刀而已. 这道题也只是让你n≤20n\le20n≤20的错排数而已. 还记得那个O(n)O(n)O(n)的递推式吗? 没错那个方法比我今天用的要快一些. 言归正传. 回忆一下二项式反演的式子: fn=∑i=0n(ni)gif_n=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}g_ifn​=∑i=0n​(in​)gi​ =>gn=∑i=0n((−1)i(nn−i)fi)g_n=\sum_{i=0}^n((-1)^i\binom{n}

目录 写在前面 一类反演问题 莫比乌斯反演 快速莫比乌斯变换(反演)与子集卷积 莫比乌斯变换(反演) 子集卷积 二项式反演 内容 证明 应用举例 另一形式 斯特林反演 第一类斯特林数 第二类斯特林数 反演公式 最值反演( \(\text{min-max}\) 容斥) 公式 证明 拉格朗日插值法 简介 求解 自然数的幂的前缀和 问题提出 问题解决 代码实现 写在前面 这是继数论和组合计数类数学相关与多项式类数学相关后的第三篇数学方面内容总结.主要记录自己近期学习的一些数学方法.内容比较杂,同时也起