用循环不变量方法证明欧几里德算法的正确性;

2024-10-31

循环不变量loop invariant 与算法的正确性

在论述插入排序的正确性的时候, 书中引入了循环不变量的概念, 刚开始稍微有点不太明白, 早上查了一波资料之后决定把自己的理解记录下来. 什么是循环不变量 ? 在我看来, 所谓循环不变量的就是一个在循环前, 每次循环后(当然也包括循环结束)都成立的性质. 如何证明算法的正确性 ? 首先要知道循环不变量是用来辅助我们证明算法的正确性的. 所以首先我们需要找出能够帮助我们证明算法正确性的性质作为我们的循环不变量(之后给出具体例子). 然后分三个角度进行证明其正确性 : 循环前每次循环之后循环结束后

欧几里德算法gcd及其拓展终极解释

这个困扰了自己好久,终于找到了解释,还有自己改动了一点点,耐心看完一定能加深理解扩展欧几里德算法-求解不定方程,线性同余方程. 设过s步后两青蛙相遇,则必满足以下等式: (x+m*s)-(y+n*s)=k*l(k=0,1,2....) 稍微变一下形得: (n-m)*s+k*l=x-y 令n-m=a,k=b,x-y=c,即 a*s+b*l=c 只要上式存在整数解,则两青蛙能相遇,否则不能. 首先想到的一个方法是用两次for循环来枚举s,l的值,看是否存在s,l的整数解,若存在则输入最小的s,

欧几里德与扩展欧几里德算法 Extended Euclidean algorithm

ACM_扩展欧几里德算法

<pre name="code" class="cpp">/* 扩展欧几里德算法基本算法:对于不完全为 0 的非负整数 a,b,gcd(a,b)表示 a,b 的最大公约数,必然存在整数对 x,y ,使得 gcd(a,b)=ax+by. 证明:设 a>b. 1,显然当 b=0,gcd(a,b)=a.此时 x=1,y=0: 2,ab!=0 时设 ax1+by1=gcd(a,b); bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b); 根据

[Python3 练习] 008 欧几里德算法

题目:写个"欧几里德算法"的小程序 (1) 描述我知识浅薄,一开始被"欧几里德"的大名唬住了,去搜了一下才知道这就是高中时学过的"辗转相除法" 辗转相除法的用处求两个正整数的最大公约数示例 a = 30,b = 18,求 a 与 b 的最大公约数 a % b = 12 => a = 18, b = 12 a % b = 6 => a = 12, b = 6 a % b = 0 => 此时的 b 即为原来两数的最大公约数总

poj2115-C Looooops(扩展欧几里德算法)

本题和poj1061青蛙问题同属一类,都运用到扩展欧几里德算法,可以参考poj1061,解题思路步骤基本都一样.一,题意: 对于for(i=A ; i!=B ;i+=C)循环语句,问在k位存储系统中循环几次才会结束. 比如:当k=4时,存储的数 i 在0-15之间循环.(本题默认为无符号) 若在有限次内结束,则输出循环次数. 否则输出死循环.二,思路: 本题利用扩展欧几里德算法求线性同余方程,设循环次数为 x ,则解方程 (A + C*x) % 2^k = B ;求出最小正整数 x. 1,化简方

poj1061-青蛙的约会（扩展欧几里德算法）

一,题意: 两个青蛙在赤道上跳跃,走环路.起始位置分别为x,y. 每次跳跃距离分别为m,n.赤道长度为L.两青蛙跳跃方向与次数相同的情况下, 问两青蛙是否有方法跳跃到同一点.输出最少跳跃次数.二,思路: 本题用到扩展欧几里德算法求二元一次不定式方程(ax+by=c). 1,化简方程,然后求解 ax+by = gcd(a,b); 2,求解 ax+by = c; 3,求出最小非负整数解x1三,步骤: 1,设青蛙跳了s步. 则有方程 (x + m*s) - (y + n*s) = l*k -->

欧几里德算法及其扩展（推导&&模板）

POJ 2773 Happy 2006（欧几里德算法）

题意:给出一个数m,让我们找到第k个与m互质的数. 方法:这题有两种方法,一种是欧拉函数+容斥原理,但代码量较大,另一种办法是欧几里德算法,比较容易理解,但是效率很低. 我这里使用欧几里德算法,欧几里德算法又名辗转相除法,原先单纯的用于求最大公约数,这里也算是一个小小的拓展应用,这个题利用的欧几里德算法的重要性质,假如a与b互质,那么b*t+a与b也一定互质,那样我们可以枚举1-m之间所有符合条件的数,然后打一个表格,求出所有符合条件的数,正如下表中的(5,5)所示,这个表格是一个带有周期性的自

