1.设是两组Rd空间的点集,可根据这两个点集计算它们之间的旋转平移信息. 2.设R为不变量,对T求导得: 令 则 将(4)带入(1)得: 令 则 (相当于对原来点集做减中心点预处理,再求旋转量) 3. 计算旋转量 因为R为正交阵且,均为标量, 所以 所以 而 令,对S进行SVD分解,则 令,则M为正交阵, 要求得最大迹,则使mii=1,则M必为单位阵,即

上一篇文章讲了PCA的数据原理,明白了PCA主要的思想及使用PCA做数据降维的步骤,本文我们详细探讨下另一种数据降维技术—奇异值分解(SVD). 在介绍奇异值分解前,先谈谈这个比较奇怪的名字:奇异值分解,英文全称为Singular Value Decomposition.首先我们要明白,SVD是众多的矩阵分解技术中的一种,矩阵分解方式很多,如三角分解(LU分解.LDU分解.乔列斯基分解等).QR分解及这里所说的奇异值分解:其次,singular是奇特的.突出的.非凡的意思,从分解的过程及意义来看

前言 在用数据对模型进行训练时,通常会遇到维度过高,也就是数据的特征太多的问题,有时特征之间还存在一定的相关性,这时如果还使用原数据训练模型,模型的精度会大大下降,因此要降低数据的维度,同时新数据的特征之间还要保持线性无关,这样的方法称为主成分分析(Principal component analysis,PCA),新数据的特征称为主成分,得到主成分的方法有两种:直接对协方差矩阵进行特征值分解和对数据矩阵进行奇异值分解(SVD). 一.主成分分析基本思想   数据X由n个特征降维到k个特征,这k

奇异值分解(Singular Value Decomposition,以下简称SVD)是在机器学习领域广泛应用的算法,它不光可以用于降维算法中的特征分解,还可以用于推荐系统,以及自然语言处理等领域.是很多机器学习算法的基石.本文就对SVD的原理做一个总结,并讨论在在PCA降维算法中是如何运用运用SVD的. 1. 回顾特征值和特征向量 我们首先回顾下特征值和特征向量的定义如下:$$Ax=\lambda x$$ 其中A是一个$n \times n$的矩阵,$x$是一个$n$维向量,则我们说$\lam

一基本知识 A是一个m*n的矩阵,那么A的SVD分解为\(A_{mn} = U_{mm}\Sigma _{mn}V^T_{nn}\),其中\(U^TU = I\),\(V^TV = I\),UV的列向量是矩阵\(A^TA\)的特征向量,V的列向量是矩阵\(AA^T\)的特征向量,\(\Sigma\)只在对角线上有非零元素,称为A的奇异值(Singular value),并按照降序排列,并且值为\(A^TA\)的特征值的算术平方根.SVD的分解不唯一. 我们知道实对称阵必正交相似于对角矩阵.这里假

一.一些概念 线性相关:其中一个向量可以由其他向量线性表出. 线性无关:其中一个向量不可以由其他向量线性表出,或者另一种说法是找不到一个X不等于0,能够使得AX=0.如果对于一个矩阵A来说它的列是线性无关的,则AX=0,只有0解,此时矩阵A可逆. 秩:线性无关向量个数. 基: 特征向量:向量X经过矩阵A旋转后,与原来的X共线,.即为特征值,表示向量的伸缩.如果把矩阵看成进行线性变化的矩阵(旋转,拉伸),那么特征向量就是这样一种向量,它经过这种特定的变换后保持方向不变,只是进行长度上的伸缩而已.反

版权声明: 本文由LeftNotEasy发布于http://leftnoteasy.cnblogs.com, 本文可以被全部的转载或者部分使用,但请注明出处,如果有问题,请联系wheeleast@gmail.com 前言: 上一次写了关于PCA与LDA的 文章,PCA的实现一般有两种,一种是用特征值分解去实现的,一种是用奇异值分解去实现的.在上篇文章中便是基于特征值分解的一种解释.特征值和奇异值在 大部分人的印象中,往往是停留在纯粹的数学计算中.而且线性代数或者矩阵论里面,也很少讲任何跟特征值与

