矩阵分解是将矩阵拆解成多个矩阵的乘积,常见的分解方法有 三角分解法.QR分解法.奇异值分解法.三角分解法是将原方阵分解成一个上三角矩阵和一个下三角矩阵,这种分解方法叫做LU分解法.进一步,如果待分解的矩阵A是正定的,则A可以唯一的分解为 \[{\bf{A = L}}{{\bf{L}}^{\bf{T}}}\] 其中L是下三角矩阵.下面以三维矩阵进行简单说明: \[\begin{array}{ccccc}{\bf{A = L}}{{\bf{L}}^{\bf{T}}}{\rm{ = }} & \lef

作者:凯鲁嘎吉 - 博客园http://www.cnblogs.com/kailugaji/ 三.实验程序 五.解答(按如下顺序提交电子版) 1.(程序) (1)LU分解源程序: function [l,u]=lu12(a,n) for k=1:n-1 for i=k+1:n a(i,k)=a(i,k)/a(k,k); for j=k+1:n a(i,j)=a(i,j)-a(i,k)*a(k,j); end end end l=eye(n); u=zeros(n,n); for k=1:n fo

转自 http://blog.csdn.net/zhongkejingwang/article/details/43053513(实在受不了CSDN的广告) 在网上看到有很多文章介绍SVD的,讲的也都不错,但是感觉还是有需要补充的,特别是关于矩阵和映射之间的对应关系.前段时间看了国外的一篇文章,叫A Singularly Valuable Decomposition The SVD of a Matrix,觉得分析的特别好,把矩阵和空间关系对应了起来.本文就参考了该文并结合矩阵的相关知识把SVD

#include <cstdio> #include <cstdlib> #include <algorithm> #include <cmath> #include <cassert> #include <ctime> class MclVector { public: int n; double *Mat; /** type=0: 列向量 type=1: 行向量 **/ int type; MclVector() { Mat=NU

在线性代数中, LU分解(LU Decomposition)是矩阵分解的一种,可以将一个矩阵分解为一个单位下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积(有时是它们和一个置换矩阵的乘积).LU分解主要应用在数值分析中,用来解线性方程.求反矩阵或计算行列式. 什么是LU分解 如果有一个矩阵A,将A表示成下三角矩阵L和上三角矩阵U的乘积,称为A的LU分解. 更进一步,我们希望下三角矩阵的对角元素都为1: 一旦完成了LU分解,解线性方程组就会容易得多. LU分解的步骤 上一章讲到,对于满秩矩阵A来说,通过左乘一个消

1.Gram-Schmidt正交化 假设原来的矩阵为[a,b],a,b为线性无关的二维向量,下面我们通过Gram-Schmidt正交化使得矩阵A为标准正交矩阵: 假设正交化后的矩阵为Q=[A,B],我们可以令A=a,那么我们的目的根据AB=I来求B,B可以表示为b向量与b向量在a上的投影的误差向量: $$B=b-Pb=b-\frac{A^Tb}{A^TA}A$$   2.Givens矩阵与Givens变换 为Givens矩阵(初等旋转矩阵),也记作. 由Givens矩阵所确定的线性变换称为Giv

R语言矩阵运算 主要包括以下内容:创建矩阵向量:矩阵加减,乘积:矩阵的逆:行列式的值:特征值与特征向量:QR分解:奇异值分解:广义逆:backsolve与fowardsolve函数:取矩阵的上下三角元素:向量化算子等. 1   创建一个向量在R中可以用函数c()来创建一个向量,例如:> x=c(1,2,3,4)> x[1] 1 2 3 4 2   创建一个矩阵在R中可以用函数matrix()来创建一个矩阵,应用该函数时需要输入必要的参数值.> args(matrix)function (

#include <cstdio> #include <cstdlib> #include <algorithm> #include <cmath> #include <cassert> #include <vector> #include <ctime> class MclVector { public: int n; double *Mat; /** type=0: 列向量(默认) type=1: 行向量 **/ in