ACM数论之旅4---扩展欧几里德算法（欧几里德(・∀・)？是谁？）

为什么老是碰上扩展欧几里德算法 ( •̀∀•́ )最讨厌数论了看来是时候学一学了度娘百科说: 首先, ax+by = gcd(a, b) 这个公式肯定有解 (( •̀∀•́ )她说根据数论中的相关定理可以证明,反正我信了) 所以 ax+by = gcd(a, b) * k 也肯定有解 (废话,把x和y乘k倍就好了) 所以,这个公式我们写作ax+by = d,(gcd(a, b) | d) gcd(a, b) | d,表示d能整除gcd,这个符号在数学上经常见那么已知 a,b 求一组解

java入门学习（3）—循环，选择，基础算法，API概念

1.顺序结构:也就是顺着程序的前后关系,依次执行.2.选择分支:利用if..else , / switch(){case [ 这个必须是常量]:}; / if..else if….. ….else..等语句让程序在不同的分支中切换执行.3.循环结构:重复执行完成功能,可以用while(){}(先判断再执行):do{}while():(先执行后判断): for(初始值:结束条件:循环控制变量): 注:其中循环可以嵌套,嵌套的时候先判断外层循环是否满足,然后再进入内层循环,执行完内层循环管,一直到条

扩展欧几里德算法（递归及非递归实现c++版）

今天终于弄懂了扩展欧几里德算法,有了自己的理解,觉得很神奇,就想着写一篇博客. 在介绍扩展欧几里德算法之前,我们先来回顾一下欧几里德算法. 欧几里德算法(辗转相除法): 辗转相除法求最大公约数,高中就学了,但当时知其然不知其所以然,直到大学才真正理解它的精髓. 理解辗转相除,关键在于理解 gcd(a,b)==gcd(b,a%b) 那么怎么去理解呢?下面是我的理解: 首先对于非负整数a,b,一定可以写成 a=k*b+r(r<b) 的形式令 g=gcd(a,b) ,则有 g|a ,即 g|(k*b

js模版引擎handlebars.js实用教程——each-基本循环使用方法

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(扩展欧几里德算法)zzuoj 10402: C.机器人

10402: C.机器人 Description Dr. Kong 设计的机器人卡尔非常活泼,既能原地蹦,又能跳远.由于受软硬件设计所限,机器人卡尔只能定点跳远.若机器人站在(X,Y)位置,它可以原地蹦,但只可以在(X,Y),(X,-Y),(-X,Y),(-X,-Y),(Y,X),(Y,-X),(-Y,X),(-Y,-X)八个点跳来跳去. 现在,Dr. Kong想在机器人卡尔身上设计一个计数器,记录它蹦蹦跳跳的数字变化(S,T),即,路过的位置坐标值之和. 你能帮助Dr. Kong判断机器人能否

POJ 1061青蛙的约会（拓展欧几里德算法）

题目链接: 传送门青蛙的约会 Time Limit: 1000MS Memory Limit: 65536K Description 两只青蛙在网上相识了,它们聊得很开心,于是觉得很有必要见一面.它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上,于是它们约定各自朝西跳,直到碰面为止.可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情,既没有问清楚对方的特征,也没有约定见面的具体位置.不过青蛙们都是很乐观的,它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去,总能碰到对方的.但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上,不然是永

poj2142-The Balance(扩展欧几里德算法)

一,题意: 有两个类型的砝码,质量分别为a,b;现在要求称出质量为d的物品, 要用多少a砝码(x)和多少b砝码(y),使得(x+y)最小.(注意:砝码位置有左右之分). 二,思路: 1,砝码有左右位置之分,应对比两种情况 i,a左b右,得出方程 ax1 - by1 = d ; ii,b左a右,得出方程 bx2 - ay2 = d . 2,利用扩展欧几里德算法,解出(x1,y1).(x2,y2),并求出最小x1和x2,以及相对应的y1,y2. 3,输出x1+y1和x2+y2 中的最小值. 三,步骤

Sicily1099-Packing Passengers-拓展欧几里德算法

最终代码地址:https://github.com/laiy/Datastructure-Algorithm/blob/master/sicily/1099.c 做这题的时候查了别人的做法花了半天都没搞明白怎么做的,我认为别的博客写的难以让人理解所以就造了这个轮子. 题目: 1099. Packing Passengers Constraints Time Limit: 1 secs, Memory Limit: 32 MB Description PTA, Pack ‘em Tight Air

HDU 1576 A/B 扩展欧几里德算法

A/B Time Limit: 1000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others) Total Submission(s): 2017 Accepted Submission(s): 1469 Problem Description 要求(A/B)%9973,但因为A非常大,我们仅仅给出n(n=A%9973)(我们给定的A必能被B整除,且gcd(B,9973) = 1). Input 数据的第一

poj2891--扩展欧几里德算法

/* 该题使用的是扩展欧几里德算法,求模线性同余方程: 分析题目:以题目输出结果为例 ,要求得到一个整数X可以满足 X % a = r,a,r,为数组名: 设数组元素为两个时, 列出方程:X % a1 = r1; X % a2 = r2; 可得出: a1*k1 + r1 = X; a2*k2 + r2 = X; 合并方程:a1*k1 + r1 = a2*k2 + r2,经变形得 a1*k1 - a2*k2 = r2 - r1; 由扩展欧几里德算法公式:ax + by = c; 得到 k1, 再将

for循环之初学者N多算法小练习

for循环之初学者N多算法小练习显示1到100的数,每行显示5个. for (int i=1;i<=100;i++){ if (i%5==0){ System.out.print("\t"+i+"\n"); }else{ System.out.print("\t"+i); } } 显示三位数中可以被8整除的数,每行显示8个. int j=0; for (int i=100;i<

用循环不变量方法证明欧几里德算法的正确性;

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