特征值与特征向量 下面这部分内容摘自:强大的矩阵奇异值分解(SVD)及其应用 特征值分解和奇异值分解在机器学习领域都是属于满地可见的方法.两者有着很紧密的关系,在接下来会谈到,特征值分解和奇异值分解的目的都是一样,就是提取出一个矩阵最重要的特征.先谈谈特征值分解吧: 如果说一个向量v是方阵A的特征向量,则可以表示成下面的形式: 这时候λ就被称为特征向量v对应的特征值,一个矩阵的一组特征向量是一组正交向量.特征值分解是将一个矩阵分解成下面的形式: 其中Q是这个矩阵A的特征向量组成的矩阵,Σ是一个对

SVD分解(奇异值分解),本应是本科生就掌握的方法,然而却经常被忽视.实际上,SVD分解不但很直观,而且极其有用.SVD分解提供了一种方法将一个矩阵拆分成简单的,并且有意义的几块.它的几何解释可以看做将一个空间进行旋转,尺度拉伸,再旋转三步过程. 首先来看一个对角矩阵, 几何上, 我们将一个矩阵理解为对于点 (x, y) 从一个平面到另一个平面的映射: 下图显示了这个映射的效果: 平面被横向拉伸了3倍,纵向没有变化. 对于另一个矩阵 它的效果是 这样一个变化并不是很好描述,然而当我们将坐标系旋转

http://www.bfcat.com/index.php/2012/03/svd-tutorial/ SVD分解(奇异值分解),本应是本科生就掌握的方法,然而却经常被忽视.实际上,SVD分解不但很直观,而且极其有用.SVD分解提供了一种方法将一个矩阵拆分成简单的,并且有意义的几块.它的几何解释可以看做将一个空间进行旋转,尺度拉伸,再旋转三步过程. 首先来看一个对角矩阵, 几何上, 我们将一个矩阵理解为对于点 (x, y) 从一个平面到另一个平面的映射: 下图显示了这个映射的效果: 平面被横向

前面我们讲了 QR 分解有一些优良的特性,但是 QR 分解仅仅是对矩阵的行进行操作(左乘一个酉矩阵),可以得到列空间.这一小节的 SVD 分解则是将行与列同等看待,既左乘酉矩阵,又右乘酉矩阵,可以得出更有意思的信息.奇异值分解( SVD, Singular Value Decomposition ) 在计算矩阵的伪逆( pseudoinverse ),最小二乘法最优解,矩阵近似,确定矩阵的列向量空间,秩以及线性系统的解集空间都有应用. 1. SVD 的形式 对于一个任意的 m×n 的矩阵 A,S

采用1M MovieLensz数据(80%train, 20%test, UserIDs range between 1 and 6040 ,MovieIDs range between 1 and 3952, From http://files.grouplens.org/datasets/movielens/) 进行训练和测试,在k仅为10时,得到最佳RMSE为0.854743.在100k数据上k=100时最佳RMSE为0.916602. 以下公式和文字来自陈靖_的博文 http://blo

特征值分解和奇异值分解在机器学习领域都是属于满地可见的方法.两者有着很紧密的关系,我在接下来会谈到,特征值分解和奇异值分解的目的都是一样,就是提取出一个矩阵最重要的特征. 1. 特征值: 如果说一个向量v是方阵A的特征向量,将一定可以表示成下面的形式: 写成矩阵形式: 这时候λ就被称为特征向量v对应的特征值,一个矩阵的一组特征向量是一组正交向量. 2. 特征分解: 特征值分解是将一个矩阵分解成下面的形式: 其中Q是这个矩阵A的特征向量组成的矩阵,正交矩阵是可逆的.Σ = diag(λ1, λ2,