前面我们讲了 QR 分解有一些优良的特性,但是 QR 分解仅仅是对矩阵的行进行操作(左乘一个酉矩阵),可以得到列空间.这一小节的 SVD 分解则是将行与列同等看待,既左乘酉矩阵,又右乘酉矩阵,可以得出更有意思的信息.奇异值分解( SVD, Singular Value Decomposition ) 在计算矩阵的伪逆( pseudoinverse ),最小二乘法最优解,矩阵近似,确定矩阵的列向量空间,秩以及线性系统的解集空间都有应用. 1. SVD 的形式 对于一个任意的 m×n 的矩阵 A,S

介绍: 推荐系统中最为主流与经典的技术之一是协同过滤技术(Collaborative Filtering),它是基于这样的假设:用户如果在过去对某些项目产生过兴趣,那么将来他很可能依然对其保持热忱.其中协同过滤技术又可根据是否采用了机器学习思想建模的不同划分为基于内存的协同过滤(Memory-based CF)与基于模型的协同过滤技术(Model-based CF).其中基于模型的协同过滤技术中尤为矩阵分解(Matrix Factorization)技术最为普遍和流行,因为它的可扩展性极好并且易

1.引言 矩阵分解(Matrix Factorization, MF)是传统推荐系统最为经典的算法,思想来源于数学中的奇异值分解(SVD), 但是与SVD 还是有些不同,形式就可以看出SVD将原始的评分矩阵分解为3个矩阵,而推荐本文要介绍的MF是直接将一个矩阵分解为两个矩阵,一个包含Users 的因子向量,另一个包含着Items 的因子向量. 2.原理简介 假如电影分为三类:动画片,武打片,纪录片,而某一部电影对应这三类的隶属度分别为 0, 0.2, 0.7,可以看出这是一部纪录片里面有些武打成

相关概念: 正交矩阵:若一个方阵其行与列皆为正交的单位向量,则该矩阵为正交矩阵,且该矩阵的转置和其逆相等.两个向量正交的意思是两个向量的内积为 0 正定矩阵:如果对于所有的非零实系数向量x ,都有 x'Ax>0,则称矩阵A 是正定的.正定矩阵的行列式必然大于 0, 所有特征值也必然 > 0.相对应的,半正定矩阵的行列式必然 ≥ 0.   QR分解 矩阵的正交分解又称为QR分解,是将矩阵分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵的乘积的形式. 任意实数方阵A,都能被分解为A=QR.这里的Q为正交单位阵

Eigen提供了解线性方程的计算方法,包括LU分解法,QR分解法,SVD(奇异值分解).特征值分解等.对于一般形式如下的线性系统: 解决上述方程的方式一般是将矩阵A进行分解,当然最基本的方法是高斯消元法. 先来看Eigen 官方的第一个例程: #include <iostream> #include <Eigen/Dense> using namespace std; using namespace Eigen; int main() { Matrix3f A; Vector3f

一.潜在因子(Latent Factor)推荐算法 本算法整理自知乎上的回答@nick lee.应用领域:"网易云音乐歌单个性化推荐"."豆瓣电台音乐推荐"等.        这种算法是在NetFlix(没错,就是用大数据捧火<纸牌屋>的那家公司)的推荐算法竞赛中获奖的算法,最早被应用于电影推荐中,在实际应用中比现在排名第一的 @邰原朗所介绍的算法误差(RMSE)会小不少,效率更高.下面仅利用基础的矩阵知识来介绍下这种算法.        该算法的思想是

本文主要描述实现LU分解算法过程中遇到的问题及解决方案,并给出了全部源代码. 1. 什么是LU分解? 矩阵的LU分解源于线性方程组的高斯消元过程.对于一个含有N个变量的N个线性方程组,总可以用高斯消去法,把左边的系数矩阵分解为一个单位下三角矩阵和一个上三角矩阵相乘的形式.这样,求解这个线性方程组就转化为求解两个三角矩阵的方程组.具体的算法细节这里不做过多的描述,有很多的教材和资源可以参考.这里推荐的参考读物如下: Numerical recipes C++,还有包括MIT的线性代数公开课. 2.

隐语义模型(Latent factor model,以下简称LFM),是推荐系统领域上广泛使用的算法.它将矩阵分解应用于推荐算法推到了新的高度,在推荐算法历史上留下了光辉灿烂的一笔.本文将对 LFM 原理进行详细阐述,给出其基本算法原理.此外,还将介绍使得隐语义模型声名大噪的算法FunkSVD和在其基础上改进较为成功的BiasSVD.最后,对LFM进行一个较为全面的总结. 1. 矩阵分解应用于推荐算法要解决的问题 在推荐系统中,我们经常可能面临的场景是:现有大量用户和物品,以及少部分用户对少部分

一:矩阵LU分解 矩阵的LU分解目的是将一个非奇异矩阵\(A\)分解成\(A=LU\)的形式,其中\(L\)是一个主对角线为\(1\)的下三角矩阵:\(U\)是一个上三角矩阵. 比如\(A= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 3 & 7 & 2 \\ 2 & 3 & 3 \\ \end{bmatrix}\),我们最终要分解成如下形式: \[A=L\cdot U = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \

有如下方程组 ,当矩阵 A 各列向量互不相关时, 方程组有位移解,可以使用消元法求解,具体如下: 使用消元矩阵将 A 变成上三角矩阵 , , 使用消元矩阵作用于向量 b,得到向量 c,, , Ax=b 消元后变为 ,即 , 由于  为上三角矩阵, 使用回带法即可求解方程组. 对矩阵  做如下运算 .在消元过程中,已知 ,如何求解  呢? 表示将矩阵A的第二行乘以 1 再加上矩阵A的第三行得到矩阵B的第三行,矩阵B的第一二行于矩阵A的第一二行保持一致.根据语义, 表示将矩阵B的第二行乘以 -1 再

线性代数中的一个核心思想就是矩阵分解,既将一个复杂的矩阵分解为更简单的矩阵的乘积.常见的有如下分解: LU分解:A=LU,A是m×n矩阵,L是m×m下三角矩阵,U是m×n阶梯形矩阵 QR分解: 秩分解:A=CD  ,  A是m×n矩阵,C是m×4矩阵,D是4×n矩阵. 奇异值分解:A=UDVT 谱分解: 在求解线性方程组中,一个核心的问题就是矩阵的LU分解,我们将一个矩阵A分解为两个更加简单的矩阵的复合LU,其中L是下三角矩阵,U是阶梯形矩阵.下三角矩阵和上三角矩阵具有非常良好的性质:Lx=y

原文链接:JAMA:Java矩阵包 API文档链接:线性代数Java包 JAMA jama是一个非常好用的java的线性代数软件包.适用于日常编程可能碰到的各种矩阵运算问题,提供了一个优雅的简便的解决方案. jama:java 矩阵包 背景 jama是一个基本的线性代数java包,它提供了实数非稀疏矩阵类,程序员可构造操控这些类.对于经常使用到矩阵运算的码农来说,即使不精通线性代数也没有关系,因为jama包提供的功能已经够用,调用方便,使用自然,而且易于理解.Jama包意欲称为java的标准矩阵

    前面已经说过LU,Cholesky和QR分解,这次介绍的是实Schur分解.对这个分解的定义是任意一个矩阵A,可有如下形式的分解:               U*A*U' = B;其中B是拟上三角矩阵,拟上三角矩阵的定义是在矩阵的对角线上存在2x2大小的矩阵,而且矩阵U是正交矩阵,因为矩阵A的特征值和B的特征值相同.而且A的特征值出现在B的对角线上.计算特征值分解和SVD都依靠这个算法做最基本的处理,然后根据不同的任务有不同的处理. 计算schur分解的方法是是QR算法,这个算法的原理