转自:http://www.cnblogs.com/LeftNotEasy/archive/2011/01/19/svd-and-applications.html 版权声明: 本文由LeftNotEasy发布于http://leftnoteasy.cnblogs.com, 本文可以被全部的转载或者部分使用,但请注明出处,如果有问题,请联系wheeleast@gmail.com 前言: 上一次写了关于PCA与LDA的文章,PCA的实现一般有两种,一种是用特征值分解去实现的,一种是用奇异值分解去实

版权声明: 本文由LeftNotEasy发布于http://leftnoteasy.cnblogs.com, 本文可以被全部的转载或者部分使用,但请注明出处,如果有问题,请联系wheeleast@gmail.com 前言: 上一次写了关于PCA与LDA的文章,PCA的实现一般有两种,一种是用特征值分解去实现的,一种是用奇异值分解去实现的.在上篇文章中便是基于特征值分解的一种解释.特征值和奇异值在大部分人的印象中,往往是停留在纯粹的数学计算中.而且线性代数或者矩阵论里面,也很少讲任何跟特征值与奇异

SVD简介 SVD不仅是一个数学问题,在机器学习领域,有相当多的应用与奇异值都可以扯上关系,比如做feature reduction的PCA,做数据压缩(以图像压缩为代表)的算法,还有做搜索引擎语义层次检索的LSI(Latent Semantic Indexing)或隐性语义分析(Latent Semantic Analysis).另外在工程应用中的很多地方都有它的身影,例如在推荐系统方面.在2006年末,电影公司Netflix曾经举办一个奖金为100万刀乐的大赛,这笔奖金会颁给比当时最好系统还

前言: 上一次写了关于PCA与LDA的文章,PCA的实现一般有两种,一种是用特征值分解去实现的,一种是用奇异值分解去实现的.在上篇文章中便是基于特征值分解的一种解释.特征值和奇异值在大部分人的印象中,往往是停留在纯粹的数学计算中.而且线性代数或者矩阵论里面,也很少讲任何跟特征值与奇异值有关的应用背景.奇异值分解是一个有着很明显的物理意义的一种方法,它可以将一个比较复杂的矩阵用更小更简单的几个子矩阵的相乘来表示,这些小矩阵描述的是矩阵的重要的特性.就像是描述一个人一样,给别人描述说这个人长得浓眉大

版权声明: 本文由LeftNotEasy发布于http://leftnoteasy.cnblogs.com, 本文可以被全部的转载或者部分使用,但请注明出处,如果有问题,请联系wheeleast@gmail.com 前言: 上一次写了关于PCA与LDA的文章,PCA的实现一般有两种,一种是用特征值分解去实现的,一种是用奇异值分解去实现的.在上篇文章中便是基于特征值分解的一种解释.特征值和奇异值在大部分人的印象中,往往是停留在纯粹的数学计算中.而且线性代数或者矩阵论里面,也很少讲任何跟特征值与奇异

本文以NMF和经典SVD为例,讲一讲矩阵分解在推荐系统中的应用. 数据 item\user Ben Tom John Fred item 1 5 5 0 5 item 2 5 0 3 4 item 3 3 4 0 3 item 4 0 0 5 3 item 5 5 4 4 5 item 6 5 4 5 5 user\item item 1 item 2 item 3 item 4 item 5 item 6 Ben 5 5 3 0 5 5 Tom 5 0 4 0 4 4 John 0 3 0 5

第14章 利用SVD简化数据 SVD 概述 奇异值分解(SVD, Singular Value Decomposition): 提取信息的一种方法,可以把 SVD 看成是从噪声数据中抽取相关特征.从生物信息学到金融学,SVD 是提取信息的强大工具. SVD 场景 信息检索-隐形语义检索(Lstent Semantic Indexing, LSI)或 隐形语义分析(Latent Semantic Analysis, LSA) 隐性语义索引:矩阵 = 文档 + 词语 是最早的 SVD 应用之一,我们